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第二章 平面向量
2．1平面向量的实际背景及基本概念
练习（P77）
1、略. 2、
. 这两个向量的长度相等
但它们不等.
3、
.
4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同.
习题2.1 A组（P77）
1、 （2）.
3、与相等的向量有：；与相等的向量有：；
与相等的向量有：.
4、与相等的向量有：；与相等的向量有：；
与相等的向量有：
5、. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.
习题2.1 B组（P78）
1、海拔和高度都不是向量.
2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与同向的共有6对
与反向的也有6对；与同向的共有3对
与反向的也有6对；模为的向量共有4对；模为2的向量有2对
2．2平面向量的线性运算
练习（P84）
1、图略. 2、图略. 3、（1）； （2）.
4、（1）； （2）； （3）； （4）.
练习（P87）
1、图略. 2、
. 3、图略.
练习（P90）
1、图略.
2、
.
说明：本题可先画一个示意图
根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是与反向.
3、（1）； （2）； （3）； （4）.
4、（1）共线； （2）共线.
5、（1）； （2）； （3）. 6、图略.
习题2.2 A组（P91）
1、（1）向东走20 km； （2）向东走5 km； （3）向东北走km；
（4）向西南走km；（5）向西北走km；（6）向东南走km.
2、飞机飞行的路程为700 km；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.
3、解：如右图所示：表示船速
表示河水
的流速
以、为邻边作□
则
表示船实际航行的速度.
在Rt△ABC中
所以
因为
由计算器得
所以
实际航行的速度是
船航行的方向与河岸的夹角约为76°.
4、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）.
5、略
6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则
让学生理解
若三个非零向量的和为零向量
且这三个向量不共线时
则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.
7、略. 8、（1）略； （2）当时
9、（1）； （2）； （3）； （4）.
10、
.
11、如图所示
.
12、
.
13、证明：在中
分别是的中点
所以且
即；
同理
所以.
习题2.2 B组（P92）
1、丙地在甲地的北偏东45°方向
距甲地1400 km.
2、不一定相等
可以验证在不共线时它们不相等.
3、证明：因为
而
所以.
4、（1）四边形为平行四边形
证略
（2）四边形为梯形.
证明：∵
∴且
∴四边形为梯形.
（3）四边形为菱形.
证明：∵
∴且
∴四边形为平行四边形
又
∴四边形为菱形.
5、（1）通过作图可以发现四边形为平行四边形.
证明：因为
而
所以
所以
即∥.
因此
四边形为平行四边形.
2．3平面向量的基本定理及坐标表示
练习（P100）
1、（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
.
2、
.
3、（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
4、∥. 证明：
所以.所以∥.
5、（1）； （2）； （3）. 6、或
7、解：设
由点在线段的延长线上
且
得
∴ ∴
∴
所以点的坐标为.
习题2.3 A组（P101）
1、（1）； （2）； （3）.
说明：解题时可设
利用向量坐标的定义解题.
2、
3、解法一：
而
. 所以点的坐标为.
解法二：设
则
由可得
解得点的坐标为.
4、解：
.
.
所以
点的坐标为；
所以
点的坐标为；
所以
点的坐标为.
5、由向量共线得
所以
解得.
6、
所以与共线.
7、
所以点的坐标为；
所以点的坐标为； 故
习题2.3 B组（P101）
1、
.
当时
所以；
当时
所以；
当时
所以；
当时
所以.
2、（1）因为
所以
所以、、三点共线；
（2）因为
所以
所以、、三点共线；
（3）因为
所以
所以、、三点共线.
3、证明：假设
则由
得.
所以是共线向量
与已知是平面内的一组基底矛盾
因此假设错误
. 同理. 综上.
4、（1）. （2）对于任意向量
都是唯一确定的
所以向量的坐标表示的规定合理.
2．4平面向量的数量积
练习（P106）
1、.
2、当时
为钝角三角形；当时
为直角三角形.
3、投影分别为
0
. 图略
练习（P107）
1、
.
2、
.
3、
.
习题2.4 A组（P108）
1、
.
2、与的夹角为120°
.
3、
.
4、证法一：设与的夹角为.
（1）当时
等式显然成立；
（2）当时
与
与的夹角都为
所以
所以 ；
（3）当时
与
与的夹角都为
则
所以 ；
综上所述
等式成立.
