三、数列求和专项练习高考题(含知识点).pdf

1数列的前数列的前 n n 项和的求法项和的求法1.1.公式法公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与公比与 1 的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：，.1123(1)2nn n 222112(1)(21)6nn nn33332(1)1232n nn例例 1、已知，求的前 n 项和.3log1log23x nxxxx32解解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得 （利用常用公式）nnxxxxS 32 1xxxn1)1(211)211(21nn212.2.分组求和法分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例例 2、求数列的前 n 项和：，231,71,41,1112 naaan解解：设)231()71()41()11(12 naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得 （分组）)23741()1111(12 naaaSnn当 a1 时，（分组求和）2)13(nnnSn2)13(nn 当时，1a2)13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan3.3.倒序相加法倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.n例例 3、求的值89sin88sin3sin2sin1sin22222 解解：设.89sin88sin3sin2sin1sin22222 S将式右边反序得.（反序）1sin2sin3sin88sin89sin22222 S又因为 1cossin),90cos(sin22xxxx+得 （反序相加）89)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222 S S44.54.4.错位相减法错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.n例例 4、求和：132)12(7531 nnxnxxxS解解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积1)12(nxn1nx设.（设制错位）nnxnxxxxxS)12(7531432 2得 （错位相减）nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432 再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1 21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn例例 5、求数列前 n 项的和.,22,26,24,2232nn解解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积nn22n21设nnnS2226242232 （设制错位）14322226242221 nnnS得 （错位相减）1432222222222222)211(nnnnS 1122212nnn 1224nnnS5.5.裂项相消法裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：；111(1)1n nnn11 11()()n nkk nnk，；2211111()1211kkkk211111111(1)(1)1kkkkkkkkk ；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn11(1)!(1)!nnnn.2122(1)2(1)11nnnnnnnnn 例例 6、求数列的前 n 项和.,11,321,211nn解解：设 （裂项）nnnnan111则 （裂项求和）11321211 nnSn )1()23()12(nn 11n例例 7、在数列an中，又，求数列bn的前 n 项的和.11211 nnnnan12nnnaab解：解：211211nnnnnan （裂项）)111(82122nnnnbn 数列bn的前 n 项和3 （裂项求和）)111()4131()3121()211(8 nnSn )111(8n18nn6.通项转换法通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例例 8、求之和.11111111111个n 解解：由于 （找通项及特征）)110(91999991111111 kkk 个个 11111111111个n （分组求和）)110(91)110(91)110(91)110(91321 n)1111(91)10101010(911321 个nn 9110)110(1091nn)91010(8111nn7、合并法求和、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例例 9、求 cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值.2014 年全国高考数学试题分类汇编（数列）1.