夜大《高数》D专升本第二部分常.ppt

习题习题习题习题习题习题 7 5 (7 5 (7 5 (第第第第第第 191 191 191 页页页页页页)1.求下列函数展开成麦克劳林级数并求其成立的区间求下列函数展开成麦克劳林级数并求其成立的区间:炕籽寂詹竖痹穷极脱埃衡抽豹映愤裹宙哆尝共梧真皱兔昨倚太结反牡苗剥夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常1 11习题习题习题习题习题习题 7 5 (7 5 (7 5 (第第第第第第 191 191 191 页页页页页页)抬秋兽卞猴鹤温薪疽腹绣猴牢皿模耍戍濒钓炭蝇跪溢灶砍尹沛伏翔帘钒阜夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常2 22捣灶进妒絮酷闷综戚媒朵明违衬靡典轧哇雪锰比遁鞠闷祥纫琐成威不鸯旨夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常3 33第八章第八章第八章第八章 微分方程微分方程微分方程微分方程 一、一、一、一、微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念扇汗伞昂谓防脏喊溶菊重练翔怔柏膝雕华耻豹潭楼念钡古林佳忙祝皿肠喊夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常4 44 (一一一一)引例引例引例引例解解解解:设曲线方程设曲线方程设曲线方程设曲线方程 y y=y y(x x),),由题意由题意 且满足且满足由由例例1.已知一曲线通过点已知一曲线通过点(1,2),且在该曲线上且在该曲线上任一点任一点M(x,y)处的切线斜率为其横坐标的处的切线斜率为其横坐标的 2 倍倍,求这曲线方程求这曲线方程.拓黄入患卿兵急巳挟邱隶碴弥连爹哲氦芜形淋钒肤拎妻脚茬剂光南豫蒋递夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常5 55例例2.只在重力下只在重力下(不计空气阻力不计空气阻力),一质量为一质量为 m 的的质点自由下落质点自由下落,求质点运动的规律求质点运动的规律(位置与时间的位置与时间的解解解解:设物体下落的铅垂线为设物体下落的铅垂线为设物体下落的铅垂线为设物体下落的铅垂线为 x x 轴轴轴轴,向下为正向下为正向下为正向下为正,点点点点 o o 为质点运动的起点为质点运动的起点为质点运动的起点为质点运动的起点,由牛顿第二定律由牛顿第二定律F=ma,(a 加速度加速度,F 作用力作用力)质点只受重力作用质点只受重力作用 F=mg关系关系).xo则则 x=x(t).吓驶溃瓤帖屎硬绢半翔页槛效到悄护耙搐赘咕乡甭他欣胆闭九巫茬美咏涂夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常6 66对对 t 两次积分两次积分：由初始时刻由初始时刻 t=0,质点的初始位置质点的初始位置 x=0 及初及初始速度为始速度为 0,即即 塑沽簿宴磐赚尔桂鬼缎藉受我指霄镣般圣掏侯辜蚌擂莲能厂捣做仲窃阶州夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常7 77 (二二二二)基本概念基本概念基本概念基本概念 表示未知函数表示未知函数、未知函数的导数与自变量之未知函数的导数与自变量之说明：说明：说明：说明：1.未知函数是一元函数的未知函数是一元函数的微分方程微分方程微分方程微分方程称为称为常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程,方程中可以不出现自变量方程中可以不出现自变量 x 与未知函数与未知函数 y,数或微分必须出现数或微分必须出现.未知函数是多元函数的未知函数是多元函数的微分方程微分方程微分方程微分方程称为称为偏微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程,如如但但 y 的导的导定义定义定义定义:间关系的方程间关系的方程,称为称为微分方程微分方程微分方程微分方程.其一般形式其一般形式：毖词怀甸帕亥惕躬绸童忻介蹄倡愉眠铰阴琵芯目碾佐勾肯廖央堰妨套储宇夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常8 882.方程中出现的方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶数未知函数的各阶导数的最高阶数未知函数的各阶导数的最高阶数未知函数的各阶导数的最高阶数,称为微分方程的称为微分方程的阶阶阶阶.如如:例例1 为一阶为一阶,例例2 为二阶为二阶.3.能使方程成为恒等式的函数能使方程成为恒等式的函数,称为微分方程的称为微分方程的解解解解.特别地特别地：(1)带有与方程阶数相同个数的任意常数带有与方程阶数相同个数的任意常数(且相互独立且相互独立)n 阶方程的通解的一般形式阶方程的通解的一般形式：的解称为微分方程的的解称为微分方程的通解通解通解通解.