二次函数的概念—知识讲解(基础).doc

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二次函数的概念—知识讲解（基础）

【学习目标】
1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；
2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；
3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；
4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.
【要点梳理】
要点一、函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.
对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值.
要点诠释：
　　对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：
　　（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
　　（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；
（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.
要点二、函数的三种表示方法
表示函数的方法，常见的有以下三种：
　 （1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.
　 （2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.
　 （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.
要点诠释：
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
对照表如下：

表示方法
全面性
准确性
直观性
形象性
列表法
×
∨
∨
×
解析式法
∨
∨
×
×
图象法
×
×
∨
∨
要点三、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．
【典型例题】
类型一、函数的相关概念
1、如图所示，下列各曲线中表示是的函数的有( )．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】抓住函数定义中的关键词语“都有惟一确定的值”，与之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.
【答案】C；
【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．
【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.
举一反三：
【变式】下列等式中，是的函数有（ ）个.

A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C；要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于 当取2时，有两个值±与它对应，对于，当取2时，有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数定义的要求：y都有惟一确定的值与x对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义.
2、求出下列函数中自变量的取值范围.
（1）． （2）． （3）．
（4）． （5）． （6）．
【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等.
【答案与解析】
解：（1）． ，为任何实数，函数都有意义；
（2）．，要使函数有意义，需2－3≠0，即≠；
（3）．，要使函数有意义，需2＋3≥0，即；
（4）．，要使函数有意义，需2－1＞0，即；
（5）．，为任何实数，函数都有意义；
（6）．，要使函数有意义，需，即≥－3且≠－2.
【总结升华】关于自变量的取值范围，在实际问题中，还要考虑实际情况.
3、若与的关系式为，当＝2时，的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【思路点拨】把代入关系式即可求得函数值.
【答案】B；
【解析】.
【总结升华】是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
类型二、函数的三种表示方法
4、一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．
t/时
0
1
2
3
4
5
…
y/米
10
10．05
10．10
10．15
10．20
10．25
…
(1)由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？
【思路点拨】观察表格发现随着时间的均匀增加，水位高度的增加量相同，可知该函数为一次函数.
【答案与解析】
解：(1)由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0.05米，这样的规律可以表示为：y=0.05t+10（0≤t≤5）
这个函数的图象如下图所示：

(2)再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0.05t+10的函数值，从解析式容易算出：y=0.05×7+10=10.35,从函数图象也能得出这个值数．
答：2小时后，预计水位高10.35米．
【总结升华】本题综合考察了列表法、解析法和图像法，是一道不错的试题.
类型三、二次函数的概念
5、当常数m≠　 　时，函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数；当常数m=　 　时，这个函数是一次函数．
【思路点拨】根据一次函数与二次函数的定义求解.
【答案与解析】解：由函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数，得
m2﹣2m﹣8m≠0．
解得m≠4，m≠﹣2，
由y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是一次函数，得
，
解得m=4，
故答案为：4，﹣2；4．
【总结升华】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不能为零，一次函数一次项的系数不能为零．
举一反三：
【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )
A. B. C. D.
【答案】A
【变式2】若函数是二次函数，则m的值是　 　．
【答案与解析】解：若函数是二次函数，
则m2﹣9m+20=2，再利用m﹣6≠0，
故（m﹣3）（m﹣6）=0，m≠6，
解得：m=3．
故答案为：3．

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