【2014全国卷（文 5）】等差数列的公差为 2，若，成等比数列，则的前 n 项 na2a4a8a na和=nS（A）（B）（C）(D)1n n1n n12n n12n n【答案】A2.【2014全国大纲卷（理 10）】等比数列中，则数列的前 8 项和等于 na452,5aalgna（）A6 B5 C4 D3【答案】C3.【2014全国大纲卷（文 8）】设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S2=3，S4=15，则 S6=()A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C44.【2014北京卷（理 5）】设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（）naq1q na充分且不必要条件 必要且不充分条件.A.B充分必要条件 既不充分也不必要条件.C.D【答案】D5.【2014天津卷（文 5）】设是首项为，公差为-1 的等差数列，为其前项和.若成na1anSn124,S S S等比数列，则（）1a=（A）2（B）-2（C）（D）1212【答案】D.6.【2014福建卷（理 3）】等差数列的前项和，若，则()nannS132,12aS6a .8A.10B.12C.14D【答案】C7.【2014辽宁卷（文 9）】设等差数列的公差为 d，若数列为递减数列，则（）na12na aA B C D 0d 0d 10a d 10a d【答案】D8.【2014陕西卷（理文 4）】根据右边框图，对大于 2 的整数，N得出数列的通项公式是（）.2nAan .2(1)nB an .2nnC a 1.2nnDa【答案】C9.【2014重庆卷（理 2）】对任意等比数列,下列说法一定正确的是（na）成等比数列 成等比数列139.,Aa a a236.,B a a a成等比数列 成等比数列248.,C a a a369.,Da a a【答案】D10.【2014重庆卷（文 2）】在等差数列na中,1352,10aaa，则7a（）.5A .8B .10C .14D【答案】B11.【2014全国卷（文 16）】数列 na满足1na=na11，2a=2，则1a=_.【答案答案】2112.【2014安徽卷（理 12）】数列 an是等差数列，若1a1，3a3，5a5构成公比为q的等比数列，则q _.【答案】。1q 13.【2014北京卷（理 12）】若等差数列满足，则当_时 na7890aaa7100aan 的前项和最大.nan【答案】8514.【2014天津卷（理 11）】设是首项为，公差为-1 的等差数列，为其前项和.若na1anSn成等比数列，则的值为_.124,S S S1a【答案】12-15.【2014江西卷（文 13）】在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当 na17a dnnS时取最大值，则的取值范围_.8n nSd【答案】718d 16.【2014广东卷（理 13）】若等比数列 na的各项均为正数，且512911102eaaaa，则1220lnlnlnaaa 。【答案】5017.【2014广东卷（文 13）】等比数列的各项均为正数且，则 na154a a .2122232425logloglogloglogaaaaa【答案】518.【2014全国卷（理 17）】已知数列的前项和为，=1，其nannS1a0na 11nnna aS中为常数.()证明：；2nnaa（）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.na【解析】：()由题设，两式相减11nnna aS1211nnnaaS，由于，所以 6 分121nnnnaaaa0na 2nnaa（）由题设=1，可得，由()知1a1211a aS211a31a假设为等差数列，则成等差数列，解得；na123,a a a1322aaa4证明时，为等差数列：由知4na24nnaa数列奇数项构成的数列是首项为 1，公差为 4 的等差数列21ma2143mam令则，21,nm12nm21nan(21)nm数列偶数项构成的数列是首项为 3，公差为 4 的等差数列2ma241mam令则，2,nm2nm 21nan(2)nm（），21nan*nN12nnaa因此，存在存在，使得为等差数列.12 分4na19.【2014全国卷（文 17）】已知是递增的等差数列，是方程的根。na2a4a2560 xx（I）求的通项公式；na6（II）求数列的前项和.2nnan【解析】：（I）方程的两根为 2,3,由题意得，设数列的公差为 2560 xx22a 43a nad,，则，故 d=，从而，422aad12132a 所以的通项公式为：6 分 na112nan()设求数列的前项和为Sn,由()知，2nnan1222nnnan则：23413451222222nnnnnS 两式相减得34512134512222222nnnnnS341212131112311212422224422nnnnnnnS所以 12 分1422nnnS20.【2014全国卷（理 17）】已知数列满足=1，.na1a131nnaa（）证明是等比数列，并求的通项公式；12na na（）证明：.1231112naaa+【解析】（1）的等比数列。公比为是首项为3,232121).21(3211321a.