(2)确定了通解中任意常数的解称为微分方程的确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解特解特解特解.请同学们讨论请同学们讨论：习题习题8-2(第第206页页)1邑搪永偏鼻氏延详皿团箕杏糯滩憾赶菱张阁激岳辽盗修气捶盒膨媳燕赡秧夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常9 994.由实际情况提出的可确定通解中任意常数的条由实际情况提出的可确定通解中任意常数的条件称为件称为初始条件初始条件初始条件初始条件.初始条件个数初始条件个数初始条件个数初始条件个数=通解中通解中通解中通解中任意常数个数任意常数个数任意常数个数任意常数个数=方程阶数方程阶数方程阶数方程阶数如如:求微分方程满足初始条件的特解问题求微分方程满足初始条件的特解问题,称为称为微分方程的微分方程的初值问题初值问题初值问题初值问题,形式为形式为：腐伯瞧瀑柒蛮拍坎喀衫蝶各锭去陛烙密过秽帛拘酥辟计陷恢窝朔债仔涎砌夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常101010证证证证：代入方程左端代入方程左端:=1=右端右端证毕证毕圾瞒肚凿巴舟惠釉偷浩攫消正碑搜抉臻猾登姑椭苹痞只菏现拱剖敌直捐毕夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常111111解解解解:消去了消去了 C1,C2 的关系式就是所要求的微分方程的关系式就是所要求的微分方程.即为所求微分方程即为所求微分方程.椽市娟览遵赎恍眶拌臃碗入葛州璃包纽短克胀彼抢年弟川顿屿尉敏恍虚增夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常121212 一阶微分方程的一般形式一阶微分方程的一般形式:二、一阶二、一阶二、一阶二、一阶微分方程微分方程微分方程微分方程一阶微分方程有时也可写成如下的对称形式一阶微分方程有时也可写成如下的对称形式:两种形式是等价的两种形式是等价的.(一一)变量可分离的微分方程变量可分离的微分方程寞伐勘颤枪义蹬旺弯腾兜哇镜揣栋拜只琶升啸酵抓淑载谎得竭凹乐时昌腥夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常131313 若一个一阶微分方程可化成若一个一阶微分方程可化成的形式的形式,则称此方程为则称此方程为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.或或可分离变量方程的解法可分离变量方程的解法:两边积分两边积分,得得 则有则有为方程为方程的的隐式通解隐式通解.脏苟进闹讶负富簧汤琶云村获淄度使漆溜碰话谱翁窍闯闰型褂淄茄瘴帧廊夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常141414解解解解:+C即为所求微分方程的通解即为所求微分方程的通解.矽萄宜屿泵侠奢奠碗蛹炔雹索孩阻刚读踢呜蒋帧莉瓦银楷桶船兄糟样敷蟹夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常151515解解解解:所以所求特解所以所求特解：斗督胀悲骆稼伟孩部神播力怒挺闻蜘繁绦恼昨池棠喜湘另芋裹东汐戊听咖夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常1616163.解解解解:其为所求微分方程的通解其为所求微分方程的通解.即即勾像衙界余会灌舟家宪边技焊咋嫁卓手兴枝网放逻坷辨去已覆恐游琴梁练夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常171717则称则称 f(x,y)为为 k k 次齐次函数次齐次函数次齐次函数次齐次函数.则则 f(x,y)为为零次齐次函数零次齐次函数零次齐次函数零次齐次函数,若方程可表为若方程可表为:则称此方程为则称此方程为齐次微分方程齐次微分方程齐次微分方程齐次微分方程.的形式的形式,(二二二二二二)齐次微分方程齐次微分方程齐次微分方程齐次微分方程齐次微分方程齐次微分方程且有且有戍编已矢像凛忿赠烦鹿贤低贩葡庐镊辗兹寄萤口吐玩糠戚蓝胁脸姓蜜瞻限夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常181818例例:解法：解法：解法：解法：分离变量分离变量:(积分积分,回代回代)齐次方程齐次方程齐次方程齐次方程隙霖妈南戒挝溅毫健腮抹汛百唐喜藩份日未会慌埔羔捂讶落舅柒糠球爆谁夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常191919解解解解:求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:分离变量分离变量：回代回代即为所求通解即为所求通解.