2020年中考数学专题复习学案：折叠类题目中的动点问题(含答案).pdf

1专题：折叠类题目中的动点问题折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理、全等三角形性质、相似三角形性质、三角函数等知识进行解答。此类问题立意新颖，充满着变化，要解决此类问题，除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。类型一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值 例 1.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.如图例 1-1 所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为 .图例 1-1【答案】2.【解析】此题根据题目要求准确判断出点A的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A的位置处于最右端.根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA或CA的长度，二者之差即为所求.当点Q与点D重合时，A的位置处于最左端，如图例 1-2 所示.确定点A的位置方法：因为在折叠过程中，AQ=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A.再作出AQA的角平分线，与AB的交点即为点P.AD(Q)CBPA5534ADCB(P)AQ332图例 1-2 图例 1-32由折叠性质可知，AD=AD=5，在RtACD中，由勾股定理得，2222534A CA DCD当点P与点B重合时，点A的位置处于最右端，如图例 1-3 所示.确定点A的位置方法：因为在折叠过程中，AP=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A.再作出APA的角平分线，与AD的交点即为点Q.由折叠性质可知，AB=AB=3，所以四边形AB AQ为正方形.所以AC=BCAB=53=2.综上所述，点A移动的最大距离为 42=2.故答案为：2.【点睛】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。作图的依据是折叠前后线段长度不变，据此先找到点A的落点A，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕PQ的位置.利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度.类型二、折叠问题中的类比问题 例 2.（1）操作发现如图例 2-1，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且点G在矩形ABCD内部小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；ADAB（3）类比探求保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值ADAB3 CFDEABG 图例 2-1 图例 2-2【答案】见解析.【解析】（1）同意，理由如下：如图例 2-2，连接EF E是AD的中点AE=ED由折叠及矩形性质得：AE=EG，EGF=D=90所以，EG=DE在RtEFG和RtEFD中，EF=EF EG=DERtEFGRtEFD（HL）DF=FG（2）根据DC=2DF，设DF=FC=x，AE=ED=y由折叠性质及（1）知BF=BG+GF=AB+GF=3x在RtBCF中，由勾股定理得：BF2=BC2+CF2(3x)2=(2y)2+x2即：2yx4222ADyABx（3）设AE=ED=y，DF=x，根据DC=nDF，得CD=nx，FC=(n1)x；由折叠性质及矩形性质知：BF=BG+GF=AB+GF=(n+1)x在RtBCF中，由勾股定理得：BF2=BC2+CF2(n+1)x2=(2y)2+(n-1)x2即：ynx22ADynABnxn【点睛】本题立意新颖，是河南中考首次采用此类型题目，给人一种耳目一新的感觉.“操作发现问题解决类比探究”所展现的是数学研究的核心，即“提出问题解决问题理论扩展及应用”.学生需要具备完善的知识体系及一定的观察、计算能力才能完整解答此题.本题的意义不仅在于考查学生对折叠、矩形、全等三角形、勾股定理、解方程等知识的本质理解与掌握，在很大程度上是检验学生的学习过程和学习方式，从一个新的数学角度考查了学生的数学思维能力类型三、折叠问题中的直角三角形存在性问题 例 3.如图例 3-1，在RtABC中，ACB=90，B=30，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DEBC交AB边于点E，将B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当AEF为直角三角形时，BD的长为 ACBFEDACBFED图例 3-1 图例 3-2图例 3-3【答案】2 或 1.5【解析】从题目所给的“当AEF为直角三角形时”条件出发，以直角顶点所在位置进行分类讨论.通过观察及分析可知BED=DEF=60，所以AEF=180120=60.即点E不可能为直角顶点.分两种情况考虑：当EAF=90时，如图例 3-2 所示.B=30，BC=3，3303=33ACtanBC2=2 3ABACEAF=90AFC=60，CAF=30在RtACF中，有：，3cos=3=22AFACCAF24BFAF由折叠性质可得：B=DFE=30，122BDDFBF当AFE=90时，如图例 3-3 所示.由折叠性质得：B=DFE=30，122BDDFBFAFC=60，FAC=303tan313CFFACAC所以，BF=2，112BDDFBF综上所述，BD的长为 2 或 1.【点睛】本题难度适中，要求学生具备分类讨论思想及数形结合解决问题的能力，另外还需要熟练运用勾股定理及相似三角形知识.