于基小波变换的脑电信号去噪方法初稿-学位论文.doc

本科毕业设计（论文）基于小波变换的脑电信号去噪方法燕山大学毕业设计（论文）任务书学院： 系级教学单位： 学号学生姓名专 业班 级题目题目名称题目性质1.理工类：工程设计 （ ）；工程技术实验研究型（ ）；理论研究型（ ）；计算机软件型（ ）；综合型（ ）2.管理类（ ）；3.外语类（ ）；4.艺术类（ ）题目类型1.毕业设计（ ） 2.论文（ ）题目来源科研课题（ ） 生产实际（ ）自选题目（ ） 主要内容基本要求参考资料周 次第 周第 周第 周第 周第 周应完成的内容指导教师：职称： 年 月 日系级教学单位审批： 年 月 日：表题黑体小三号字，内容五号字，行距18磅。（此行文字阅后删除）摘要摘要脑电信号(EEG)是脑神经细胞电生理活动在大脑皮层或头皮表面的总体反映，其中包含了大量的生理和病理信息,并可以用许多特征量来描述其特征信号。通过脑电分析来认识脑的活动是一种有效的无创手段。人体脑电信号非常微弱，为了提高脑电信号的性能和检测效率，必须对脑电信号进行去噪处理。小波理论的形成是数学家、物理学家和工程师们多学科共同努力的结果，现在小波分析正运用在众多自然科学领域，已经成为当前最强有力的分析工具之一，而且还在继续蓬勃向前发展着。研究小波的新理论、新方法以及新应用具有重要的理论意义和实用价值。在噪声中如何准确地检测到信号一直是信号处理领域所关心的内容，小波变换由于具有良好的时频局部化特性，能够对各种时变信号进行有效的分解，从而较好地将信号与噪声加以分离，获得满意的去噪效果。本文对小波分析在脑电信号去噪中的应用进行了较为深入研究和讨论。本文首先介绍了小波基本理论和基于传统小波分析的信号去噪原理以及几种常用的方法。在几种方法中，因小波闭值去噪法，原理简单易行，效果较好且是本文研究的其他几种小波分析方法去噪处理的基础，所以本文在基于MATLAB实验平台上选取实验效果较好的小波函数，在不同阐值和阐值函数的情况下对这种方法做了较为详细地脑电信号去噪比较研究。小波变换是一种信号的时间一尺度分析方法，具有多分辨率分析的特点，对信号具有自适应性。本文提出了一种基于正交小波变换的脑电信号去噪方法。试验表明，该方法具有很好的有效性。关键词：脑电信号;小波变换;去噪I 燕山大学本科生毕业设计（论文）AbstractThe Electroencephalograph (EEG) is the total reflenction of brain nerve cells,through the electric signal record electrode from scalp.It contains a great deal of physiology and pathologic information, and we can use many characteristics quantity to describe its specificity. EEG analysis is an effective noninvasive approach for us to understand the mechanism of brain activity.The EEG signal is one of mini-voltage.In order to improve the performance of EEG and increase the measure efficiency,we must eliminate the noise in EEG.The theory of the wavelet originates with mathematicians, physicists and engineers together, and now,the wavelet analysis is very popular in many fields of science as one of the most efficient tool to analysis or deal the problem, furthermore, it will still progress forward in the future. To study the new theory, methods and applications of wavelets is of great theoretical significance and practical value.Estimating the original signals from noise has always been an important part in the field of signal processing. Because of its fine time-frequency localization characteristic, wavelet transform can effectively discriminate signals from noise and achieves pretty good performance.This paper chiefly studying the application of wavelet analysisin EEG signalde noising.Firstly ,this paper introduce the theory of wavelet and principle of signal denoising based on wavelet, and then studying several denoising methods. Because threshold denoising has simple algorithm and good denoising result, moreover it is the base of