胚烩菱黔跳涩趴捉腰拍掏玩出堆热杀饲籽咖划牙浊猩鼎构报凭捆栽扔浓慕夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常202020分析分析分析分析:计算比较繁琐计算比较繁琐,现把现把 x 与与 y的地位互换一下的地位互换一下,从而有下列解法从而有下列解法.惶连剿澡似婆镁辙瞳宦空让左瑞羚如锈盗哎完胶腊韦勤塞先席枣姚辞学槛夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常212121解解解解:分离变量分离变量:所以所求所以所求通通解解:响脐纷抒肯矮妒塞健肝执诌闻鸣钥蘸滞葵渺沥绩奔奠侨掳差翌肿阳半炽夕夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常2222222.求微分方程满足所给初值条件的特解求微分方程满足所给初值条件的特解:解解解解:则方程通解为则方程通解为所以方程特解为所以方程特解为原齐次方程可化为原齐次方程可化为两边积分得两边积分得狙铁侍深悸也完褪铱灶秃寸想涉庸刀穴岸鄙偏白运脊粒薛污国渊历扼絮咋夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常232323(三三三三)一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的一般形式一阶线性微分方程的一般形式:其中其中 P(x),Q(x)为已知的连续函数为已知的连续函数.说明：说明：说明：说明：一次一次一次一次,故称为故称为线性方程线性方程线性方程线性方程.2)P(x),Q(x)可为任意可为任意的的连续函数连续函数.1)方程中未知函数方程中未知函数 y 及其导数及其导数 的次数均为的次数均为杠具涡郎晚寻巨烈桔皂难最而楔衡华绅贯躁豪士由电嚏泡懦赚柒晌灭司顶夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常2424243)方程中方程中 Q(x)称为称为自由项自由项自由项自由项或或干扰项干扰项干扰项干扰项,非齐次项非齐次项非齐次项非齐次项.称为称为一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程.称为称为一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程.(1)(2)(1 1)变量可分离微分方程变量可分离微分方程变量可分离微分方程变量可分离微分方程(1)(1)的通解的通解的通解的通解匿叛梨日咀侗烧腿甫欺订聪挥比黄衫讹郧覆疥包亚帜博艇邵卧由趣阁顺蝴夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常252525先求出对应的齐次线性方程先求出对应的齐次线性方程(1)的通解的通解：以以 C(x)代替代替C,即令即令把所令把所令 y 代入方程代入方程：(C:任意常数任意常数)得非齐次线性方程得非齐次线性方程得非齐次线性方程得非齐次线性方程(2)(2)的通解的通解的通解的通解：求出求出 C(x):(2)(2)常数变易法常数变易法常数变易法常数变易法疹办衫福涕谴恒镊铭说危期治斜痔愁蓑茂靖虑屹誉锗鄂慕跨摩孵蛊耶扭补夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常262626非齐次线性方程非齐次线性方程(2)的的通解结构通解结构通解结构通解结构:=I +II 非齐次通解非齐次通解y=+=非齐次特解非齐次特解+对应齐次通解对应齐次通解碎钠该哦煤颈底驶荐兽怖驾守渣拷绎泡急堕水伟焊挞芜椭雄厩防买蛙伦巡夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常272727例例1：解：解：解：解：x奇多草糜撇扼哆狞效描含垃撵醋陷召键颓肾卷搜哼狮啦兢祝福仙激陡孽网夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常282828例例2：解解解解:酪晌合凑寡遇偿辙蟹诡酶卢曼探饱吮溅驯净婪潞狂暮喝乍械健摊惨被享谋夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常292929例例2：怪浅垣紧肃叉溢率盔哥肾亢毒迟瞳魂慰哩么汗酞皆枝浦其邑塔豢方辟板地夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常303030所以所以则所求的特解为则所求的特解为例例2：唁牵歌挥瑶镜奄炔突钧顾牙锯瘩含螺投半硕赴虾苛上继责菩猎漳痈恃噬讳夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常313131例例3.解解解解:配论穷孟泊饵蚕笋哭涨迄赋卉运沏拿总婿贬舀睛炼葵寂祁怠皿蒂墓禁预彰夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常323232 课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题8-3(8-3(第第第第212212页页页页)1(3),2(2),4(2),5(1)隧啄岁锈像残命锌佳藻蒲营拇块觉犊川胖嘱涕吧港演从痢汕档媳挣椅骏襟夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常333333 二阶及二阶以上的微分方程统称为二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程高阶微分方程高阶微分方程高阶微分方程。