通过此题，可总结出：遇到直角三角形存在性问题时，分类讨论的出发点在于直角顶点的位置；解决直角三角形存在性问题的方法是数形结合，先作出符合题意的图形，再用勾股定理或相似三角形、三角函数性质解题.6例 4.如图例 4-1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B处当CEB为直角三角形时，BE的长为 ABCDEB ABCDEB图例 4-1 图例 4-2 图例 4-3【答案】3 或 1.5.【解析】此题以“当CEB为直角三角形时”为突破口，分析可能是直角顶点的点，得出存在两种情况，即点B及点E分别为直角顶点.分两种情况考虑：当CEB=90时，如图例 4-2 所示.由折叠性质得：AB=AB，四边形ABE B是矩形.所以四边形ABE B是正方形.此时，BE=AB=3.当CBE=90时，如图例 4-3 所示.由折叠性质知，ABC=90，所以ABC+CBE=180.点A、B、C共线在RtABC中，由勾股定理得AC=5由折叠得：AB=AB=3所以BC=2设BE=x，则BE=x，EC=4x在RtABC中，由勾股定理得：EC2=BE2+BC2即：（4-x）2=x2+227解得：x=1.5.综上所述，BE的值为 3 或 1.5.【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论且作出相应图形，要求学生掌握三点共线的理由，折叠的性质及勾股定理的应用.例 5.如图例 5-1，在中，点，分别是边，Rt ABC90AABAC21BC MNBC上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上.若为直角三角形，则ABMNBB BACMBC的长为 BMA(B)BCMNABCMNB图例 5-1图例 5-2 图例 5-3【答案】或 1.212【解析】通过观察及分析可知，C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.当CM B=90时，如图例 5-2 所示.由折叠知：BMN=BMB=45，又因为B=45，所以BNM=90，MNB=90即BNM+MN B=180，所以B、N、B三点共线，此时B与点A重合.所以，12122BMBC当CBM=90时，如图例 5-3 所示.由折叠知B=B=45，因为C=45，可得BMC=45，所以BMC是等腰直角三角形设BM=BM=x，BC=x，则MC=x28因为BC=+12所以x+x=+122解得：x=1，即BM=1.综上所述，BM的值为或 1.212【点睛】根据题意判断出C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的三边关系求解.例 6.如图例 6-1，在MAN=90，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，ABC与ABC关于BC所在直线对称.D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交AB所在直线于点F，连接AE.当AEF为直角三角形时，AB的长为.MNAAFEDCBMNAFEDCBA图例 6-1图例 6-2 图例 6-3【答案】4 或4 3【解析】分两种情况讨论.当AFE=90时，如图例 6-2 所示.D、E分别为AC、BC的中点DE是三角形ABC的中位线即DEBAABA=909四边形AB AC为矩形由折叠得AC=AC四边形AB AC为正方形即AB=AC=4.当AEF=90时，如图例 6-3 所示.AEF=CDE=90AECDDCE=CEA由折叠知：DCE=ACECEA=ACEAC=AE=4又E是BC中点即AE是RtABC的中线BC=2AE=8在RtABC中，由勾股定理得，AB=4 3由折叠性质得：AB=AB=.4 3综上所述，AB的长为 4 或.4 3【点睛】利用中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾股定理求解.类型四、折叠问题中的等腰三角形存在性问题 例 7.如图例 7-1，正方形ABCD的边长是 16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动10点，把EBF沿EF折叠，点B落在B处，若CDB恰为等腰三角形，则DB的长为 .ABCDBFE图例 7-1【答案】16 或.4 5【解析】根据CDB为等腰三角形，以CD为腰或底分三种情况讨论，DB=DC；CB=CD；CB=DB.对于DB=DC，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以D为圆心CD长为半径作弧，两弧交点即为B.对于CB=CD，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以C为圆心CD长为半径作弧，两弧交点即为B.对于CB=DB，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，弧与CD垂直平分线的交点为B.ABCDBFE ABCDB(F)E ABCDBFEMN 图例 7-2 图例 7-3 图例 7-4详解：DB=DC，如图例 7-2 所示.易知：DB=DC=16.CB=CD，如图例 7-3 所示.由折叠性质可知：BF=BF=CD=16，此时F点与C点重合，不符题意.CB=DB，如图例 7-4 所示.由题意得，DN=CN=8，因为AE=3，所以EM=5.BE=BE=13.在RtEBM中，由勾股定理得，BM=12.11所以BN=4.在RtDBN中，由勾股定理得，BD=.54综上所述，BD的长为 16 或.54【点睛】以CD为腰或底分三种情况讨论，排除其中一种，利用勾股定理求解.类型五、折叠问题中的落点“固定”问题 例 8.