证法二：设
那么
所以 ；
5、（1）直角三角形
为直角.
证明：∵
∴
∴
为直角
为直角三角形
（2）直角三角形
为直角
证明：∵
∴
∴
为直角
为直角三角形
（3）直角三角形
为直角
证明：∵
∴
∴
为直角
为直角三角形
6、.
7、.
于是可得
所以.
8、
.
9、证明：∵
∴
∴为顶点的四边形是矩形.
10、解：设
则
解得
或.
于是或.
11、解：设与垂直的单位向量
则
解得或.
于是或.
习题2.4 B组（P108）
1、证法一：
证法二：设
.
先证
由得
即
而
所以
再证
由得
即
因此
2、.
3、证明：构造向量
.
所以
∴
4、的值只与弦的长有关
与圆的半径无关.
证明：取的中点
连接
则
又
而
所以
5、（1）勾股定理：中
则
证明：∵
∴.
由
有
于是
∴
（2）菱形中
求证：
证明：∵
∴.
∵四边形为菱形
∴
所以
∴
所以
（3）长方形中
求证：
证明：∵ 四边形为长方形
所以
所以
∴.
∴
所以
所以
（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.
2．5平面向量应用举例
习题2.5 A组（P113）
1、解：设
则
由得
即
代入直线的方程得. 所以
点的轨迹方程为.
2、解：（1）易知
∽
所以.
（2）因为
所以
因此三点共线
而且
同理可知：
所以
3、解：（1）；
（2）在方向上的投影为.
4、解：设
的合力为
与的夹角为
则
；
与的夹角为150°.
习题2.5 B组（P113）
1、解：设在水平方向的速度大小为
竖直方向的速度的大小为
则
.
设在时刻时的上升高度为
抛掷距离为
则
所以
最大高度为
最大投掷距离为.
2、解：设与的夹角为
合速度为
与的夹角为
行驶距离为.
则
. ∴.
所以当
即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.
3、（1）
解：设
则. .
将绕点沿顺时针方向旋转到
相当于沿逆时针方向旋转到
于是
所以
解得
（2）
解：设曲线上任一点的坐标为
绕逆时针旋转后
点的坐标为
则
即
又因为
所以
化简得
第二章 复习参考题A组（P118）
1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.
2、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.
3、
4、略解：
5、（1）
；
（2）
； （3）.
6、与共线.
证明：因为
所以. 所以与共线.
7、. 8、. 9、.
10、
11、证明：
所以.
12、. 13、
. 14、
第二章 复习参考题B组（P119）
1、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）.
2、证明：先证.
.
因为
所以
于是.
再证.
由于
由可得
于是
所以. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】
3、证明：先证
又
所以
所以
再证.
由得
即
所以 【几何意义为菱形的对角线互相垂直
如图所示】
4、
而
所以
5、证明：如图所示
由于
所以
所以
所以
同理可得
所以
同理可得
所以为正三角形.
6、连接.
由对称性可知
是的中位线
.
7、（1）实际前进速度大小为（千米／时）
沿与水流方向成60°的方向前进；
（2）实际前进速度大小为千米／时
沿与水流方向成的方向前进.
8、解：因为
所以
所以
同理
所以点是的垂心.
9、（1）； （2）垂直；
（3）当时
∥；当时
夹角的余弦；
（4）
第三章 三角恒等变换
3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习（P127）
1、.
.
2、解：由
得；
所以.
3、解：由
是第二象限角
得；
所以.
4、解：由
得；
又由
得.
所以.
练习（P131）
1、（1）； （2）； （3）； （4）.
2、解：由
得；
所以.
3、解：由
是第三象限角
得；
所以.
4、解：.
5、（1）1； （2）； （3）1； （4）；
（5）原式=；
（6）原式=.
6、（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=.
7、解：由已知得
即
所以. 又是第三象限角
于是.
因此.
练习（P135）
1、解：因为
所以
又由
得
所以
2、解：由
得
所以
所以
3、解：由且可得
又由
得
所以.
4、解：由
得. 所以
所以
5、（1）； （2）；
（3）原式=； （4）原式=.
习题3.1 A组（P137）
1、（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2、解：由
得
所以.
3、解：由
得
又由
得
所以.
