角平分线辅助线.拔高(2014-2015)-教师版.doc

2015年中考解决方案

角平分线辅助线拔高

学生姓名：×××

上课时间：2014.××.××

角平分线辅助线拔高

自检自查必考点

知识点一 角平分线性质
（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；
（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
（3）天然的轴对称模型，三线合一模型

知识点二 角平分线辅助线
秘籍一：往角两边作垂线
解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等

秘籍二：往角两边截取相等的线段
解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题

秘籍三：过角平分线上的点作垂线
解读：过角平分线上的点作垂线，常用于构造三线合一，构造等腰三角形

秘籍四：过角平分线上的点作角一边的平行线
解读：可以构造等腰三角形，可以记作口诀：“角平分线+平行线，等角三角形现。

总结：往角两边作垂线或平行线、及截取等线段，或用四点共圆

知识点三 角平分线模型
模型一 两角平分线相交模型
解读：这些是三角形角平分线的经典题型，必须让学生掌握这些证明过程
类型一：在中，如图1，为和的角平分线，与为

推理方法：如图①，可得，，化简可得
类型二：如图2，为和的角平分线，求与之间的关系为

推理方法：如图②，可得，，化简可得
类型三：如图3，为和的角平分线，则与之间的关系为

推理方法：如图③，，，化简可得
模型二 对角互补模型
条件：①，②∠AOB+∠DCE =180°
结论：①
②
③
难度较大，记得经常复习（庆功独家提供，见几何小秘籍）

中考满分必做题

【练1】 在中，平分，，为垂足，为的中点，求证：．

【答案】延长交于，则得，所以为中点，所以，所以
含有角平分线的题目，常以角平分线为对称轴作出全等三角形．

【练1】如图所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证．

【答案】题目中有角平分线和垂直的条件，
因此可以考虑将图形补成等腰，
之后再证明是的中位线即可．
如图所示，延长、相交于点，
在和中，，
，，
故，从而，．
而，故是的中位线，
从而．

【练2】 如图，在中，，、分别是、的平分线，，．
求证：．

【答案】如图，作，交于，交于．
∵为等腰三角形，且平分
∴为中点，且
∵平分，且
∴为等腰三角形，且为的中点
又∵
∴，且为中点，即
可以发现四边形为矩形，于是
∴

【练3】 在中，，的平分线交于，过作，为垂足，
求证：．

【答案】延长交的延长线于，
过作交于，
容易证得，
且为 之中点，
故易得．

【练1】如图所示，在中，是的平分线，是的中点，且交的延长线于，，求证．

【答案】如图所示，延长到，使，连接、．
因为，故，则．
因为，故．
因为，，故．
因为，故．
因为平分，故．
在和中，，，，
故，从而，因此．
【点评】实质上，本题还是利用了“见到角平分线，考虑对称图形”的思想．

【练2】如图，在中，是角平分线，，垂足为．求证：．

【答案】如图，延长交于于．
因为，，，
所以．
于是．
因为，
所以．

【练3】如图，已知，，，．求证：．

【答案】解法一：如图，取的中点，连接、．
∵，，
∴．
∵，，公共，
∴．
∴．
∴．
解法二：如图，延长到，使，．
∵，，公共，
∴，．
∵，
∴，
∴是等腰三角形底边上的中线，
∴．
解法四：如图，取、的中点、，
连接、，∴，故．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．而，公共，
∴．
∴，，
∴是直角三角形．∴．

【练4】 如图，在中，，的平分线交于，过作，垂足为，
求证：．

【答案】解法一（角分线加中位线）：如图，延长、交于．
∵，，
∴，．
过作，交于，
则，，．
∴，∴．
解法二（角分线加中位线）：如图，延长、
交于，过作交于．
∵，，
∴，．故有．
∵，∴．
∵，∴．
解法三（直角三角形斜边中线）：如图，取的中点，
连接交于，则是斜边上的中线．
∴，．
∴．故，，，
有，故是的重心．
∴为的中线，故．
解法四（角平分线定理与面积比例）：如图，延长、交于．
∵，，
∴．∴．
而，∴．
∵平分，∴，，
∴．
故，∴．

【练1】是的角平分线，交的延长线于，交于．求证：．

【答案】由“角平分线+垂直”联想到等腰三角形的“三线合一”，
故恢复等腰三角形．延长交的延长线于点，
易证得，所以为的中点，
又，所以为的中位线，故．
这道题目是典型的“补图”，凸显题目中的条件．

【练2】如图所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证 且．

【答案】如图所示，延长到，使，
连接．在和中，，
，，故，
从而、、三点共线，
且是的中点，是的中位线，
故，且

【练3】如图所示，在中，平分，，于，求证．

【答案】如图所示，延长、相交于．
取的中点，连接，则，
故，则．
容易证明，故．
因此．

【练5】 已知在中，，的平分线交于，交边上的高于，过作交于，求证：．

【答案】解法一：如图，由向作垂线，垂足为，连接．
又∵，，
∴，，公共．
∴，．
又∵，，
∴，故，
∴．而，
∴为平行四边形，故．
又∵，∴．
而，故，
∴．而，∴．
解法二：如图，作，交于．
∵，，∴．
又∵，，∴．
而，故．∴，．
又∵，∴．∴，
∴，即．∴．
解法三：如图，过作，垂足为．
过作，垂足为．
又∵，，
∴，∴．
∵，，
∴，∴，∴．
又∵，，而．
∴，，故．
解法四：如图，延长到，使，连接，
过作交于，显然．
∴，．
又，公共，
∴，，．
显然为平行四边形，
∴．
由另证1可知，故．

