高中数学三角函数代换公式大集锦.doc

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高中数学三角函数代换公式大集锦
基本公式
公式一：
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
　　sin(2kπ+α)= sinα
　　cos(2kπ+α)= cosα
　　tan(2kπ+α)= tanα
　　cot(2kπ+α)= cotα
　公式二：
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
　　sin(π+α)= -sinα
　　cos(π+α)= -cosα
　　tan(π+α)= tanα
　　cot(π+α)= cotα
公式三：
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
　　sin(-α)= -sinα
　　cos(-α)= cosα
　　tan(-α)= -tanα
　　cot(-α)= -cotα
公式四：
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin(π-α)= sinα
　　cos(π-α)= -cosα
　　tan(π-α)= -tanα
　　cot(π-α)= -cotα
公式五：
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin(2π-α)= -sinα
　　cos(2π-α)= cosα
　　tan(2π-α)= -tanα
　　cot(2π-α)= -cotα
公式六：
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin(π/2+α)= cosα
　　cos(π/2+α)= -sinα
　　tan(π/2+α)= -cotα
　　cot(π/2+α)= -tanα
　　sin(π/2-α)= cosα
　　cos(π/2-α)= sinα
　　tan(π/2-α)= cotα
　　cot(π/2-α)= tanα
　　sin(3π/2+α)= -cosα
　　cos(3π/2+α)= sinα
　　tan(3π/2+α)= -cotα
　　cot(3π/2+α)= -tanα
　　sin(3π/2-α)= -cosα
　　cos(3π/2-α)= -sinα
　　tan(3π/2-α)= cotα
　　cot(3π/2-α)= tanα
　　(以上k∈Z)
注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式
　　sin(-a) = -sin(a)
　　cos(-a) = cos(a)
　　sin(π/2-a) = cos(a)
　　cos(π/2-a) = sin(a)
　　sin(π/2+a) = cos(a)
　　cos(π/2+a) = -sin(a)
　　sin(π-a) = sin(a)
　　cos(π-a) = -cos(a)
　　sin(π+a) = -sin(a)
　　cos(π+a) = -cos(a)
　　tanA = sinA/cosA
诱导公式记忆口诀
上面这些诱导公式可以概括为：
对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦
还有一种按照函数类型分象限定正负：
函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
正弦 ...........＋............＋............—............—........
余弦 ...........＋............—............—............＋........
正切 ...........＋............—............＋............—........
余切 ...........＋............—............＋............—........

常用的诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）
cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）
tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）
cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀
上面这些诱导公式可以概括为：
对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦
还有一种按照函数类型分象限定正负：
函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
正弦 ...........＋............＋............—............—........
余弦 ...........＋............—............—............＋........
正切 ...........＋............—............＋............—........
余切 ...........＋............—............＋............—........
同角三角函数基本关系式
倒数关系:
tanα·cotα＝1
sinα·cscα＝1
cosα·secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方关系：
sin2(α)＋cos2(α)＝1
1＋tan2(α)＝sec2(α)
1＋cot2(α)＝csc2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。
（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式
两角和与差的三角函数公式
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2(α)－sin2(α)＝2cos2(α)－1＝1－2sin2(α)
tan2α＝2tanα/[1－tan2(α)]
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sin2(α/2)＝(1－cosα)／2
cos2(α/2)＝(1＋cosα)／2
tan2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)
另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)
三倍角公式
　　sin3A = 3sinA-4(sinA)3;
　　cos3A = 4(cosA)3 -3cosA
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式
　　sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}
　　cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}
　　tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}
　　cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)}
　　tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
　　和差化积
　　sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
　　sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
　　cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
　　cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

积化和差
　　sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
　　cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
　　sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
　　cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]
万能公式
　　sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}
　　cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2}
　　tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}
其它公式
　　a·sin(a)+b·cos(a) = [√(a^2+b^2)]*sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]
　　a·sin(a)-b·cos(a) = [√(a^2+b^2)]*cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]
　　1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]^2
　　1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]^2
其他非重点三角函数
　　csc(a) = 1/sin(a)
　　sec(a) = 1/cos(a)
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