[高考数学]平面向量与解析几何综合问题.doc

平面向量与解析几何交汇的综合问题
平面向量与解析几何交汇的综合问题
例1．已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足||+||=4.
(1) 求点P(x,y)的轨迹C的方程.
(2) 如果过点Q(0，m)且方向向量为 =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。
解：(1) =, ||=,且||+||=4.
点P(x,y)到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为
(2)设A(),B()依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+=-m, =
因此，
当时，即m=时，
[题设变式I.1] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|||-|||=2.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(轨迹为双曲线)
[题设变式I.2] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足=||.求点P(x,y)的轨迹C的方程.
[提示：设K(-,0)，F (,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= -的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x= -的距离比为1，故点P的轨迹是以(,0)为焦点以x= -为准线抛物线]
[题设变式I.3] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足=||.求点P(x,y)的轨迹C的方程.
[提示：设K(-,0)，F (,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= -的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x= -的距离比为，当时，点P的轨迹是以(,0)为焦点，以x= -为相应准线的椭圆；当时，点P的轨迹是以(,0)为焦点，以x= -为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支应满足什么条件？]
[题设变式I.4] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的抛物线)
[题设变式I.5] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的圆锥曲线。)
[考题] 已知点A(，0)，B(，0)动点P满足
(1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程.
(2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，）作斜率为k的直线交曲线
C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.（解答见附页）
[题设变式II.1] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4..求点P(x,y)的轨迹C的方程. (,点P轨迹为圆，其中A（，0），B（－，0）)
[题设变式II.2] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足＝6.求点P(x,y)的轨迹C的方程. (轨迹为圆)
例2、已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P在y轴上的射影是H，如果 分别是公比q=2的等比数列的第三、第四项.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点，A、B，设R为AB的中点，若过点R与定点Q(0，-2)的直线交x轴于点D(x0，0)，求x0的取值范围.
导析 （1）设P(x，y)，则H(0，y)，

又因为所以有
所以点P的轨迹方程为y2-x2=4(x≠0).
（2）设AB：y=k(x-2)，A(x1y1)，B(x2y2)，R(x3y3).
化简得(k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0.
所以
所以DQ的方程为 令y=0，得
又由
可得k2＞，由题意可知＜k＜1，
所以1＜＜，所以＜-()2+＜1， 所以2＜x0＜2+.
故所求的x0的取值范围为(2，2+).
[题后反思]若改变q 的值能否构造出椭圆来呢？
[当0＜q＜1时，点P的轨迹为椭圆]
例3、如图所示，点F (a，0)(a＞0)，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且
（1）求点N的轨迹C的方程；
（2）过点F(a，0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A、B两点，设点K(-a，0)，与的夹角为，求证：0＜＜.
[答案提示] （1）点N的轨迹C的方程为
[变化]点F (a，0)(a＞0)，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，
且（为常数）求点N的轨迹仍为抛物线吗？；
二、把向量作为工具去推导与探索圆锥曲线的标准方程和几何性质，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
例4、已知，F椭圆的两个焦点，过点F的直线BC交椭圆于B、C两点，
(1)，求点M的轨迹方程.
[答案]
(2)若相应于焦点F的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明:.
解：(1)略
(2) 证明：.由已知得方程组

注意，解得
因，故

.
而，所以
.

[结论发散]设P()为椭圆上一点，
(1) 求的Min
(2) 求的Max
(3) 当<0时，的取值范围。
(4) 若相应于焦点F的准线与x轴相交于点A，，求
(5) 已知点M的坐标为(2,3)，求的最值。
(6) 已知点Q的坐标为(1,1)，求的最小值
(7) 已知点Q的坐标为(1,1)，求的最值
[提示] =
=2a+2a+=2a+
例5.已知A、B为抛物线(p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，
（1） 若，求抛物线的方程。
（2） CD是否恒存在一点K，使得
Y
A

F P
B
X
O

D K C
解：（1）提示：记A（）、B （）设直线AB方程为代入抛物线方程得

（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，
则
＝－＝－＝0
故存在点K即点T，使得
[实质：以AB为直径的圆与准线相切]
[结论发散1] y轴上是否恒存在一点K，使得
[实质：以AF为直径的圆与y轴相切]
[结论发散2]求证：
[结论发散3]求证：存在实数使得
[实质：证明A、O、D三点共线（2001年高考题）]
[结论发散4] 设线段AB中点P在在准线上的射影为T，证明：
[题设变更1] 已知A、B为抛物线(p>0)上两点，，点C坐标为
（1） 求证：∥
（2）若＝（）且试求点M的轨迹方程。
[题设变更2]（2004全国湖南文21）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段所成的比为，证明:；

解：依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得
①
设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，
得
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，－m），从而.

