资源描述
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正方形
一、选择题
1.如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM=（）
A.45° B.50° C.55° D.60°
2.如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（）
A.60° B.30°
C.45° D.90°
3．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )cm2．
A.6 B.8
C.16 D.不能确定
二、填空题
4．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．
5．对角线________________________________的四边形是正方形．
6．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于______．
7.（合肥五十中月考）如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，小明判定的方法是__________.
8.如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长是__________.
9.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=__________.
三、解答题
10．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，
∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．
11．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．
12.（一题多法）如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F.求证：四边形BEDF是正方形.
13.（成都七中月考）如图（1），已知正方形ABCD的对角线AC，BD相较于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为点M，AM交BD于点F.
（1）求证：OE=OF.
（2）如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说出理由.
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．
(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；
(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．
参考答案
1. C 解析 过点M作MF⊥AD于点F，如图所示．
在Rt△BEC与RtΔFNM中，BC=FM，
CE=MN，∴RtΔBEC≌RtΔFNM，
∴∠NMF=∠ECB=35°，
∴∠ANM=90°-∠FMN-90°-35°=55°，故选C.
2. C 解析 由折法可知，剪得的四方形对角线直且互相平分，即为菱形，要想得到正方形，需有一个内角90°，即剪刀与痕所成的角应为，故选C.
3．B．
4．是直角；相等、对边平行，邻边垂直；相等、垂直平分、一组，四．
5．互相垂直、平分且相等．
6．112.5°，8cm2；
7. 有一组邻边相等的矩形是正方形 解析 由折叠的性质可知∠BAF=∠B=∠AFE=90°，所以四边形ABEF是矩形，又因为A=-AF，所以四边形ABEF是正方形.
8. 13 解析 在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠FAB+∠DAE=90°.
又∵∠DE⊥a，∴∠EDA+∠DAE=90°，
∴∠FAB=∠EDA.
又∵∠DEA=∠AFB=90°，
∴ΔAFB≌△DEA，∴AF=DE，BF=AE，
∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.
9. 解析 根据正方形的性质及角平分线的定义，可证得∠BCE=∠BEC=67.5°，所以BE=BC-1.利用勾股定理可求得BD=，所以DE=BD-BE=-1．
10．55°． 提示：过D点作DF∥NM，交BC于F．
11．提示：连结CH，DH＝．
12. 证法1：因为DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，∠ABC=90°，
所以∠DFB=∠ABC=∠DEB=90°.
所以四边形BEDF是矩形.所以BF∥ED.
所以∠1=∠3.
因为BD平分∠ABC，所以∠1=∠2.
所以∠2=∠3.所以BE=ED.
所以矩形BEDF是正方形.
证法2：因为DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，
所以∠BFD=∠DEB=90°.
因为∠ABC=90°，所以DE∥AB，FD∥BC.
所以四边形BEDF是平行四边形.所以∠1=∠3.
因为BD平分∠ABC，
所以∠1=∠2，所以∠2=∠3.所以BE=ED.
所以□BEDF是菱形.
又因为∠ABC=90°，所以菱形BEDF是正方形.
点拨：正方形的判定可简化为：菱形十矩形=正方形，即先证明四边形是菱形，再证明它是矩形（或先证明四边形是矩形，再证明它是菱形），即可判定四边形是正方形.
13. 分析：因为AM⊥BE，所以∠AME=90°.因为∠MAE是Rt△AME和Rt△AOF的公共角，则另一锐角也相等，而OA=OB，所以考虑证明Rt△BOE≌Rt△AOF.当点E在AC的延长线上时，也可这样考虑.
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA，
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO，
∴RtΔBOE≌RtΔAOF，∴OE=OF。
（2）解：OE=OF还成立。
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF=90°=∠E+∠OBE，
又∵∠MBF=∠OBE，∴∠F=∠E，
∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE=OF。
点拔：在正方形中证明两条线段相等的常用方法是证明两条线段所在的三角形全等.
14．(1)证明：△ADQ≌△ABQ；
(2)以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F．
AD×QE＝S正方形ABCD＝
∴QE＝
∵点Q在正方形对角线AC上
∴Q点的坐标为
∴过点D(0，4)，两点的函数关系式为：y＝－2x＋4，当y＝0时，x＝2，即P运动到AB中点时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；
(3)若△ADQ是等腰三角形，则有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD
①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知 QD＝QA此时△ADQ是等腰三角形；
②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；
③如图，设点P在BC边上运动到CP＝x时，有AD＝AQ
∵AD∥BC ∴∠ADQ＝∠CPQ．
又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，
∴∠CQP＝∠CPQ．
∴CQ＝CP＝x．
∵AC＝，AQ＝AD＝4．
∴x＝CQ＝AC－AQ＝－4．
即当CP＝－4时，△ADQ是等腰三角形．
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