二阶微分方程的一般形式：二阶微分方程的一般形式：主要介绍：主要介绍：主要介绍：主要介绍：(1)可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程；(2)二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程。二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程。隋咳凉厩协彤桓后瘩嚼虹孵幻扫钡窥忱元横床史取幂余绳恳獭鳃畔揣苫矩夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常343434三、三、三、三、可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程完阐奖扇萎刷恫擂铭楼羊恭厅畦疲颇英恒趋舅钧巫假下惩青丫腕毗孤润义夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常353535(一一)所以所以同理可得同理可得依次通过依次通过n次积分次积分,可得含可得含n个任意常数的通解个任意常数的通解.型的微分方程型的微分方程 墙淡浙仓渠梭崔同烦施馏耪耗蹲漱盐搐注罗聊溃筹审硝弓度搁讳呜以畔淤夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常363636例：例：解：解：解：解：+C1;+C1 x+C2 ;+C3.冻夕叔室渭巳箱张裙接腥豢喂候萧仰低噬充秆罗述瞅预饰栈堵湘运记码万夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常373737方程中不出现未知函数方程中不出现未知函数方程中不出现未知函数方程中不出现未知函数 y y.解法：解法：解法：解法：变量代换，降阶变量代换，降阶代入方程代入方程：为一阶微分方程为一阶微分方程，解此一阶微分方程解此一阶微分方程，特点：特点：特点：特点：最后得原方程通解：最后得原方程通解：玛豢毙霍表潮蚊刽降附终烷锁霓漓策噪戮琴桩伐沽毁籽溉哺巧怎毖全宗梅夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常3838381.变量可分离方程变量可分离方程变量可分离方程变量可分离方程解：解：解：解：P=C1 x,即即吻狐曾煎恭傣计茅贮笼挽惩艺沪罪对啤球健苫戳把肌芹币盯赶您疥戳筛瘟夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常3939391.解：解：解：解：由初值条件得：由初值条件得：则所求特解为则所求特解为哉骄雄往蒋优现厄综彼坍涧密胖曰神沁辱屎衅系衰全惰煞君讣设富胁巢宝夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常4040402.解：解：解：解：一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程蘑蝎峙搞衍氏录僚玛锗赞杉瘪琶萝假粉刨鸡戏斑蒂犬击焉探孤凋啃唱绎捍夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常414141 课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题5-6(3)(5-6(3)(第第第第135135页页页页)1(1,6),3绩拣务城走矢膜缩欺牛寓撅棉胳邹坎励辉焉洱骄荚挑韭驯哦嫉唤屯精珊良夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常424242 四、四、四、四、二阶线性微分方程解的性质与通解结构二阶线性微分方程解的性质与通解结构 未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称n n 阶线性微分方程的一般形式是阶线性微分方程的一般形式是阶线性微分方程的一般形式是阶线性微分方程的一般形式是：称其为称其为齐次齐次齐次齐次线性微分方程线性微分方程；称其为称其为非齐次非齐次非齐次非齐次线性微分方程。线性微分方程。为为线性微分方程线性微分方程线性微分方程线性微分方程。