2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本).doc

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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则
A． B．
C． D．
2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A． B．
C． D．
3．设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则.
其中的真命题为
A． B． C． D．
4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
6．展开式中的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10 B．12 C．14 D．16
8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入

A．A>1 000和n=n+1
B．A>1 000和n=n+2
C．A1 000和n=n+1
D．A1 000和n=n+2
9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
11．设xyz为正数，且，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .
14．设x，y满足约束条件，则的最小值为 .
15．已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。
16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的学科网数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．
20.（12分）
已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
21.（12分）
已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

2017高考全国Ⅰ卷数学答案及解析
1 正确答案及相关解析
正确答案
A
解析
由

故选A.
考查方向
（1）集合的运算（2）指数运算性质.
解题思路
应先把集合化简再计算，再直接进行交、并集的定义运算.
易错点
集合的交、并集运算灵活运用
2 正确答案及相关解析
正确答案
B
解析
设正方形边长为a，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.
考查方向
几何概型
解题思路
正方形边长为a，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，再由几何概型概率的计算公式得出结果
易错点
几何概型中事件A区域的几何度量
3 正确答案及相关解析
正确答案
B
解析
令，则由，所以，正确；
由知，不正确；
由
显然正确，故选B.
考查方向
（1）命题及其关系；（2）复数的概念及几何意义.
解题思路
根据复数的分类，复数运算性质依次对每一个进行验证命题的真假，可得答案
易错点
真假命题的判断
4 正确答案及相关解析
正确答案
C
解析
设公差为
，联立解得=4，故选C.
考查方向
等差数列的基本量求解
解题思路
设公差为，由题意列出两个方程，联立求解得出答案
易错点
数列的基本量方程组的求解
5 正确答案及相关解析
正确答案
D
解析
，
选D.
考查方向
（1）函数的奇偶性；（2）函数的单调性
解题思路
由函数为奇函数且在单调递减，单调递减．若，满足，从而由得出结果
易错点
函数的奇偶性与单调性的综合应用
6 正确答案及相关解析
正确答案
C

解析
因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为15+15=30，选C.
考查方向
二项式定理
解题思路
将第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，再分析好的项的系数，两项进行加和即可求出答案
易错点
准确分析清楚构成这一项的不同情况
7 正确答案及相关解析
正确答案
B
解析
由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B.

考查方向
简单几何体的三视图
解题思路
由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，由边的关系计算出梯形的面积之和
易错点
根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量
8 正确答案及相关解析
正确答案
D
解析
由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入，故填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，故选D.
考查方向
程序框图的应用。
解题思路
通过程序框图的要求，写出每次循环的结果得到输出的值．
易错点
循环结构的条件判断
9 正确答案及相关解析
正确答案
D
解析
因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，
则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.
考查方向
（1）诱导公式；（2）三角函数图像变换.
解题思路
首先利用诱导公式将不同名函数转换成同名函数，；再进行图象的变换
易错点
对变量而言进行三角函数图像变换
10 正确答案及相关解析
正确答案
A
解析
设直线方程为，
取方程
得
∴
同理直线与抛物线的交点满足
由抛物线定义可知

当且仅当（或）时，取得等号.
考查方向
（1）抛物线的简单性质；（2）均值不等式
解题思路
设直线方程为，联立，则，同理算出，再由得，利用均值不等式求出最小值
易错点
抛物线焦点弦公式
11 正确答案及相关解析
正确答案
D
解析
令，则，
∴，则，
，则，故选D.
考查方向
指、对数运算性质
解题思路
令，则，分别比较，得出结果
易错点
比较数的大小
12 正确答案及相关解析
正确答案
A
解析
由题意得，数列如下：
1，
1，2
1，2，4
…
1，2，4，…，
…

则该数列的前项和为
，
要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
考查方向
等差数列、等比数列的求和.
解题思路
由题意列出数列，即为
1，
1，2
1，2，4
…
1，2，4，…，，

得出一个新的数列，其
，再由题，有，再设，所以，则，此时，进而求出最小的整数N
易错点
观察所给定数列的特征，进而求数列的通项和求和
13 正确答案及相关解析
正确答案

解析
，所以.
考查方向
平面向量的运算.
解题思路
将平方得，很容易得出结果
易错点
平面向量中求模长的通常是见模平方
14 正确答案及相关解析
正确答案
-5
解析
不等式组表示的可行域如图所示，

易求得，
由得在轴上的截距越大，就越小，
所以，当直线过点时，取得最小值，
所以的最小值为.