【练1】如图所示，在中，，于，的角平分线交与，交于，平行于交于．，，则______．

【解析】角平分线、直角．
过作垂直交于点，易证；
由角度分析易知，即；则有；
又可证，则，则．
【答案】4

【练2】如图，在△中，，平分交于，于交于，∥交于，连接．求证：

【答案】先证△≌△，再证△≌△

【练2】如图所示，在中，于，平分，交于，交于，在上取，连接，证明：是直角三角形．

【答案】过做垂直于；
由角的关系易得，即；
易证；；
，；
综合得到，，得证．

【练3】在直角三角形中，，的平分线交于．自作交于，交于．自作于，求证：．

【答案】解法一(四点共圆+垂径定理)：
如图．，4点共圆，．
又，，，故．
解法二（证菱形）：如图，连接
是的平分线，，，
，．，，
，，，
，四边形是菱形．．
解法三（三线合一）：如图．
，，公共，
．，．
是的中垂线，故．
解法四（截长补短）：如图，延长交于，连接．
，，，．
显然，．
又，4点共圆，
为等腰梯形，为等腰三角形．
，．而，．

【拓展】如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交于，于，求证：．

【答案】解法一：如图，过作，
交于，垂足为，连接．
∵，，
，，
∴．∴是的中垂线．
又∵，∴，
∴是菱形（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形），
∴，，，
∴．∴．
解法二：如图，过作．
∵，，∴．
∵，，
∴．而，
∴，∴．
∵，∴．
∵，，
∴，故．
∴，，∴．

中考真题拔高

注：中考题和模拟题的几何压轴题经常把角平分线的基本性质和对称性，和垂直平分线基本性质结合起来考。可以根据全等得到角等推出对角互补，从而推导出四个角相等，经常和相似结合起来出相似比，也会和圆结合起来考。

【练6】 已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合.
（1）如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；
（3）若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长.
（09年昌平一模）

【答案】（1）与的数量关系是相等
过点作，，垂足分别为点．
∵，易得．
，
而，
．
∵是的平分线，
，
又∵，
．
．
（2），，
，
∵，
．
又∵，
∽．
．
∵，
．
（3）如图1所示，若与射线相交，则；
如图2所示，若与直线的交点与点在点的两侧，则．

【练7】 （1）如图1，为的角平分线，于，于，，请补全图形，并求与的面积的比值；
（2）如图2，分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角
形，与相交于点，判断与的数量关系，并证明；
（3）在四边形中，已知，且，对角线平分，
请直接写出和的数量关系.
（10年昌平二模）

【答案】（1）解：如图1所示.
∵为的角平分线，于，于，∴．
∵, , ，
∴.
（2）答：与的数量关系为 相等 ．
证明：如图2，过点作⊥于, ⊥于,
∵和都是等边三角形，
∴．
∵,
∴．
∴≌．
∴,
∵, ,
∴．∴点在的角平分线上．
∴．
（3）答：．

【练8】 已知， 点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°.
（1）利用图1，求证：PA=PB；
（2）如图2，若点是与的交点，当时，求PB与PC的比值；
（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长.

图2
图1
图3

(2011昌平一模)

【答案】（1）

在上截取，连接，
∵ ∴
又∵
∴
∵∴，∵ ∴
∴∴
（2）

∵
∵且
∴ ∴∵ ，∴
∴． 　

（3）

作交于，∵ 且平分 ∴
∵ ∴
∵ ∴
∵∴
∵在中 ∴ ，∴
∴在中， ∴

【练9】 已知：如图，为锐角，平分，点，点分别在射线和上， .
（1）若点在线段上，线段的垂直平分线交直线于点，直线交直线
于点，求证：；
（2）若（1）中的点运动到线段的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想
的数量关系并证明你的结论.
（1）证明：

备用图1
备用图2
（2）

(2014年1月西城八年级期末试题—附加题)

【练10】 已知和关于直线对称(点的对称点是点)，点、分别是线段和线段上的点，且点在线段的垂直平分线上，联结、，交于点．
（1）如图（1），求证：；
（2）如图（2），当时，是线段上一点，联结、、，的延长线交于点，，，试探究线段和之间的数量关系，并证明你的结论．

图（1） 图（2）

(2014年1月丰台九年级期末试题)

【答案】

(1)证明：如图1 连接
∵点在线段的垂直平分线上,
∵和关于直线对称

∵ 图1

(2)解：
证明：如图2，由(1)可知

∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF

图2

∴．∴，设，则
过点F作FQ∥ED交AE于Q，

∴GQ=EG=．∴QE=， MQ=MG+GQ=3k+=
∵FQ∥ED，.∴FM=FN

【练11】 在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。
（1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；

（2） 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；
（3） 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。

(2012年北京中考试题)
【答案】（1）补全图形，见图1；
；
（2）猜想：.
证明：如图2，连结.
是的中点，
.
点在直线上，
.
又为公共边，
.

又，
.

在四边形中，.

（3）的范围是.

【练12】 在，为锐角， 平分交于点
（1）如图1，若是等腰直角三角形，直接写出线段之间的数量关系；
（2）的垂直平分线交延长线于点，交于点．
①如图2，若，判断之间有怎样的数量关系并加以证明；
②如图3，若，求的度数．

(2014年西城二模)

【答案】（1）
（2）①
证明：在线段上截取，连接．
平分 ． 又

又 ，∴ 是等边三角形．∴ ．
∴ ．
②在线段 上截取 ，连接 ，作 于点 ．
易证 是等腰三角形 、

，．
在中 ，
．