other denoising methods discussed in this paper, this paper make a comparison study of EEG signal denoising based on MATLAB platform, using diferent threshold functions and threshold value,but using one wavelet function.Wavelet transform is a kind of analytical tool in time-scale domain.It has the feature of multi-resolution analysis and the adaptaion characteristic for signal.A noise rejection method with positive-join wavelet transform was proposed here.Experiments show that the proposed method has good efficiency.Key words：EEG;wavelet transform;noise rejectionIII 摘要IABSTRACTII第1章 绪论11.1引言11.2 小波变换的背景21.3 信号处理的背景41.4 脑电信号去噪5第2章 小波变换62.1 时频分析方法62.1.1 短时傅立叶变换(STFT)62.1.2 Wigner-Ville 分布82.1.3 小波变换的思想92.2 连续小波基函数112.3 小波变换122.3.1 连续小波变换122.3.2 离散小波变换132.3.3 二进小波变换142.4 多分辨率分析与离散小波快速算法142.4.1 多分辨率分析142.4.2 离散小波变换的快速算法162.5 Mallat 的快速算法172.6 本章小结18第3章 基于小波变换去噪方法的研究193.1 经典的滤波去噪方法193.2 基于小波变换模极大值去噪方法的研究203.2.1 小波变换模极大值的定义203.2.2 模极大值随着尺度的变化规律213.2.3 一种新的子波域滤波算法243.3 小波阈值去噪方法的研究263.3.1 小波阈值去噪处理的方法263.3.2 软阈值的选择方法283.3.3 噪声在小波分解下的特性293.3.4 小波函数的选择303.4 利用小波包进行信号消噪处理343.4.1 小波包变换的基本原理343.4.2 小波包的定义353.4.3 运用小波包消噪363.5 本章小结37第四章 脑电信号去噪374.1 脑电信号374.1.1 脑电信号背景374.1.2 脑电信号的特征与采集384.1.3 脑电信号预处理414.2 小波去噪的MATLAB仿真444.2.1 Matlab的小波分析444.2.2 Matlab仿真去噪454.3本章小结49结论49参考文献50致 谢51附录151附录251V第1章 绪论 第1章 绪论1.1引言脑电信号EEG(Electroencephalograph)是人体一种基本生理信号，蕴涵着丰富的生理、心理及病理信息，脑电信号的分析及处理无论是在临床上对一些脑疾病的诊断和治疗，还是在脑认知科学研究领域都是十分重要的。由于脑电信号存在非平稳性且极易受到各种噪声干扰，特别是工频干扰。因此消除原始脑电数据中的噪声，以更好地获取反映大脑活动和状态的有用信息是进行脑电分析的一个重要前提。近年来，随着电子技术的迅猛发展，信息获取的手段、精度、速度都有了很大的提高。特别是在非平稳信号分析理论上的一系列重大进展为非平稳信号提供了新的处理与分析手段。小波分析理论则是这一系列重大进展中的一个 。小波变换对于信号的高频成分使用逐渐尖锐的时间分辨率以便移近观察信号的快变成分，对于低频成分使用逐渐尖锐的频率分辨率以便移远观察信号的慢变成分 (整体变化趋势)。小波这种 “既见树木又见森林”的信号分析表示特征对分析非平稳信号是非常有效的。利用小波变换的多分辨率特性，将含有噪声的脑电信号进行多尺度分解，得到不同频带的子带信号。然后对含有工频干扰的子带信号进行处理，以达到去除工频干扰及其它噪声的目的。与传统的傅里叶变换相比较，小波变换是一种多尺度信号分析方法，具有良好的时频局部化特性，非常适合分析非平稳信号的瞬态特性和时变特性，这正是分析EEG所需要的，EEG中许多病变都是以瞬态形式表现的。只有结合时间和频率进行处理，才能取得更好效果。但小波分解每次只分解上次分解的低频部分，而不分解高频部分，所以高频段分辨率较差。而小波包分解是一种从小波分解延伸出的更细致的分解和重构信号的方法，它不但分解低频部分，而且还能二次分解高频部分，能够很好地将频率分辨率调整到与脑电节律特性相一致，因此小波包分解具有更好的滤波特性。若将小波包方法引入脑电信号分析不仅可以克服传统脑电分析的不足还可以改进Mallat算法分析实际脑电中的不足。小波变换在脑电信号处理中将具有更广阔的应用前景。有关资料表明,国内外一些科研人员正从事用小波分析理论进行脑电信息处理和提取方面的研究工作。1.2 小波变换的背景虽然小波的发展历史不长，然而小波的思想可以追溯到1910 年Harr 的工作。Harr 首先提出一种紧支结构的小波规范正交基Harr 基，由于Harr 基的不连续性，而未能得到广泛的应用。1982 年法国地球物理学家J.Morlet在分析处理地震信号时，首次引入了“小波”(Wavelet)的概念，并应用一种无限支集的非正交小波将信号分解在时间与尺度域，对于大小不同的尺度成分采用相应粗细的时域或空域取样步长，从而可以聚焦到信号的任意细节。之后，他与理论物理学家A.Grossmann一起开创性的提出了连续小波变换的几何体系。然而，真正的小波热开始于1986 年，法国著名数学家Y.Weyer在知道了J.Morlet 和A.Grossmann 的工作以后，从理论上对小波分析作了一系列研究工作，构造了具有一定衰减性质的光滑函数，它的二进伸缩和平移系构成了空间的规范正交基，一举打破了长期以来人们认为这样的函数不能存在的设想，从而激起了人们对小波研究的极大热情。