考查方向
线性规划的应用
解题思路
作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
易错点
z的几何意义
15 正确答案及相关解析
正确答案

解析
如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，，
而，所以，
点到直线的距离，
在中，，代入计算得，即，
由得，
所以.

考查方向
双曲线的简单性质.
解题思路
为双曲线的渐近线上的点，且，，又由题知＝，在在中由边的关系，由边角关系求出，进而求出离心率
易错点
双曲线渐近线性质的灵活应用
16 正确答案及相关解析
正确答案

解析
如下图，设正三角形的边长为x，则.
， 
三棱锥的体积 .
令，则，
令，
.

考查方向
简单几何体的体积
解题思路
设正三角形的边长为x，则.
，SO量代入三棱锥的体积 ，令，求导求出体积的最大值
易错点
利用导函数求体积的最大值
17 正确答案及相关解析
正确答案
（1）；（2）
解析
（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
考查方向
（1）正弦定理；（2）余弦定理；（3）三角函数及其变换.
解题思路
（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.
易错点
解三角形
18 正确答案及相关解析
正确答案
（1）见解析；（2）
解析
（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面内作，垂足为，
由（1）可知，，故，可得平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）及已知可得.
所以.
设是平面的法向量，则
即
可取.
设是平面的法向量，则
即
可取.
则，
所以二面角的余弦值为.
考查方向
（1）面面垂直的证明；（2）二面角平面角的求解
解题思路
根据题设可以得出AB⊥AP，CD⊥PD，而AB//CD，就可证明出AB⊥平面PAD，进而证明平面PAB⊥平面PAD；（2）先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立空间直角坐标系，列出所需要的点坐标，求出平面PCB，平面PAB的法向量，利用数量积求出二面角的平面角的余弦值
易错点
坐标法求两个半平面的法向量
19 正确答案及相关解析
正确答案

解析

考查方向
（1）正态分布；（2）随机变量的期望和方差.
解题思路

易错点
随机变量的期望和方差的求解
20 正确答案及相关解析
正确答案
（1）C的方程为；（2）见解析
解析
（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此解得
故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.
则，得，不符合题设.
从而可设l：.将代入得
.
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，于是l：，即，
所以l过定点（2，-1）.
考查方向
（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线的位置关系.
解题思路
（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点，又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.直接代入方程，进而求出椭圆的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，l与x轴垂直，通过计算不符合题设；再设l：.将代入，写出判别式，韦达定理，表示出，由列等式表示出k和m的关系，判断出直线恒过定点
易错点
用根与系数的关系研究直线与圆锥曲线和关系
21 正确答案及相关解析
正确答案
（1）见解析；（2）
解析
（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
考查方向
（1）含参函数的单调性；（2）利用函数零点求参数取值范围.
解题思路
（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当有2个零点，设正整数满足，则
.由于，因此在有一个零点.所以的取值范围为.
易错点
含参函数进行分类讨论其单调性
22 正确答案及相关解析
正确答案
（1）或.（2）或.
解析
（1）曲线的普通方程为.
当时，直线的普通方程为.
由解得或.
从而与的交点坐标为.
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
.
当时，的最大值为.由题设得，所以；
当时，的最大值为.由题设得，所以.
综上，或.
考查方向
（1）参数方程；（2）点到直线距离
解题思路
（1）曲线的普通方程为，当时，直线的普通方程为，联立求解即可得到交点坐标；（2）利用曲线C的求得曲线上点到直线的最大距离，根据条件求出a的值
易错点
用参数方程求曲线上点到直线最大距离
23 正确答案及相关解析
正确答案
（1）；（2）
解析
（1）当时，不等式等价于.①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，从而；
当时，①式化为，从而.
所以的解集为.
（2）当时，.
所以的解集包含，等价于当时.
又在的最小值必为与之一，所以且，得.
所以的取值范围为.
考查方向
求解绝对值不等式
解题思路
（1）分区间去绝对值，然后分别解不等式，最后取并集即为原不等式的解集；（2）当时，.转化为在恒成立的问题
易错点
绝对值不等式的分段讨论