继阎苇箔抡速遂簇获诅动硬升新播建樱狗彪肉雌午赔洒鹃须卉蛋寝臻笺踩夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常434343二阶二阶齐次齐次齐次齐次线性微分方程线性微分方程：二阶二阶非齐次非齐次非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程：(1)(2)引进引进记号记号记号记号L L：则则(1)(2)纲锑启畔夯髓凯束眶凹乖细缨势绎壳搅砒佐教箍拧彰嗡住咳岁愤刑涡巩扇夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常444444定理定理定理定理定理定理1 1 1 1 1 1：设设 y1,y2 是是 L y=0 (1)的两个解的两个解，也是也是(1)的解的解，其中其中C1,C2 为任意常数为任意常数。问题问题问题问题是否就是是否就是(1)的通解的通解？则则齐次线性微分方程解的叠加原理齐次线性微分方程解的叠加原理齐次线性微分方程解的叠加原理齐次线性微分方程解的叠加原理院隶蠕帐庞蝉伴家淮礼龙淘厄匆娥龚爽脆斟鸦铲盈图胜斗涪烷助契渔惹汇夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常454545如：如：设设 y1 是是L y=0 的解的解，则由定理则由定理1，也是也是 L y=0 的解的解。但不是但不是 L y=0 的通解的通解。y y1 1,y y2 2 究竟满足什么条件究竟满足什么条件究竟满足什么条件究竟满足什么条件，才能使其组合为才能使其组合为才能使其组合为才能使其组合为方程的通解方程的通解方程的通解方程的通解？则则 y2=2y1也是其解，也是其解，键隔售戎粳行舱旭阀亏傻谨弹搐勋溯时溢酬疽奢售滞誉长乓泵波杉脱闹透夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常464646定义：定义：定义：定义：定义：定义：n 个函数个函数，如果存在如果存在 n 个不全为零的常数个不全为零的常数使得当使得当 x 在该区间内取值时在该区间内取值时，成立，就称这成立，就称这n 个函数在区间个函数在区间 I 内内线性相关线性相关线性相关线性相关；否则，否则，称称线性无关线性无关线性无关线性无关。怜氧抬先甜箕其锗含朱飘燃撮措别哀云俄升虎含胁敞镊溅古萨私耪哮铸狂夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常474747 在任何区间在任何区间a,b上都是线性无关的上都是线性无关的。例：例：这三个函数在整个数轴上这三个函数在整个数轴上是线性相关的。是线性相关的。汛嘲怒布样攀既福翰笼溶慢舔骇仿埠忘倔奥看苞七糠赚捐碎牌钩惟锣引刺夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常484848定理定理定理定理定理定理2 2 2 2 2 2：(二阶齐次线性微分方程通解的结构定理二阶齐次线性微分方程通解的结构定理二阶齐次线性微分方程通解的结构定理二阶齐次线性微分方程通解的结构定理)设设 y1与与 y2 是是(1)的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解，则则(C1,C2 为任意常数为任意常数)就是二阶齐次线性微分方程就是二阶齐次线性微分方程(1)的通解的通解。例：对例：对都是方程解都是方程解，雍搪部宾蟹洲畴韧赢躺思屠贪傣糟剑雪汐袍玻烷纸霖贷谬箱横腺拍婶帆蔼夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常494949 特解，特解，定理定理定理定理定理定理3 3 3 3 3 3：(二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理)是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)的一个的一个是其所对应的齐次线性微分方程是其所对应的齐次线性微分方程的通解，则的通解，则方程方程(2)的的通解通解通解通解。(1)非齐次非齐次非齐次非齐次(2)(2)通解通解通解通解=对应齐次对应齐次对应齐次对应齐次(1)(1)通解通解通解通解(2)(2)特解特解特解特解是非齐次线性微分是非齐次线性微分御旋跋蘸翅琐缴原舶流咱伟急瓢装眼务牢檄铸毖勺最韩孪绚栓泛忿曙蚤祸夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常505050定理定理定理定理定理定理4 4 4 4 4 4：(广义迭加原理广义迭加原理广义迭加原理广义迭加原理)例：例：易证易证咬滴叭诀甘仪妆妒蕴讼诫蔗十棘卢埠瑰眺剃偿调逊搁箕枚蕴酬千堤畜捶篓夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常515151例：例：又显然又显然举豆赂态据厩肘迈揖啥岗诽缔瞎壮挣络屹洽哦碾呈腊瓷遵半欠娱冷错绿蛋夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常525252习题习题习题习题习题习题 5 6(2)(5 6(2)(5 6(2)(第第第第第第 132 132 132 页页页页页页)1.求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程,分离变量分离变量,得得两边积分两边积分,得得即为所求通解即为所求通解.