考研高等数学各题型总结.doc

题型总结第一章 极限与连续题型一 极限的概念 1）无穷一定无界，无界不一定无穷。 2）极限存在或连续左右极限存在且相等题型二 不定型极限的计算 1）0比0型，考虑等价无穷小、马克劳林公式、罗必达 2）遇到ln 用ln（1+a)a等等 3）遇到x.sinx,tanx,arctanx,arcsinx任意两个相减时，用马克劳林题型三 连加或连成的式子求极限 1）拆项 2）使用夹逼 3）利用公式。（常常需要先夹逼后用公式）题型四 极限存在性问题 1）存在1、有界（夹逼等方法求解）2、单调（用导数或前项-后项证）题型五 中值定理法求极限 当看到两项相减，且各项的结构相同时（即可由一个函数表示出来），此 时用中值定理：构造一个函数，原题即可表示为f(a)-f(b)=f()(a-b)题型六 含变积分限的函数极限 1)换元2）再利用罗必达去积分号题型七 间断点及其分类 1）0点的连续f(0+0)=f(0-0)题型八 闭区间上的连续函数 看到【 】闭区间的函数证明题，考虑介值定理：m=f()0,则f(x)单调增加 2）若f(x)0,则有f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)题型七 不等式常见证明方法 1）利用中值证明：具备中值性质时用； 2）利用单调性证明：无已知或极简单已知时，移项、构造函数。 3）利用凹凸性证明题型八 函数的零点或方程根的个数 有两种情况： 1）讨论有几个根：移项、构造函数、求导数、令为0，分情况讨论。 2）证有且有1个根：先利用已知特殊性找出一个根，然后用单调证。题型九 渐近线 1）同正无穷或同负无穷时，有水平渐近线就没有斜渐近线； 2）x=a为f(x)的铅直渐近线，则x=a为f(x)的间断点，反之不对； 3）f(a+0),f(a-0)只有一个为无穷大时，x=a也是f(x)的铅直渐近线。题型十：弧微分、曲率、曲率半径 1）有三种方式：f(x)、参数方程、极坐标方程 2）曲率： 第四章 不定积分题型一 换元积分法 一类是正常移到d后面，另一类的三角替换。题型二 分部积分法题型三 有理函数与三角函数的不定积分 有理函数： 1）分母可因数分解，拆分成部分和的形式； 2）分母不可因式分解，将分母分解，再用积分； 三角函数： 1）注意一些技巧：如出现1+cosx，cosx+sinx,sinx的平方、角度不统一时题型四 分段函数的积分：分段积分，但是常数C要统一，利用分段点求C.第五章 定积分及其应用题型一 变积分限的函数问题 用换元法去掉积分限中的字母题型二 定积分的证明 情形一：f(x)连续 若证明一个定积分等于另一个定积分，且两个定积分区间相同，一般使用变换x+t=a+b;若且另一个定积分的区间为0,1，一般用x=a+(b-a)t. 若一个式子是定积分，另一个不含定积分，一般两种处理方法：把不含定积分项化为定积分形式；利用积分中值定理将定积分项化为不含定积分。 情形二：设f(x)属于ca,b且f(x)单调 若被证明积分区间相同采用相减求导 积分区间不同，采用换元法化为相同积分或通过积分项处理采用中值定理法 情形三：设f(x)在a,b上一阶可导 1）若所证明的积分等式或不等式涉及f,f，一般有两个工具需要使用：若被积函数不含f(x)，则使用拉格朗日中值：F(x)-f(a)=f()(x-a) 若被积函数含f(x)，则使用牛顿-莱布尼兹公式： 2）若f(x)连续且定积分区间的长度与定积分前面的常数为倒数关系，一般使用积分中值定理。 情形四：f(x)高阶可导 若关于积分等式中出现二阶以上的导数，一般先使用泰勒公式列出区间端点，最后用介值定理证等式相等。使用泰勒公式的函数可能是f(x)或,有两种情况对F（x)使用泰勒：结论中出现；结论中第六章 多元函数微分学1）小知识点：证连续：，多元函数连续没有一元函数的左右极限相等之说。 可偏导是可微的必要非充分条件 证可微：2） 二元函数求无条件极值的步骤： （1）求定义域D （2）求偏导数等于0，得出驻点 （3）利用判别法判断驻点是否为极值点：AC-B20,A0为极小点。3） 二元函数有约束条件求极值，三种方法： 拉格朗日乘数法，令F=f(x,y)+,令各偏导为0求（x,y) 转化为一元函数的极值，由求出y=y(x),代入z，直接出一元极值 参数方程法，与一样，只是参数方程方法代入而已。第七章 微分方程需要注意：一阶二阶的齐次、非齐次方程求解的各公式！第八章 重积分需要注意：薄片质量、曲顶柱体的体积、空间曲面面积、重心的计算方法 极坐标法注意多了个r，另外注意r的范围是保证约束最边都能取到； 计算技巧：变换积分次序、奇偶性、分段