大学先修模拟试题A卷.doc

命题人：
北京十一学校肖址敏
2015年大学先修《物理力学》模拟试题A卷
姓名： 得分：
一、问题简答（每小题3分，共15分）
1．质心和重心间有何区别和联系；

2．有哪四种基本相互作用力？分子力、表面张力和摩擦力是怎样产生的？从动量、能量的角度谈谈你对力的理解。

3． 地球在太阳引力作用下绕太阳运动是形成潮汐原因之一，将地球运动轨道近似处理成圆，试用平移惯性力解释之。

4．若一个质点同时参与两个同方向同频率的简谐运动，即、，求出质点的合振动方程，并指出质点的振幅和初相位。

5．举例说明狭义相对论的正确性；

二、规律推导（每小题3分，共15分）
1．在极坐标系中推导：径向加速度、横向加速度；

2．导出在三维直角坐标系中，变力做功的表达式为；

3．由质点的牛顿运动定律导出质点的角动量定理和角动量守恒定律，指出质点角动量守恒的条件；

4．求出开普勒第二定律中说所的面积速度，并指出开普勒第二定律的动力学原因是什么；

5．两个全同粒子完全非弹性正碰撞中，利用质量守恒、动量守恒和洛伦兹速度变换关系导出：狭义相对论中的质量和速度关系；

三、命题证明（每小题3分，共15分）
1．证明：当质点系所受外力Fi之和为零时，外力Fi相对任一参考点力矩之和相同；

2．证明：在惯性系中，质点动能定理的微分形式为；

3．证明：在惯性系中，机械能定理的表达式为；在非惯性系中，机械能定理可表示为。

4．证明：在质心系中，质点系满足和；

5．证明开普勒第三定律，并求出k的具体值；若考虑到引力对太阳运动的影响，开普勒第三定律应该做怎样的修改？

四、模型计算（共8小题，共45分）
1．（5分）宽L的河流，流速与离岸距离成正比，河中央流速为v0，两岸处流速为零，小船相对于水流以恒定的垂直速度vr从此岸驶向对岸，在距此岸L/4处突然掉头，以相对速度vr/2垂直于水流驶回此岸。以小球出发位置为原点，导出直角坐标系下小船运动轨迹，并计算小船返回此岸的位置与出发点之间的距离。

m
L/2
L/2
M
2．（6分） 足够高的桌面上开一小孔，长L、质量M的均匀细杆竖直穿过小孔，一半在孔的上方，细杆下端有一质量m<M的小虫，小虫正下方的地面上有一支点燃的蜡烛，如图所示。设开始时，细杆、小虫均处于静止状态，然后在系统自由释放后的瞬间，小虫以相对细杆恒定的速度v向上爬行，且在到达小孔前始终未离开杆。
（1）小虫未避免被蜡烛烧伤，v可取的最小值v0多大；
（2）小虫取v0相对细杆向上爬行，爬到小孔处相对桌面的速度vm多大？

3．（6分）一质量为m、半径为R、高为h=R的圆柱可绕轴线OO'转动。在圆柱侧面上开有一与水平面成α=45°角的螺旋槽，放一质量也为m的小球于槽中。开始时小球由静止从圆柱顶端A受重力作用滑下，圆柱同时发生转动。设各处摩擦均不计，试求当小球滑落到圆柱底部B时，小球相对圆柱的速度和圆柱的角速度。

N2
N1
O

4．（5分）质量m、长为l的匀质细杆，可绕过端点O的水平光滑固定轴在竖直平面内自由摆动。细杆从图所示的水平位置静止地释放，当摆角为时，求：
（1）细杆旋转角速度和角加速度；
（2）转轴提供的沿杆长方向支持力N1和垂直于杆长方向的支持力N2。

v0
5．（6分）在水平地面上，用手按动半径为R的乒乓球，使其获得向右的初速度v0和逆时针方向转动角速度，如图所示。乒乓球可处理成匀质薄球壳，球壳与地面间的摩擦因素为常量。求：乒乓球最后达到的稳定运动状态。

