高中数学函数对称性和周期性小结.doc

高中数学函数对称性和周期性小结

一、函数对称性：
1. f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称
2. f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于 x=(a+b)/2 对称
3. f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点 （a，0）对称
4. f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称
5. f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点 [（a+b）/2 ，c/2] 对称
6. y = f(x) 与 y = f(-x) 关于 x=0 对称
7. y = f(x) 与 y = -f(x) 关于 y=0 对称
8. y =f(x) 与 y= -f(-x) 关于点 (0,0) 对称

例1：证明函数 y = f(a+x) 与 y = f(b-x) 关于 x=(b-a)/2 对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n），
那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)]
∴ b – 2t =a ， ==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为 x=(b-a)/2 .

例2：证明函数 y = f(a - x) 与 y = f(x – b) 关于 x=(a + b)/2 对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n），
那么n =f(a-m) = f[ (2t – m) – b]
∴ 2t - b =a ， ==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为 x=(a + b)/2 .

二、函数的周期性

令a , b 均不为零，若：
1. 函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
2. 函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
3. 函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
4. 函数y = f(x) 存在 f(x + a) =1/f(x) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
5. 函数y = f(x) 存在 f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==> 函数最小正周期 T=|4a|

这里只对第2~5点进行解析。
第2点解析：
令 X=x+a ，f[a +(x –a)] = f[b +(x – a)]
∴ f(x) = f(x + b – a) ==> T=b – a

第3点解析：同理，f(x + a) = -f(x + 2a) ……①
f(x) = -f(x + a) ……②
∴ 由①和②解得 f(x) = f(x+2a)
∴函数最小正周期 T=|2a|

第4点解析:
f(x + 2a) =1/f(x + a) ==> f(x + a) =1/f(x + 2a)
又∵ f(x + a) =1/f(x)
∴ f(x) = f(x + 2a)
∴ 函数最小正周期 T=|2a|

第5点解析:
∵ f(x + a) = {2 – [1 – f(x)]}/[1 – f(x)] = 2/[1 – f(x)] – 1
∴ 1 – f(x) = 2/[f(x) + 1]
移项得 f(x) = 1 – 2/[f(x + a) + 1]
那么 f(x - a) = 1 – 2/[f(x) +1]，等式右边通分得f(x - a) = [f(x) – 1]/[1 + f(x)]
∴ 1/[f(x - a) = [1 + f(x)]/[f(x) – 1] ，即 - 1/[f(x - a) = [1 + f(x)]/[1 - f(x)]
∴ - 1/[f(x - a) = f(x + a) ，- 1/[f(x – 2a) = f(x) ==> - 1/f(x) = f(x - 2a) ①，
又∵ - 1/f(x) = f(x + 2a) ② ，
由①②得f(x + 2a) = f(x - 2a) ==> f(x) = f(x + 4a)
∴ 函数最小正周期 T=|4a|