八年级数学分式运算教案.doc

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授课教案
学员姓名：_____ 授课教师：陈列_____ 所授科目：数学_____
学员年级：八年级 上课时间_2013_年_03_月_09_日_13_时_00_分至_16_时00分共_3_小时
教学标题
分式的运算与反比例函数的概念
教学目标
掌握分式的运算性质,理解反比例函数的概念
教学重难点
分式的加减法、整数指数幂、反比例函数的图像与性质
上次作业检查

一、 分式的乘除法运算
1、分式乘除法性质
（1）乘法法则：分式乘分式 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.即：
（2）除法法则:分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；
用式子表示为：
2.分式的乘方
1.分式乘方法则用式子表示是： （n是正整数，b≠0）
注意：分式乘方要把分子分母分别乘方；
　　2.
　　3.分式乘除，乘方混合运算时，要先乘方，再化除为乘，最后进行约分并把结果化成最简分式或整式。
正数的任何次幂是正数,负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．

二、分式的加减法运算
1、同分母分式的加减法法则：分母不变,把分子相加减．表示为。
注意:同分母分数的加减法法则是与同分母分式的加减法法则基本上是一致的，其中只有一字之差，一个是数，一个是式．
2、异分母分式的加减法法则:先通分．变为同分母的分式后再加减．表示为：。
3、整数指数幂的性质
1）、当m,n是正整数时，
（1） a·a＝a； （2）(a)＝a； （3）（ab）＝a b ．
(4）a÷a＝a．（m＞n， a≠0)； （5) (b≠0)（分式乘方法则）.
2）.零指数幂与负整指数幂
（1），即：任何不等于零的数的零次幂都等于1。
注意: 零的零次幂无意义.
(2）；即： 任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数.即可表示为：。
注意:正整数的运算性质可推广到全体整数.
3. ）科学计数法
利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成 a×10n的形式，其中n是正整数,1≤∣a∣＜10。
例如,864000可以写成8.64×105。
类似地，我们可以利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10—n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.
例如，0.000021可以表示成2。1×10-5.

三、 分式方程
1、解分式方程常用的方法：(1）拆项法；(2)去分母法;(2）换元法；
2、解分式方程 （1）能化简的先化简；-———化
(2)方程两边同乘以最简公分母,约去分母，化为整式方程；—-—--约
(3)解整式方程；——--——解
（4）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。-—----—-验
3、增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为０或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根。
如何验根：只要把求得的x的值代入所乘的整式（即最简公分母）,若该式的值不等于零,则是原方程的根；若该
式的值为零，则是原方程的增根。此时原分式方程无解。

四、分式方程应用题
1、列方程解应用题 (1)审； （2）设； (3）列; (4）解； (5)答．
2、应用题基本公式有四种：
(1）行程问题：路程=速度×时间．
(2）数字问题:掌握十进制数的表示法．
（3)工程问题：工作量=工时×工效．
(4)顺水逆水问题： v顺水=v静水+v水； v逆水=v静水—v水
例题、为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息:
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1。5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
解:设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，依题意得

解得:x=40
经检验：x=40是原方程的根，所以1.5x=60
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.
五、分式运算十二大技巧
分式运算，一要准确，二要迅速，其中起着关键作用的就是通分. 但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错,有时甚至算不出来，对于分式的通分,要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.
一、逐步通分法
例1 计算
分析：此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大．注意到前后分母之间存
在着平方差关系，可逐步通分达到目的．
解：原式==
评注：若一次通分，计算量太大,利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计算．依次通分构成平方差公式,采用逐步通分，则可使问题简单化。
二、整体通分法
例2 计算
分析 题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些。
解：原式=
评注:此题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式,再通分相
加，使得问题的解法更简便．
三、分裂整数法
例3。 计算：
分析 如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法，对分子降次后再通分。

评注：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分;在解某些分式方程中,也可使用分裂整数法。
四、裂项相消法
例4 计算
分析 我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积,而分子又是一个定值时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分.
解：原式==
评注:本题若采用通分相加的方法,将使问题变的十分复杂，注意到分母中各因式的关
系，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法.
五。 见繁化简法
例5. 计算：
分析 分式加减时，如果分母不同要先分解因式，再找到公分母，把每个分式的分母都化为公分母的形式
解：原式