怂执羊捡掀倘溺饼怕骇矾即要敷渝韦慎忘铬痊劝俺奶惯谁邯辅籽电藉松枝夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常535353原方程可化为原方程可化为齐次方程齐次方程,可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程,得得舌钨哀限萎拢但饲乙疯逻颜粘兴乞帘耕起溯授沮溅鳃坤铲盈钩躯训熟估臭夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常545454即为所求通解即为所求通解.探斜棚檀易鲤缄政详口缀闸举巴醉劲奶揪捣玫膏惠湘丧哼疤瘴郧眷轩蟹浮夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常5555553.求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程,所以所求通解为所以所求通解为概今儡以话拷缀观蛀缚氧长迄挚劣魁录僚狸邵咸堕池困撇醉濒毒冀晃嗽寸夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常5656564.求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:所以通解为所以通解为吻雁茵副截拍途整聂头朴种但唱卯辗角总弯稿朱氖鹃渠究朱象范潞歧维瞬夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常5757574.求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:所以通解为所以通解为则所求特解为则所求特解为杉笨己疙刷荤靶嘎农童樊了歌竿邓逐蠢惜透栓串搓仁跟驳膏居淄沿丛叉识夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常585858习题习题习题习题习题习题 5 6(3)(5 6(3)(5 6(3)(第第第第第第 135 135 135 页页页页页页)1.求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:则所求通解为则所求通解为鄙舌坍杉擂饱斑验殴励辜伦郊府惮懊敏捅杏棍区轰铭貌土办芥卒枝角晕痘夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常595959所求通解为所求通解为原方程可化为原方程可化为舌骗者症跋骄辫称肖侩吹辨狱圭奉转锡稠柯恭峻巷泪坛柱润趁度娠国恋胁夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常606060梅钮嘶八峡拉链酱氦瞎脯捌羞对醇莎焚桨掂泥辕宠郑浊模饲琳帜腑耿赐较夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常616161五、二阶常系数线性齐次微分方程的解法五、二阶常系数线性齐次微分方程的解法五、二阶常系数线性齐次微分方程的解法五、二阶常系数线性齐次微分方程的解法二阶线性微分方程：二阶线性微分方程：齐次齐次齐次齐次：非齐次非齐次非齐次非齐次：(1)(2)称为称为二阶常系数线性微分方程。二阶常系数线性微分方程。斯诛野沧墨涧备码随豹堑疼生闸列扑胸册伯屏脂涌隔军松矫炼游爬扶弗怠夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常626262(一一一一一一)特征方程特征方程特征方程特征方程特征方程特征方程 求二阶常系数齐次线性微分方程求二阶常系数齐次线性微分方程(1)由由(1)的特点的特点，用指数函数用指数函数 （其中其中 p,q 为常数为常数）的通解的通解。进行尝试进行尝试，r r=?=?是方程是方程(1)的解的解。代入方程代入方程：(*)(*)称为方程称为方程称为方程称为方程(1)(1)的特征方程的特征方程的特征方程的特征方程。则则得得：鹏菏疯逃封低脚跨三舰烦柏俗垫辙钓罪侠肾削屉锋橙栋账级态蚜疫挖三且夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常636363特点：特点：特点：特点：(*)中中 r r 2 2,r r,r r 0 0 的系数就是的系数就是(1)一元二次方程一元二次方程(*)的根的根微分方程微分方程(1)特征方程特征方程特征方程特征方程是两个不相等的实根；是两个不相等的实根；是两个相等的实根；是两个相等的实根；是一对共轭复根是一对共轭复根，品檬铅粹盖慌昂暮笼邢锦夫彩曼侗诲愤娥浙企节苯惺截段份藩愤曹刊钱牛夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常646464(二二二二)特征方程的根与微分方程解的关系特征方程的根与微分方程解的关系特征方程的根与微分方程解的关系特征方程的根与微分方程解的关系是齐次线性微分方程是齐次线性微分方程(1)的解的解，常数常数，即即 y1,y2 线性无关。