6．（6分）通过天文观测，发现存在非圆的行星椭圆轨道，假设质点间的万有引力大小与间距r的关系为，其中α为待定常数，就下面两种情况分别确定α；
（1）太阳在椭圆轨道的一个焦点上（开普勒第一定律）；
（2）太阳在椭圆的中心。

h
k
M
M
7．（6分）如图所示，劲度系数为k的轻弹簧竖直悬挂着，它的下端连接质量为M的平板，平板上方h高处有一质量也为M的小物块，今使系统从弹簧处于自由长度状态，平板和小物块静止开始释放，当平板降落到受力平衡位置时，小物块恰好追上平板并与其粘连。求h以及小物块与平板粘连后的瞬间向下运动的速度u；再问如果连接的平板两端是轻绳，那么小物块与平板粘连后能否形成纯粹的简谐运动（即在简谐运动的过程中始终不会有其他形式的运动）

8．（5分）惯性系S中三艘已处于匀速直线运动状态的飞船1、2、3，各自的速度大小同为v，航向已在图中标出。某时刻三艘飞船“相聚”（彼此靠近但不相碰）于S系的O点，此时各自时钟都校准在零点。飞船1到达图中与O点相距l的P处时，发出两细束无线电信号，而后分别被飞船2、3接收到。（1）在飞船1中确定发射信号的时刻t1；（2）在飞船2中确定接收信号的时刻t2；（3）在飞船3中确定接收信号的时刻t3.

五、开放试题（每小题10分，共10分）
1．1918 年德国数学家艾米·诺特（A·E·Noether）提出著名诺特定理（Noether theorem）：作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律，有一个守恒量，从而将对称和守恒性这两个概念紧密地联系在一起。诺特定理告诉我们，一个没有对称性的世界，物理定律也变动不定。因此物理学家们已经形成一种思维定式：只要发现了一种新的对称性，就要去寻找相应的守恒定律；反之，只要发现了一条守恒定律，也总要把相应的对称性找出来。
物理定律的对称性也意味着物理定律在各种变换条件下的不变性。由物理定律的不变性，我们可以得到一种不变的物理量，叫守恒量，或叫不变量。比如空间旋转对称，它的角动量必定是守恒的；空间平移对称对应于动量守恒，电荷共轭对称对应于电量守恒，如此等等。爱因斯坦就是在思考这个问题时，提出“在惯性参考系变换操作下，物理规律保持不变”，这个就是狭义相对性原理。进一步推广为：在任意参考系变换操作下，物理规律保持不变，这个就是广义相对性原理。
1926 年，维格纳（E.Wigner）提出了宇称守恒（Parity conservation）定律，就是把对称和守恒定律的关系进一步推广到微观世界。由宏观走向微观必然会展现事物的差异性，所以对称性破缺不可避免，而人们往往忽略这个问题。在微观世界里，基本粒子有三个基本的对称方式：一个是粒子和反粒子互相对称，即对于粒子和反粒子，定律是相同的，这被称为电荷(C)对称；一个是空间反射对称，即同一种粒子之间互为镜像，它们的运动规律是相同的，这叫宇称(P)；一个是时间反演对称，即如果我们颠倒粒子的运动方向，粒子的运动是相同的，这被称为时间(T)对称。如果物质最基本层面的对称能够成立，那么对称就是物质的根本属性，所以弱力环境中的宇称守恒虽然未经验证，也理所当然地被当时认为遵循宇称守恒规律。1956 年，两位美籍华裔物理学家——李政道和杨振宁大胆提出宇称不守恒，从而解决“θ-τ之谜”，并因此获得了诺贝尔奖。诺贝尔奖给他们带来无限荣誉的同时也逐渐使两人的关系走向分裂，从此再未合作过。
自从宇称守恒定律被李政道和杨振宁打破后，科学家很快又发现，粒子和反粒子的行为也并不是完全一样的，存在轻微不对称，这导致宇宙大爆炸之初生成的物质比反物质略多了一点点，大部分物质与反物质湮灭了，剩余的物质才形成了我们今天所认识的世界。1998 年欧洲原子能研究中心的科研人员发现，正负K介子在转换过程中存在时间上的不对称性。至此，粒子世界的物理规律的对称性全部破碎了。
结合以上材料和平时阅读过的书籍，谈谈你对对称性和守恒率间的关系的理解。