如图例 8-1，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把ADE沿AE折叠，当点D的对应点D落在ABC的角平分线上时，DE的长为 图例 8-1DCBADDDCBADEMN图例 8-2 图例 8-3【答案】或.5253【解析】如图例 8-2.发现有两个不同的D点，对不同的位置分别求解.如图例 8-3 所示.因为BD是ABC的平分线12所以DBN=45，DN=NB由折叠知AD=AD=5.设DN=NB=x，则AN=7x在RtADN中，由勾股定理得，AD2=DN2+AN252=x2+(7-x)2，解得x=3 或 4.当x=3 时，DM=2，AN=4.设DE=y，则DE=y，EM=4-y在RtEDM中，由勾股定理得，ED2=DM2+EM2即y2=22+(4-y)2，解得y=.52当x=4 时，DM=1，AN=3.设DE=y，则DE=y，EM=3-y在RtEDM中，由勾股定理得，ED2=DM2+EM2y2=12+(3-y)2，解得y=.53综上所述，DE的长为或.5253【点睛】D落在ABC的角平分线上，作出ABC的角平分线，再以A为圆心以AD长半径画弧，弧与ABC的角平分线的交点即为D点.根据折叠中，折痕是对应点连线的垂直平分线作出折痕.例 9.如图例 9-1，已知ADBC，ABBC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将ABE沿AE折叠，点B落在点B处，过点B作AD的垂线，分别交AD、BC于点M、N，当点B为线段MN的三等分点时，BE的长为.图例 9-113【答案】或3 553 22【解析】取线段AB的三等分点P、G，过点P、G作PQAD，GHAD以点A为圆心，以AB长为半径画弧，该弧与PQ、GH的交点即为B.如图例 9-2.BABBCDPGQHBABCDGHENM BABCDPQENM 图例 9-2 图例 9-3 图例 9-4取弧BB与GH的交点，如图例 9-3 所示因为BG=BN=1，BM=AG=2，由折叠得AB=AB=3.在RtAGB中，由勾股定理得：BG=，所以AM=.55因为MAB=EBN所以cosMAB=cosEBN即:AMB NABB E设BE=BE=x，则513x解得：x=，即BE=3 553 55取弧BB与PQ的交点，如图例 9-4 所示因为BP=BN=2，BM=AP=1，由折叠得AB=AB=3.在RtAPB中，由勾股定理得：BP=，所以AM=.2 22 214因为MAB=EBN所以cosMAB=cosEBN即:AMB NABB E设BE=BE=x，则2 223x解得：x=，即BE=.3 223 22综上所述，BE的长为或.3 553 22【点睛】根据题意画出图形后，利用一线三直角的线段比例相等求解.刻意练习 第 1 题 第 2 题 第 3 题1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M在BC上，点N是AB上的动点，将矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E，若点E在对角线AC上，则 AE的取值范围是 2.如图，在矩形ABCD中，AB10，AD5，将矩形ABCD折叠，使点C落在边AB上的E处，折痕交DC边于点M，点F在DM上运动，当AEF是腰长为 5 的等腰三角形时，EF的长为 3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=2，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原，则四边形EPFD为菱形时，x的取值范围是 15 第 4 题 第 5 题 4.如图，矩形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点，连接AE，以AE为对称轴折叠AEB，得到AEB，点B的对称点为点B，若AB=5，BC=3，当点B落在射线CD上时，线段BE的长为5.如图，在RtABC中，A=90，B=30，BC=+1，点E、F分别是BC、AC边上的动点，沿E、F所在直线3折叠C，使点C的落对应点C始终落在边AB上，若BEC是直角三角形时，则BC的长为 刻意练习答案及解析1.【答案】1AE3【解析】在RtABC中，AC=5，如图 1，M点在C点处，沿ACB的对角线折叠，则CE=CB=4，所以AE=ACBC=1；如图 2，N点在A点处，沿CAB的对角线折叠，则AE=AB=3.AE的取值范围为 1AE3故答案为 1AE32.【答案】5 或 5.2【解析】四边形ABCD为矩形，16CD=AB=10，BC=AD=5，矩形ABCD折叠，使点C落在边AB上的E处，折痕交DC边于点M，MEB=C=90，BC=BE=5，四边形BCME为正方形，ME=5，AE=AB-BE=5，点F在DM上运动，且AEF是腰长为 5 的等腰三角形，点F只能在点D或点M处，点F运动到点D时，EF=5当点F运动到点M时，EF=5故答案为 5 或 5.23.【答案】2x5【解析】要使四边形EPFD为菱形，则需DE=EP=FP=DF，如图 1：当点E与点A重合时，AP=AD=2，此时AP最小；如图 2：当点P与B重合时，AP=AB=5，此时AP最大；四边形EPFD为菱形的x的取值范围是：2x5故答案为：2x5174.【答案】或 1553【解析】如图 1，将ABE沿AE折叠，得到ABE，AB=AB=5，BE=BE，CE=3BE，AD=3，DB=4，BC=1，BE2=CE2+BC2，BE2=（3BE）2+12，BE=，53如图 2，将ABE沿AE折叠，得到ABE，AB=AB=5，CDAB，1=3，181=2，2=3，AE垂直平分BB，AB=BF=5，CF=4，CFAB，CEFABE，CFCEABBE即，453CECECE=12，BE=15综上所述：BE的长为：或 15，535.【答案】或 2.333【解析】如图 1，当BEC=90时，图 1 图 2B=30，19BE=CE，3又CE=CE，BC=+1，3BE=，CE=1，3RtBEC中，BC=2；如图 2，当BCE=90时，B=30，BE=2CE=2CE，又BC=+1，3BE=，CE=，21331133BC=；333综上所述，BC的长为或 2333