考研高等数学各题型总结.doc

题型总结
第一章 极限与连续
题型一 极限的概念
1）无穷一定无界，无界不一定无穷。
2）极限存在或连续》》左右极限存在且相等
题型二 不定型极限的计算
1）0比0型，考虑等价无穷小、马克劳林公式、罗必达
2）遇到ln 用ln（1+a)~a等等
3）遇到x.sinx,tanx,arctanx,arcsinx任意两个相减时，用马克劳林
题型三 连加或连成的式子求极限
1）拆项
2）使用夹逼
3）利用公式。（常常需要先夹逼后用公式）
题型四 极限存在性问题
1）存在》》1、有界（夹逼等方法求解）2、单调（用导数或前项-后项证）
题型五 中值定理法求极限
当看到两项相减，且各项的结构相同时（即可由一个函数表示出来），此 时用中值定理：构造一个函数，原题即可表示为f(a)-f(b)=f`(§)(a-b)
题型六 含变积分限的函数极限
1)换元2）再利用罗必达去积分号
题型七 间断点及其分类
1）0点的连续》》f(0+0)=f(0-0)
题型八 闭区间上的连续函数
看到【 】闭区间的函数证明题，考虑介值定理：m<=f(§)<=M
第二章 导数与微分
题型一 导数
1）可导》》f`+=f`-
2)绝对值不影响函数的连续性，但是可能导数，在f(a)=0处受影响
3）可导等价于可微，注意两者表示公式，易考选择题
4）判断某点处的可导3条件：保两侧都趋于0‚导数公式分子第二项必为f(a) ƒ导数公式的分子分母必须为同阶无穷小
题型二 基本求导类型
1）显函数求导2）隐函数求导3参数方程函数求导4）分段函数求导
题型三 高阶导数
1）公式法2）归纳法3）泰勒公式法
第三章 一元函数微分学的应用
题型一 证明f``(§)=0
1)证f`(§)=0，先由介值定理或零点定理找到两个相等点，再用罗尔证。
2)证f``(§)=0,先用两次拉格朗日定理找出两个点，再用罗尔。
题型二 待证结论中出了§没有其他字母
1）还原法，即找出辅助函数（原函数）：将结论中§变成x、去分母、移项，整理成g（x)=0,再还原是哪个函数的导数。
2）分组构造法，即“还原法”，两项和为一项，方法与1一样；
题型三 结论中含§，还含有a,b
1)将a,b与§分离，根据a,b的式子采用拉格朗日或柯西中值定理；
2）不能分离时，利用题型二的还原法
题型四 结论中含两个或两个以上中值的问题
情形一：只含两个简单中值：找出函数3个点，用两次拉格朗日证；
情形二：只含两个中值，但是两项的复杂程度不同：取出复杂项单独研究，若是乘积形式，则找原函数用拉格朗日证即可；若是商形式，则找原函数用柯西。
情形三：结论中含两个以上中值，且每个中值对应项完全对等：就一个§构造函数，还原，找三点，用两次拉格朗日。
题型五 两种情形下考虑拉格朗日中值定理
1）结论中出现函数之差
2）可找出函数的三个点
题型六 二阶导数保号性问题
1）若题中有f``(x)>0,则f`(x)单调增加
2）若f``(x)>0,则有f(x)>=f(x0)+f`(x0)(x-x0)
题型七 不等式常见证明方法
1）利用中值证明：具备中值性质时用；
2）利用单调性证明：无已知或极简单已知时，移项、构造函数。
3）利用凹凸性证明
题型八 函数的零点或方程根的个数
有两种情况：
1）讨论有几个根：移项、构造函数、求导数、令为0，分情况讨论。
2）证有且有1个根：先利用已知特殊性找出一个根，然后用单调证。
题型九 渐近线
1）同正无穷或同负无穷时，有水平渐近线就没有斜渐近线；
2）x=a为f(x)的铅直渐近线，则x=a为f(x)的间断点，反之不对；
3）f(a+0),f(a-0)只有一个为无穷大时，x=a也是f(x)的铅直渐近线。
题型十：弧微分、曲率、曲率半径
1）有三种方式：f(x)、参数方程、极坐标方程
2）曲率：
第四章 不定积分
题型一 换元积分法 一类是正常移到d后面，另一类的三角替换。
题型二 分部积分法
题型三 有理函数与三角函数的不定积分
有理函数：
1）分母可因数分解，拆分成部分和的形式；
2）分母不可因式分解，将分母分解，再用积分；
三角函数：
1）注意一些技巧：如出现1+cosx，cosx+sinx,sinx的平方、角度不统一时
题型四 分段函数的积分：分段积分，但是常数C要统一，利用分段点求C.
第五章 定积分及其应用
题型一 变积分限的函数问题
用换元法去掉积分限中的字母
题型二 定积分的证明
情形一：f(x)连续 若证明一个定积分等于另一个定积分，且两个定积分区间相同，一般使用变换x+t=a+b;若且另一个定积分的区间为[0,1]，一般用x=a+(b-a)t. ‚若一个式子是定积分，另一个不含定积分，一般两种处理方法：把不含定积分项化为定积分形式；利用积分中值定理将定积分项化为不含定积分。
情形二：设f(x)属于c[a,b]且f(x)单调 若被证明积分区间相同采用相减求导 ‚积分区间不同，采用换元法化为相同积分或通过积分项处理采用中值定理法
情形三：设f(x)在[a,b]上一阶可导 1）若所证明的积分等式或不等式涉及f,f’，一般有两个工具需要使用：若被积函数不含f’(x)，则使用拉格朗日中值：F(x)-f(a)=f’(§)(x-a) ‚若被积函数含f(x)，则使用牛顿-莱布尼兹公式： 2）若f(x)连续且定积分区间的长度与定积分前面的常数为倒数关系，一般使用积分中值定理。
情形四：f(x)高阶可导 若关于积分等式中出现二阶以上的导数，一般先使用泰勒公式列出区间端点，最后用介值定理证等式相等。使用泰勒公式的函数可能是f(x)或,有两种情况对F（x)使用泰勒：结论中出现；‚结论中
第六章 多元函数微分学
1）小知识点：证连续：，多元函数连续没有一元函数的左右极限相等之说。
‚可偏导是可微的必要非充分条件
ƒ证可微：
2） 二元函数求无条件极值的步骤：
（1）求定义域D
（2）求偏导数等于0，得出驻点
（3）利用判别法判断驻点是否为极值点：AC-B^2>0,A>0为极小点。
3） 二元函数有约束条件求极值，三种方法：
拉格朗日乘数法，令F=f(x,y)+,令各偏导为0求（x,y)
‚转化为一元函数的极值，由求出y=y(x),代入z，直接出一元极值
‚参数方程法，与‚一样，只是参数方程方法代入而已。
第七章 微分方程
需要注意：一阶二阶的齐次、非齐次方程求解的各公式！
第八章 重积分
需要注意：薄片质量、曲顶柱体的体积、空间曲面面积、重心的计算方法
‚极坐标法注意多了个r，另外注意r的范围是保证约束最边都能取到；
ƒ计算技巧：变换积分次序、奇偶性、分段