所以
思维能力训练
一、选择题
1、（2002年新课程卷）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
2、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足||+||=4.则点P(x,y)的轨迹是.( )
A、椭圆　B．双曲线　C．线段　　D．射线
3、已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP=
（A）(AB+AD), ∈(0, 1) (B) (AB+BC), ∈(0, )
(C) (AB－AD), ∈(0, 1) (D) (AB－BC), ∈(0, )
4、已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
5、已知两点A(-1，0)，B(1，0)，动点P在y轴上的射影是Q，且则动点P的轨迹为（　　）：
A、抛物线　B．双曲线　C．椭圆　　D．直线
6．已知A、B为抛物线(p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则（1）y轴上是否恒存在一点K，使得（2）（3）存在实数使得 （4）若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有
中说法正确的个数为（　）
A. 1 B．2 C． 3 D．4
二、填空题
7、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足=2||.则点P(x,y)的轨迹方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
8、已知，椭圆的两个焦点，P()为椭圆上一点，
当<0时，的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.。
三、解答题
9．(2004年全国高考辽宁19)设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.
10.已知双曲线C： B是右项点，F右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足，、、成等比数列，过F作双曲线C在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P。
（1） 求证：
（2） 若l与双曲线C的左、右支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围。
11.已知点H（0，―3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，.
（1）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；
（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上.

附页：
例1[题设变式I.5]考题：已知点A(，0)，B(，0)动点P满足
(1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程.
(2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，）作斜率为k的直线交曲线
C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.
解：（1）设P(x，y)，则有
∵ ∴
得：
（2）由 得Q (0，) 设直线C的方程为y=kx-
代入x2+2y2=4得 (1+2k2) x2
设M(x1，y1) N(x2，y2)
∵
又∵
=
∴ ∴点Q在以MN为直径的圆上.
平面向量复习课
中山市实验高中高三数学备课组 2006。3。8
一．考试要求：
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二．知识梳理
1．向量的概念：
向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。
2．向量的基本运算
（1） 向量的加减运算
几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则a+b=(x1+x2,y1+y2 ) a-b=(x1-x2,y1-y2)
(2) 平面向量的数量积 ： ab=cos
设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则ab=x1x2+y1y2
（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ
若 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 ∥ x1y2-x2y1=0
3．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥ · =0
设 =(x1,y1)， =(x2,y2)，则 ⊥ x1x2+y1y2=0
三．教学过程
（一）基础知识训练
1.下列命题正确的是 （ ）
单位向量都相等 任一向量与它的相反向量不相等
平行向量不一定是共线向量 模为的向量与任意向量共线
2. 已知正六边形中，若， ，则（ ）

3. 已知向量，=2若向量与共线，则下列关系一定成立是 （ ）
∥ ∥或
4. 若向量，共线且方向相同，=__________。
（二）．典例分析
例1：（1）设与为非零向量，下列命题：
①若与平行，则与向量的方向相同或相反；
②若与共线，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
③若与共线，则；④若与反向，则
其中正确命题的个数有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（2）下列结论正确的是 （ ）
（A） （B） （C）若
（D）若与都是非零向量，则的充要条件为
错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A或B或C。
分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。
第（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。共线向量（与共线）的充要条件中所存在的常数可看作为向量作伸缩变换成为另一个向量所作的伸缩量；若，为非零向量，则共线的与满足与同向时，与反向时。
第（2）小题中，正确答案为（D）。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。
例2 设a、b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b
A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b
2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
∴ 2=2λ且 k=-λ
∴ k=-1
例3 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分别为DC、AB中点。
AB=a AD=b 用a，b来标DC、BC、MN。
解：DC= AB=a
BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ a=b- a
MN=DN-DM=a-b-a= a-b
例4 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
解：设a=(x,y)则 x2+y2=100 （1）
由a∥b得 -4x-3y=0 （2）
解（1）（2）得 x=6 y=-8 。或 x=-6 y=8
∴ a=(6,-8)或(-6,8)
四． 归纳小结
1． 向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间的关系。
2． 对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。
五．作业：
1、下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或
C．若，则 D．若，则
2、已知平行四边形ABCD的三个顶点、、，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3、设，与反向的单位向量是，则用表示为
A． B． C． D．
4、D、E、F分别为的边BC、CA、AB上的中点，且，，下列命题中正确命题的个数是（ ）
①；②；③；
④。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、化简：=__________。
6、已知向量，且，则的坐标_____________。
7、若，则的夹角为______________。
8、已知向量
求 （1）的值； （2）与的夹角。
9、如果向量与，的夹角都是，而，且，求的值。
10、如图，设为内一点，∥，且， ，，，试用，，表示．

答案
基础知识训练：D，C，D，
达标练习： D，B，B，D， 5，； 6，（，—），（—，）
7，0， 8，(1)ab=10, =5 (2) =arccos
9,-1 10,=(1-t)+t, =(1-t)+t

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