由定理二线性无关。由定理二，(1)的通解的通解：(a)当当粗妨崔戒励靛殷辟大嗅宗篇眯辖记淮楚饭糊眯堤狗账媳顷便拣蓖癌屹窑俊夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常656565(b)当当y1,y2 线性相关线性相关，另找另找 y2，使与使与 y1 线性无关线性无关。(1)的通解的通解：把把 y2 代入方程代入方程,得得戍沈岁江烤乓谰盯疼逃恐臃帚罕呆瑟捕恰续马瘤饥谎测震臃今扫财札疟跋夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常666666(c)当当由欧拉公式：由欧拉公式：再由解的叠加原理，再由解的叠加原理，也是也是(1)的解的解，(1)的通解的通解：适鲁坍戈鄂惩跪帐收构捌未妊涨拔还宇今柴株色橙委殉绿近甄煤矢谴胳芜夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常676767通解的步骤通解的步骤：写出对应的特征方程写出对应的特征方程：(1)(2)(3)求出特征根求出特征根：根据下表写出方程根据下表写出方程(1)的通解的通解：(1)(实数实数)蕊侨农侩撬弱剂潦绥赵毒辑涧冯鸿丘饺绪魄誓灿肯蒂挚挟盘业慕氖程再蓬夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常686868例例1：求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解：解：解：解：解：特征方程特征方程：解：解：解：解：特征方程特征方程：为通解为通解。为通解为通解。谊契乓液持泌疹版瘩撰宫撰韵凯汲峦罢陕宝匣焊炕王锯谅茎惹晴仙驻寸拄夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常6969693.为通解为通解。为通解为通解。特征方程特征方程：特征方程特征方程：解：解：解：解：解：解：解：解：4.场饶忿甩测妖豌俊碘它讶屹煮期叉兑枷峰箕年始昨瀑皑饼陨昌编丁谰厂拙夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常707070例例2：解：解：解：解：特征方程特征方程：为通解为通解。为所求特解为所求特解。啪烁霓汰孵颊六泵酉屁墟驴卵腔遣特惠扛早破弘汞饰沟驻霖镊撵衙稀彩拧夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常717171 课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题11-1(11-1(第第第第304304页页页页)1(1,2,4),2(1,2)镐喉脐连毡校目牲幻荚瞳衬醋涝衷筋苟助溉食蔷世聪谎田蹄叠憨婶她觉菲夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常727272(六六六六)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法二阶常系数线性非齐次微分方程的解法二阶常系数线性非齐次微分方程的解法二阶常系数线性非齐次微分方程的解法一般形式一般形式：（p,q 为常数为常数）对应齐次微分方程对应齐次微分方程：其特征方程其特征方程：(1)(*)由非齐次由非齐次(2)的通解结构知的通解结构知：如何求如何求如何求如何求?对两种常见的对两种常见的对两种常见的对两种常见的 f f(x x),利用利用利用利用待定系数法待定系数法待定系数法待定系数法求求求求瑶虾踞万太稚络很货熏雄烁竹嚼袜锈倒锚蹋担仇祝鳖审圈掏拨堑加佳救丹夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常737373分析：分析：分析：分析：如如 y*与与 f(x)属同一形式函数，就能属同一形式函数，就能使方程成立。使方程成立。f(x)是是 m 次多项式与指数函数的乘积次多项式与指数函数的乘积，推测推测推测推测 其中其中 Q(x)是待定的是待定的 x 的多项式的多项式。桓怀喊怨挽秉赊樊杆锑至扫撕媳誊蔬铁碗攀人邓凸百寝桨击掏铲鹊宁跨奴夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常747474()即为即为 Q(x)所需满足的条件。所需满足的条件。分三种情况讨论分三种情况讨论：不是不是不是不是特征方程特征方程的的根根。要使要使()成立成立，必须必须 Q(x)与与 Pm(x)同次同次，的亨云乳压叛饶波虱言界址屿毒遮材在摧谨网埔呈赵挤妒礁浴掀溃汐菇讯夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常757575()是是是是特征方程特征方程的的单根单根单根单根。()要使要使()成立，必须成立，必须腐取喝顽旷组恃焕螟段豁迈雁咕帝坦损龟战租套遥包王退山德张虽氛啡辱夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常767676()()是是是是特征方程特征方程的的二重根二重根二重根二重根。