*N.n13,111n11=+=+=+=+aaaaaaannnnn(2)由（1）知，故，1322nna 3-1 1223-1nnnnaa，当时，；111a1n-11213-13nnna所以，12-112311-1111111313311-13332321-3nnnnaaaa（）故123111132naaaa21.【2014全国大纲卷（理 18）】等差数列的前 n 项和为，已知，为整数，且.nanS110a 2a4nSS（I）求的通项公式；na（II）设，求数列的前 n 项和.11nnnba a nbnT7【解析】（I）由，为整数知，等差数列的公差为整数又，故110a 2anad4nSS于是，解得，因此，故数列的通项450,0,aa1030,1040dd10532d-3d=-na公式为（II），于是133nan=-11111331033 103133nbnnnn1211111111113710471031333 1031010 103nnnTbbbnnnn22.【2014全国大纲卷（文 17）】数列an满足 a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.（1）设 bn=an+1-an，证明bn是等差数列；（2）求数列an的通项公式.【解析】（1）由 an+2=2an+1-an+2 得 an+2-an+1=an+1-an+2，即 bn+1=bn+2,又 b1=a2-a1=1.所以bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列；（1）由（1）得 bn=1+2（n-1），即 an+1-an=2n-1.于是111()(21)nnkkkkaak于是 an-a1=n2-2n，即 an=n2-2n+1+a1.又 a1=1，所以an的通项公式为 an=n2-2n+2.23.【2014山东卷（理 19）】已知等差数列的公差为 2，前项和为，且，成等比数nannS1S2S4S列。（I）求数列的通项公式；na（II）令=求数列的前项和。nb,4)1(11nnnaannbnnT【解析】（I）,64,2,2141211daSdaSaSd4122421,SSSSSS成等比解得12,11naan（II）)121121()1(4)1(111nnaanbnnnnn)121121()121321()7151()5131()311(nnnnTnn为偶数时，当1221211nnnTn)121121()121321()7151()5131()311(nnnnTnn为奇数时，当12221211nnnTn为奇数为偶数nnnnnnTn,1222,12224.【2014安徽卷（文 18）】数列满足.na*111,(1)(1),nnananan nnN()证明：数列是等差数列；nan8123+1+1+12333333(1 3)31 3(1 2)332nnnnnnSnnn ()设，求数列的前项和.3nnnba nbnnS【解析】（）证：由已知可得，即111nnaann111nnaann所以是以为首项，1 为公差的等差数列。nan111a（）解：由（）得，所以，从而1(1)1nannn 2nan3nnbn 1231 32 33 33nnSn 234+131 32 33 3-1 33nnnSnn （）得：所以+1(21)334nnnS25.【2014北京卷（文 15）】已知是等差数列，满足，数列满足，na13a 412a nb14b，且是等比数列.420b nnba（1）求数列和的通项公式；na nb（2）求数列的前项和.nbn【解析】（I）设等差数列的公差为，由题意得：，nad41123333aad所以，1(1)3(1,2,)naandn nL设等比数列的公比为，由题意得：，解得.nnbaq3441120 12843baqba2q 所以，从而.1111()2nnnnbaba q132(1,2,)nnbnnL（II）由（1）知，132(1,2,)nnbnnL数列的前 n 项和为，数列的前 n 项和为，3n3(1)2n n 12n1 21211 2nn所以数列的前 n 项和为.nb3(1)212nn n26.【2014福建卷（文 17）】在等比数列中，.na253,81aa（）求；na（）设，求数列的前项和.3lognnba nbnnS9【解析】(1)设的公比为 q，依题意得na，解得，141381a qa q113aq因此，.13nna（2）因为，3log1nnban所以数列的前 n 项和.nb21()22nnn bbnnS27.【2014江西卷（理文 17）】已知首项都是 1 的两个数列（），满足.(1)令，求数列的通项公式；(2)若，求数列的前 n 项和.【解析】（1）因为，所以1112,2nnnnnnaaccbb所以数列是以首项，公差的等差数列，故 nc11c 2d 21.ncn（2）由知13nnb1(21)3nnnnac bn于是数列前 n 项和0111 33 3(21)3nnSn 1231 33 3(21)3nnSn 相减得121212(333)(21)32(22)3nnnnSnn 所以(1)31.nnSn28.【2014江西卷（文 16）】已知数列的前项和.nanNnnnSn，232（1）求数列的通项公式；na（2）证明：对任意，都有，使得成等比数列.1nNmmnaaa，1【解析】（1）当时1n 111aS 当时 2n 22131133222nnnnnnnaSSn 检验 当时，1n 11a 32nan（2）使成等比数列.则，mnaaa，121nmaa a=23232nm=即满足，所以2233229126mnnn 2342mnn 则对任意，都有1n2342nnN 所以对任意，都有，使得成等比数列.1nNmmnaaa，110