评注：若运算中的分式不是最简分式，可先约分,再选用适当方法通分，可使运算简便。
在分式运算中,应根据分式的具体特点,灵活机动,活用方法。方能起到事半功倍的效率。
六、挖掘隐含条件,巧妙求值
例6 若，则=___________。
解:∵，∴
但考虑到分式的分母不为0,故x=3
所以，原式
说明：根据题目特点，挖掘题中的隐含条件，整体考虑解决方案是解决本类题目的关键.
七、巧用特值法求值
例7 已知，则=_____________。
解:此题可直接令x=4，y=5,z=6，代入得：
原式

说明：根据题目特点,给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程。
八、巧设参数(辅助未知数）求值
例8 已知实数x、y满足x:y=1：2,则__________。
解：设，则，，故原式
说明：在解答有关含有比例式的题目时，设参数（辅助未知数）求解是一种常用的方法。
九、 整体代入
例9 若=5,求的值．
分析:将=5变形,得x—y=—5xy，再将原式变形为，把x—y=—5xy代入,即可求出其值．
解：因为=5，所以x—y=-5xy。
所以原式====
说明：在已知条件等式的求值问题中，把已知条件变形转化后，通过整体代入求值，可避免由局部运算所带来的麻烦．
十、倒数法
例2已知a+=5．则=__________.
分析：若先求出a的值再代入求值，显然现在解不出．如果将的分子、分母颠倒过来,即求=a2+1+的值，再进一步求原式的值就简单很多．
解：因为a+=5，
所以(a+）2=25，a2+=23。
所以=a2+1+=24，
所以=
说明：利用x和互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知式的联系，使一些分式求值问题思路自然，解题过程简洁．
十一、主元法
例11 已知xyz≠0，且3x－4y－z=0,2x＋y－8z=0,求的值。
解:将z看作已知数，把3x－4y－z=0与2x＋y－8z=0联立，
得 3x－4y－z=0,
2x＋y－8z=0。
解得 x=3z，
y=2z。
所以，原式==
说明：当已知条件等式中含有多元（未知数）时(一般三元），可视其中两个为主元，另一个为常量，解出关于主元的方程组后代入求值，可使问题简化．
十二、 特殊值法
例十二 已知abc=1,则＋＋=_________.
分析：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值,然后代入求值．
解：令a=1，b=1，c=1，则
原式=++=++=1.
说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值,可准确、迅速地求出结果．

六、分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后,常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．
分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：(一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：
1、 解方程．
2 、解方程．
3、(2007湖北荆门）若方程=无解，则m=--——-—．
4、当a为何值时，关于x的方程会产生增根？
5、当a为何值时，关于x的方程无解?

七、与分式方程根有关的问题分类举例
与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现,现结合近年的中考题分类举例,介绍给读者,供学习、复习有关内容时参考。
1。 已知分式方程有增根，求字母系数的值
解答此类问题必须明确增根的意义：
（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1。 （2000年潜江市)
使关于x的方程产生增根的a的值是（ ）
A。 2 B. －2 C。 D. 与a无关
解：去分母并整理,得：

因为原方程的增根为x=2,把x=2代入<1〉，得a2=4
所以
故应选C.

例2. （1997年山东省）
若解分式方程产生增根，则m的值是（ ）
A。 －1或－2 B. －1或2
C。 1或2 D。 1或－2
解：去分母并整理,得：

又原方程的增根是x=0或,把x=0或x=－1分别代入<1>式，得:
m=2或m=1
故应选C。

例3. （2001年重庆市）
若关于x的方程有增根，则a的值为__________。
解：原方程可化为：
又原方程的增根是，把代入<1>，得：

故应填“”。
例4。 (2001年鄂州市）
关于x的方程会产生增根,求k的值。
解：原方程可化为:
又原方程的增根为x=3，把x=3代入<1〉，得：
k=3
例5. 当k为何值时，解关于x的方程:只有增根x=1。
解:原方程可化为：

把x=1代入〈1〉，得k=3
所以当k=3时，解已知方程只有增根x=1。
评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是:
（1）将所给方程化为整式方程;
(2)由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）；
（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。
2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围
例6。 （2002年荆门市）
当k的值为_________（填出一个值即可)时，方程只有一个实数根.
解：原方程可化为：
要原方程只有一个实数根,有下面两种情况:
（1）当方程〈1>有两个相等的实数根，且不为原方程的增根,所以由得k=－1。当k=－1时，方程〈1〉的根为，符合题意.
（2）方程〈1〉有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由，得k>－1。又原方程的增根为x=0或x=1,把x=0或x=1分别代入<1〉得k=0，或k=3,均符合题意。
综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。
例7. （2002年孝感市）
当m为何值时，关于x的方程无实根？
解：原方程可化为:

要原方程无实根，有下面两种情况：
（1）方程〈1〉无实数根，由，得；
（2）方程〈1〉的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入〈1>得m=2。
综上所述：当或当m=2时，所给方程无实数解。
例8. （2003年南昌市）
已知关于x的方程有实数根，求m的取值范围。
解：原方程化为：
要原方程有实数根，只要方程〈1〉有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。
(1)当m=0时，有x=1，显然x=1是原方程的增根，所以m=0应舍去。
（2）当时,由,得。
又原方程的增根为x=0或x=1,当x=0时，方程<1〉不成立；当.
综上所述：当且时，所给方程有实数根。
评注：由以上三例可知,由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：
(1）将所给方程化为整式方程;
（2）根据根的情况,由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围
例9. 当a取何值时，解关于x的方程：无增根?
解：原方程可化为：

又原方程的增根为x=2或，把x=2或分别代入〈1>得：
或
又由知，a可以取任何实数。
所以，当且时，解所给方程无增根。
评注：解答此类问题的基本思路是：
(1）将已知方程化为整式方程；
(2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围；
（3)从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。
4。 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围
例9。 已知关于x的方程的根大于0，求a的取值范围。
解：原方程可化为:
所以
由题意,得:
且
所以且
例10。 已知关于x的方程的根小于0，求k的取值范围。
解:原方程可化为：
所以
由题意，得：
所以
评注：解答此类题的基本思路是：
（1）求出已知方程的根；
（2）由已知建立关于字母系数的不等式,求出字母系数的取值范围,注意排除使原方程有增根的字母系数的值。

八、反比例函数
1. 定义:一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成
2. 反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.
⑵比例系数
⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像
⑴图像的画法：描点法
① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数)
② 描点（有小到大的顺序）
③ 连线(从左到右光滑的曲线）
⑵反比例函数的图像是双曲线,（为常数，)中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或)。
⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为.
4．反比例函数性质如下表:
的取值
图像所在象限
函数的增减性

一、三象限
在每个象限内，值随的增大而减小

二、四象限
在每个象限内，值随的增大而增大
5。 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）
6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
7。 反比例函数的应用
【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
【例2】在反比例函数的图像上有三点，,，，， 。若则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】如果一次函数相交于点（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ )
【例4】 如图,在中，点是直线与双曲线在第一象限的交点，且，则的值是_____。
图

（多出部分见背面或另附纸张）
作业：
课上没讲完的例题或习题
学员课堂表现：
签字确认
学员_____________ 教师____陈列_________ 班主任_____________
习题
分式运算
一 填空
1 当x____________时,分式的值为零
2 当x____________时,分式无意义
3 写一个分式，使它满足当x≠4时有意义._______________________________
4 计算
（1） （2)
（3） （4）
5 （1)当x_________时，
（2） （3）
（4） （5）
6 （1） （2) 0.0000401＝___________×
（3） －3。2×
（4） 35毫升＝___________升 (5) 312纳米＝____________米
7 约分 （1） （2)
（3) （4）
二 计算
1 2
3 4
5 6
7 8。计算
9. 计算：
三 解方程
1 2 ＝
3 4
四 只列方程，不用解
1 甲做100个机器零件所用的时间和乙做60个所做的时间相等，又知每小时甲乙二人一共做35个机器零件，问甲乙每小时各做多少个机器零件?
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做________________个零件

2 农机厂职工到距离工厂15千米的生产队检修农机。一部分人骑自行车先走，40分钟后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行车的3倍，求两种车的速度。

3 工厂储存了240顿煤，若每天节约2吨,则可以比原来多用4天,问原来每天计划用多少吨煤？

4 A、B两地相距150千米,甲乙两车同时从A站出发,1小时后，甲车在乙车前12千米.最后乙车比甲车晚到25分钟,求两车的速度。

5 小明有一本280页的书，计划2周读完.当读到一半时，发现平均每天要多读21页，才能按时读完.求原来每天平均读几页？

反比例函数
1。反比例函数的图像位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限

2.若与成反比例,与成正比例,则是的（ ）
A、正比例函数　　 B、反比例函数　　 C、一次函数　　D、不能确定
3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长cm与宽cm之间的函数图象大致为（ )
o
y
x
y
x
o
y
x
o
y
x
o
A B C D

4。某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时,
气球内气体的气压P ( kPa ） 是气体体积V ( m3 ）
的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见,气球的体积应（ ）

A、不小于m3 B、小于m3 C、不小于m3 D、小于m3