高中数学必修1函数强化训练习题(IV)---奇偶性及详细答案.doc

高中数学必修1函数强化训练题（IV）---奇偶性及详细答案
1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)<f(－3)<f(－2)
D．f(π)<f(－2)<f(－3)
2．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)<f(1)，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．f(－1)<f(－3) B．f(2)<f(3)
C．f(－3)<f(5) D．f(0)>f(1)
3．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a

4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则(　　)
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)<f(－x2)
D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定
6．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.

一、选择题
1．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x1>0，x2<0，且f(x1)<f(x2)，那么一定有(　　)
A．x1＋x2<0 B．x1＋x2>0
C．f(－x1)>f(－x2) D．f(－x1)·f(－x2)<0
2．下列判断：
①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数；
②对于定义域为实数集R的任何奇函数f(x)都有f(x)·f(－x)≤0；
③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数；
④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．
其中正确的序号为(　　)
A．②③④ B．①③ C．② D．④
3．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是(　　)
A．0 B．2 C．3 D．4
4．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于(　　)
A．0.5 B．－0.5
C．1.5 D．－1.5
6．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则{x|x·f(x)<0}等于(　　)
A．{x|x>3，或－3<x<0}
B．{x|0<x<3，或x<－3}
C．{x|x>3，或x<－3}
D．{x|0<x<3，或－3<x<0}
二、填空题
7．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，那么x<0时，f(x)＝________.
8．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递增区间是________．
9．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线；
②幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
三、解答题
10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

11．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．

12．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数
D．f(x)＋1为偶函数
13．若函数y＝f(x)对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)指出y＝f(x)的奇偶性，并给予证明；
(2)如果x>0时，f(x)<0，判断f(x)的单调性；
(3)在(2)的条件下，若对任意实数x，恒有f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0成立，求k的取值范围．

函数强化训练（IV）答案
1．A　[∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，
又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(2)<f(3)<f(π)，
即f(π)>f(－3)>f(－2)．]
2．D　[∵f(－3)＝f(3)，∴f(3)<f(1)．
∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数．
∴f(0)>f(1)，故选D.]
3．A　[根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c，y＝()x在x>0时是减函数，
所以c>b.]
4．B　[作直线x＝t(t>1)与各个图像相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]
5．A　[f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x1)＝f(x1)．
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x2>－x1>0，
∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．]
6.　0
解析　偶函数定义域关于原点对称，
∴a－1＋2a＝0.∴a＝.
∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.
又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.

一、选择题
1．B　[由已知得f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，
而函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，
因此由f(x1)<f(x2)，
则f(－x1)<f(x2)得－x1<x2，x1＋x2>0.]
2．C　[判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．
判断②正确，由函数是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，特别地当x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.
判断③，如f(x)＝x2，x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在1∈[0,1]，而－1∉[0,1]；又如f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，
有f(x)≠f(－x)．故③错误．
判断④，由于f(x)＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a取不同的实数时，得到不同的函数．故④错误．
综上可知，选C.]
3．B　[因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.
要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，
所以α＝－1,1显然是不成立的．
当α＝0时，f(x)＝1>|x|；
当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；
当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.
综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]
4．C　[∵f(x)为奇函数，∴<0，即<0，当x∈(0，＋∞)，∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0.由奇函数图像关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x<－1时，f(x)>0.综上使<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
5．B　[由f(x＋2)＝－f(x)，则f(7.5)＝f(5.5＋2)
＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)
＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)
＝－f(0.5)＝－0.5.]
6．D　[依题意，得x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0；
x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0.
由x·f(x)<0，知x与f(x)异号，
从而找到满足条件的不等式的解集．]
7．－x2＋x＋1
解析　由题意，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1＝x2＋x－1，
当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2－x－1，即f(x)＝－x2＋x＋1.
8．(－∞，0]
解析　因为f(x)是偶函数，所以k－1＝0，即k＝1.
∴f(x)＝－x2＋3，即f(x)的图像是开口向下的抛物线．
∴f(x)的递增区间为(－∞，0]．
9．④
解析　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图像不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确；④正确．
10．解　由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)<f(m)．
又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴，即，解得－1≤m<.
11．解　由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，
可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
∵2a2＋a＋1＝2(a＋)2＋>0，
2a2－2a＋3＝2(a－)2＋>0，
且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)，
∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，即3a－2>0，解得a>.
12．C　[令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，
解得f(0)＝－1.
令x2＝－x1＝x，得f(0)＝f(－x)＋f(x)＋1，
即f(－x)＋1＝－f(x)－1，
令g(x)＝f(x)＋1，g(－x)＝f(－x)＋1，－g(x)＝－f(x)－1，
即g(－x)＝－g(x)．
所以函数f(x)＋1为奇函数．]
13．解　(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝0，
即f(x)＝－f(－x)，所以y＝f(x)是奇函数．
(2)令x＋y＝x1，x＝x2，则y＝x1－x2，
得f(x1)＝f(x2)＋f(x1－x2)．
设x1>x2，∵x>0时f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
所以y＝f(x)为R上的减函数．
(3)由f(kx2)＋f(－x2＋x－2)>0，
得f(kx2)>－f(－x2＋x－2)，
∵f(x)是奇函数，有f(kx2)>f(x2－x＋2)，
又∵f(x)是R上的减函数，
∴kx2<x2－x＋2，
即(k－1)x2＋x－2<0对于x∈R恒成立，
即，故k<.