矩形中考题.doc

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矩形中考题赏析
一、（2005年资阳）阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .
(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2) 如图8②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.

二、（05黑龙江）已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．

图l
∵ S△PBC+S△PAD=BC·PF+AD·PE
=BC（PF+PE）=BC·EF=S矩形ABCD
又∵ S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD
∴ S△PBC+S△PAD= S△PAC+S△PCD+S△PAD．
∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD．
请你参考上述信息，当点P分别在图2、图3中的位置时，S△PBC、S△PAC、SPCD又有怎样的数量关系? 请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．

三、（2006年眉山市）有若干张如图2所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a + b），宽为（a + b）的矩形，则需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法．
图2

四、（05长春）如图①，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线的函数关系式为y=x，AD=8。矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经过点B到达点C，用了14秒。
(1)求矩形ABCD的周长。 (2)如图②，图形运动到第5秒时，求点P的坐标。 (3)设矩形运动的时间为t，当0≤t≤6时，点P所经过的路线是一条线段，请求出线段所在直线的函数关系式。

、

五、（湖北黄冈卷）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从点同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连结，当两动点运动了秒时．
O
M

x
y
C
N
P

（1）点的坐标为（ ， ）（用含的代数式表示）．
（2）记的面积为，求与的函数关系式．
（3）当2秒时，= ．此时若点在轴上，
且为等腰三角形时，求直线的解析式．

六．（07福建三明）已知：矩形纸片中，厘米，厘米，点在上，且厘米，点是边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点与点重合，展开纸片得折痕（如图1所示）；
步骤二，过点作，交所在的直线于点，连接（如图2所示）
（1）无论点在边上任何位置，都有 （填“”、“”、“”号）；
（2）如图3所示，将纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点在点时，与交于点点的坐标是（ ， ）；
②当厘米时，与交于点点的坐标是（ ， ）；
A
P
B
C
M
D
(P)E
B
C
图1
0(A)
B
C
D
E
6
12
18
24
x
y
6
12
18

图3
A
N
P
B
C
M
D
E
Q
T
图2
③当厘米时，在图3中画出（不要求写画法），并求出与的交点的坐标；

B
D
C
A
七、（04浙江省衢州市）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm.P、Q两点同时从A点出发，分别以1cm/秒和2cm/秒的速度沿A—B—C—D—A运动，当Q点回到A点时，P、Q两点即停止运动，设点P、Q运动时间为t秒。
（1） 当P、Q分别在AB边和BC边上运动时，设以P、B、Q为顶点的三角形面积为s，请写出s关于t的函数解析式及自变量t的取值范围。
（2） 在整个运动过程中，t取何值时，PQ与BD垂直。

八、（06吉林）如图14，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为(4，0)，顶点G坐标为(0，2)，将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．

图14
(1)判断△OGA和△OMN是否相似，并说明理由；
(2)求过点A的反比例函数的解析式；
(3)设(2)中的反比例函数图象交EF于点B，求直线AB的解析式；
(4)请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG的对称中心，并说明理由．

九、（重庆市）如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于轴、轴上，点B的坐标为B，D是AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是 ．

5
D
Ｏ
E
A
x
y
C
M
B
十、（广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶
点为原点，为上一点，把沿折叠，使点恰
好落在边上的点处，点的坐标分别为和．
（1）求点的坐标； （2）求所在直线的解析式；

二、析解：这是一道典型的数形结合题，利用矩形的面积解释整式的乘法意义．可以把要拼的矩形长和宽相乘：（2a + b）（a + b）=2a2+3ab+b2，其中a2、b2视为A、B类卡片，ab视为C类卡片．可见要拼一个长为（2a + b），宽为（a + b）的矩形，则需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．拼法不唯一，如下图所示．

三、

四、（1）根据题意，得，
，．
点的坐标是；
（2），设，
则，
，
在中，．
．

5
D
H
Ｏ
G
E
A
x
y
C
F
M
B
解之，得，
即点的坐标是．
设所在直线的解析式为，
解之，得 所在直线的解析式为；

五、（1）．
（2）在中，，边上的高为，
．
即．
（3）．
（4）由（3）知，当有最大值时，，此时在的中点处，如下图．
设，则，

，
.
为等腰三角形，
①若，则，此时方程无解．
②若，即，解得．
③若，即，解得．
，，．
当为时，设直线的解析式为，将代入得
．
直线的解析式为．
当为时，，均在轴上，
直线的解析式为（或直线为轴）．
当为时，在同一直线上，不存在，舍去．
故直线的解析式为，或．

六．（1）．（2）①；②．③画图，如图所示．
解：方法一：设与交于点．
0(A)
B
C
D
E
6
12
18
24
x
y
6
12
18

F
M
G
P
在中，，
．
，，
．
又，
．
．
．
．
方法二：过点作，垂足为，则四边形是矩形．
，．
设，则．
在中，．
．
．
．
．
九、解：(1)△OGA∽△OMN．
由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，
∴△OGA∽△OMN．
(2)由(1)得，
∴，AG=1，∴A(1，2)．
设反比例函数y=，把A(1，2)代入，得k=2，
即y=．
(3)∵点B的横坐标为4，把x=4代入y=中得，
∴y=，即B(4，)．
设y=mx+n，把A(1，2)、B(4，)代入，得

∴.
(4)设矩形OEFG的对称中心为Q，则点Q坐标为(2，1)．
把x=2代入y=，得y=1．
∴反比例函数的图象经过矩形OEFG的对称中心．

十、分析：求此反比例函数的关键在于确定点E的坐标，由已知点B的坐标可知矩形的OA=5，AB=，从而OB==，设点E的坐标为（a，b）则，，所以|a|=4，|b|=3，又a＜0，b＞0，所以a=-4；b=3，故点E的坐标为（-4，3），设反比例函数为y=，则k=xy=-4×3=-12，因此，y=-．

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