4、解：由
是锐角
得
因为是锐角
所以
又因为
所以
所以
5、解：由
得
又由
得
所以
6、（1）； （2）； （3）.
7、解：由
得.
又由
是第三象限角
得.
所以
8、解：∵且为的内角
∴
当时
不合题意
舍去
∴
∴
9、解：由
得.
∴.
∴.
.
10、解：∵是的两个实数根.
∴
.
∴.
11、解：∵
∴
12、解：∵
∴
∴
又∵
∴
13、（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）.
14、解：由
得
∴
15、解：由
得
∴
16、解：设
且
所以.
∴
17、解：
.
18、解：
即
又
所以
∴
∴
19、（1）； （2）； （3）； （4）.
习题3.1 B组（P138）
1、略.
2、解：∵是的方程
即的两个实根
∴
∴
由于
所以.
3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）
（证明略）
本题是开放型问题
反映一般规律的等式的表述形式还可以是：
其中
等等
思考过程要求从角
三角函数种类
式子结构形式三个方面寻找共同特点
从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助
证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.
4、因为
则
即
所以
3．2简单的三角恒等变换
练习（P142）
1、略. 2、略. 3、略.
4、（1）. 最小正周期为
递增区间为
最大值为；
（2）. 最小正周期为
递增区间为
最大值为3；
（3）. 最小正周期为
递增区间为
最大值为2.
习题3.2 A组（ P143）
1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略；
（4）提示：用代替1
用代替；
（5）略； （6）提示：用代替；
（7）提示：用代替
用代替； （8）略.
2、由已知可有......①
......②
（1）②×3－①×2可得
（2）把（1）所得的两边同除以得
注意：这里隐含与①、②之中
3、由已知可解得. 于是
∴
4、由已知可解得
于是.
5、
最小正周期是
递减区间为.
习题3.2 B组（P143）
1、略.
2、由于
所以
即
得
3、设存在锐角使
所以
又
又因为
所以
由此可解得
所以.
经检验
是符合题意的两锐角.
4、线段的中点的坐标为. 过作垂直于轴
交轴于
.
在中
.
在中
.
于是有
5、当时
；
当时
此时有；
当时
此时有；
由此猜想
当时
6、（1）
其中
所以
的最大值为5
最小值为﹣5；
（2）
其中
所以
的最大值为
最小值为；
第三章 复习参考题A组（P146）
1、. 提示：
2、. 提示：
3、1.
4、（1）提示：把公式变形；
（2）； （3）2； （4）. 提示：利用（1）的恒等式.
5、（1）原式=；
（2）原式=
=；
（3）原式=
=；
（4）原式=
6、（1）； （2）；
（3）. 提示：；
（4）.
7、由已知可求得
于是.
8、（1）左边=
=右边
（2）左边=
=右边
（3）左边=
=右边
（4）左边=
=右边
9、（1）
递减区间为
（2）最大值为
最小值为.
10、
（1）最小正周期是；
（2）由得
所以当
即时
的最小值为. 取最小值时的集合为.
11、
（1）最小正周期是
最大值为；
（2）在上的图象如右图：
12、.
（1）由得；
（2）.
13、如图
设
则
所以
当
即时
的最小值为.
第三章 复习参考题B组（P147）
1、解法一：由
及
可解得
所以
.
解法二：由 得
所以.
又由
得.
因为
所以.
而当时
；
当时
.
所以
即
所以
.
2、把两边分别平方得
把两边分别平方得
把所得两式相加
得
即
所以
3、由 可得
.
又
所以
于是.
所以
4、
由得
又
所以
所以
所以
5、把已知代入
得.
变形得
本题从对比已知条件和所证等式开始
可发现应消去已知条件中含的三角函数.
考虑
这两者又有什么关系？及得上解法.
5、6两题上述解法称为消去法
6、.
由 得
于是有. 解得.
的最小值为
此时的取值集合由
求得为
7、设
则
于是
又的周长为2
即
变形可得
于是.
又
所以
.
8、（1）由
可得
解得或（由
舍去）
所以
于是
（2）根据所给条件
可求得仅由表示的三角函数式的值
例如
等等.
??
??
??
??
数学必修四答案详解
与其到头来收拾残局,甚至做成蚀本生意,倒不如当时理智克制一些.
-可编辑-
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