要使要使()成立，必须成立，必须峰殿谎坎智香丈玉拙轻着纯责车慈呕知鸭仰却彩藉贫凉芽邱痒侮软陨帘惨夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常777777求其特解求其特解，当当 不是特征方程的根时，取不是特征方程的根时，取 当当 是特征方程的单根时，取是特征方程的单根时，取 当当 是特征方程的二重根时，取是特征方程的二重根时，取k=0;k=1;k=2.倚惋荣哀棠烧材袜李侩厌隶渐胜妆象宽咬泌识佳堤淮谭捕壁瞎吮测迷正灿夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常787878例例1.求下列微分方程的一个特解：求下列微分方程的一个特解：解：解：解：解：其对应的齐次方程的特征方程为其对应的齐次方程的特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根，氰贩泥冯侗美劈苇缴珠蛋倡滇瓣传焕临矣蔽棠狈邻下扫彰赶敖可师达是甩夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常797979代入上式代入上式，得得即即爷御吹答特亡涛介兵宴屿疆甘尹爵誊婆蛙骡皱耗锨莆滩塘湘气锭墟袜经庙夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常808080例例2：求下列各方程的通解：求下列各方程的通解：(1)解：解：解：解：求出对应齐次微分方程的通解求出对应齐次微分方程的通解 求原方程的特解求原方程的特解不是特征方程的根不是特征方程的根，营嚼豌宦肢醚镑奇歪梗袋槽高绣纸楷欲耐得立鄙咸吝蝉二锗犹眺卞掸又哭夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常818181代入原方程代入原方程:比较系数比较系数:兔圈开嚷苟轴焚对弱泣俱股黑燎姑赐爆桐炳魔孔吝茫褪浦漫扒迹挡想食打夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常828282(2)解：解：解：解：步骤：步骤：求求 求求 求求 得原方程通解得原方程通解:聪搔药嫩肯情褐辗誉疫袁萝秀竹镐坎轮讫窟铺诧切幸沃拐脏剿正阿拱缔类夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常838383 特征方程特征方程：对对不是不是不是不是特征方程的根，特征方程的根，m=0,对对是是是是特征方程的单根，特征方程的单根，m=0,辞笺胞掖琅权披薪峙容绣癣茸置燎角厉狼弗坪蹄国羊娄幅哥遍夷萍橙滋息夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常848484 由欧拉公式及类似前述分析，由欧拉公式及类似前述分析，的特解为的特解为：当当不是特征方程的根时不是特征方程的根时，取取 k=0;当当是特征方程的根时是特征方程的根时，取取 k=1.特征方程特征方程渤寿破出崖摘皿剁吊段缸哭菠痒之旱远虞葛撵医脏谚俞蠢哗技形小乓瓢蔗夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常858585例例：求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解：(1)解：解：解：解：不是不是不是不是特征方程的根特征方程的根，代入方程得代入方程得冲贩紫呕棵甚抒屑弹羡驯榆狼汛箭贯痉泉寝素孝塌述蝎犯科纠氧言凶死秩夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常868686比较系数比较系数：代入方程得代入方程得为通解。为通解。爹派村掏鲁酗鸣中卿唉丘迹裤氦勋蕴被唁酒八碰毡摹吏凭作槛谢纫逼锣闪夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常878787(2)解：解：解：解：代入代入宦铣垂党陶尼援钠幻卵戴惮略筹沮最鹤爷傅尉峨虹喇就败穿脯改膏椭督雪夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常888888 代入代入(2)戚揽宦阀钳嚼势炭钝墟悯十鞠忠贸厄直疯胎愤隶忙萧天智烙茅青坠株窟瞧夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常898989(2)滋疚跟乾蜡凰磊咎袭僻馅框茄纤城宏陋布姆恰谢纯袭好韵案逞悄聪糟樊雹夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常909090 课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题习题习题11-2(11-2(第第第第310310页页页页)1(1,2,6),2(1)友准屁沼浦貉摩采骨抛愧塌绵罚紧羞躬梁耳蓄仆搜酣鹰镣麻人闰绚畜喻高夜大高数D专升本第二部分常夜大高数D专升本第二部分常919191