1988 年，I.Daubechies完善了由Harr 开头的工作，构造了一系列具有有限支集(即紧支集)的小波正交基(被誉为Daubechies 基)，有机的将信号处理的概念与范函分析理论联系了起来，成为目前小波理论研究的最重要的文献之一。Daubechies 基提供的比Harr 基更有效的分析和综合效果，证明它们无可争辩的成功。1989 年从事信号处理的S.Mallat发现Crossier、Esteban 和Calandde正交镜像滤波器、Burt 和Adelson 的金字塔算法、Stromberg 和他的正交小波基之间有密切关系，进而得出多分辨率分析。他用这一概念建立了小波理论的统一体系，首次将小波理论与多分辨率分析联系起来，并给出了小波变换快速分解和重构的塔式，后被人们称为Mallat 算法。Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换在傅立叶分析中的地位。之后Mallat 和Daubechies 合作研究发现尺度函数、小波函数与其对应的共轭滤波器之间有着一一对应的关系。不仅从尺度函数和小波函数可以得到对应的共轭滤波器组，而且，也可以从一组共轭滤波器出发，得到他们对应的尺度函数和小波函数，将数学上的多分辨分析和数字信号处理中的多采样滤波器紧密的联系起来了。进入九十年代以后， 小波理论和方法有了许多新进展。1990 年J.Kovacevic，M.Vetterli提出了双正交小波理论，根据这一理论，分析小波和重构小波函数可以采用两种不同的函数系。同年崔锦泰和王建忠将其推广为FIR 和IIR 互对偶的非正交滤波器组形式，从而构造了基于样条函数的所谓单正交小波函数。另外一个重要的进展是R.R.Coifman 和M.V.Wickerhauser提出的“小波包”理论，给出了最佳小波基准则，其全局的频率细化估计突破了小波分析等Q 结构和STFT 频带等宽的限制，为信号自适应频带划分提供了可能。目前，美国联邦调查局(FBI)发布的基于线性相位双正交子波分解的指纹图像压缩方法已经形成国际标准建议，并成功的应用于图象处理的其他领域。近年来，D.L.Donoho提出了内差小波的概念，Gernimo、Hardin 和Massopust 设计了一种具有分形结构的小波函数，后人将其引申为高维小波函数。目前，这些已成为小波分析研究的新热点。经过十几年的发展，小波分析不仅在理论和方法上不断取得突破性进展，而且已经深入到非线性逼近、分形与混沌学、计算机图形学、数字通信、地震勘测、雷达成像，图象处理、计算机视觉与编码、生物医电、时变估计和检测、以及语音合成等诸多领域。其涉及面之广、影响之大、发展之迅猛是空前的。目前，小波分析已成为一门多学科综合、交叉发展的技术领域。 从理论上，我们把小波变换可以分为连续小波变换(CWT)、连续信号离散参数的小波级数变换(WST) 以及离散信号离散参数的离散小波(包)(DWT)变换等。作为一种数学工具，每一种小波变换都有一定的适用范围，实际应用时一定要结合小波变换的固有特点，面向更能发挥小波函数时频局部性特点的问题，只有这样才能得到好的结果。为此本文将结合实际应用问题，对小波变换的理论和方法在实际中的性能进行仔细的研究，给出切合实际的算法。1.3 信号处理的背景Fourier(法国数学家)于1822 年提出了Fourier 理论。Fourier 分析方法的应用使科学和技术领域发生了极大的变化，目前在信号处理方面Fourier 变换是不可缺少的分析工具。但傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位是完全准确的(即频域分辨率最高)，而在时域无任何定位(或分辨能力)，即傅里叶变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频域信息，只适用于平稳信号的分析。相反，当一个函数用函数 展开的时候，它在时间域的定位是完全准确的，而在频域却无任何定位性(或分辨能力)即函数分析所反映的是信号在全部频率上的整体时域特性，而不能提供任何频率段所对应的时间信息。实际中，一些常见的非平稳信号的频域特性都随时间而变换，因此也可称为时变信号，对时变信号的分析通常需要提取某一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，信号处理人士长期以来努力寻求一种介于傅里叶分析和分析之间的，并具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号。为了研究信号在局部时间范围的特性，1946 年Gabor提出了著名的Gabor 变换，之后又进一步发展为短时傅里叶变换(STFT)。目前，STFT 变换已在许多领域得到了广泛的应用，但由于STFT 的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。高频信号一般持续时间短，而低频信号持续时间长，因此，我们期望对于高频信号采用小时间窗、对低频信号则采用大时间窗分析，在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同STFT 的固定时窗的特性是相矛盾的。这些不足之处恰恰是小波变换的特长之所在，小波变换不仅继承和发展了STFT 的局部化的思想，而且克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交基的特点，是一种理想的进行信号处理的数学工具。但是，需要指出小波理论的思想来源于Fourier 分析，它不能代替傅立叶分析，它是傅立叶分析的新发展。Fourier 分析和小波分析分别适用于不同的应用场合，在实际应用中，将两者结合起来才能取得理想的效果。1.4 脑电信号去噪脑电(EEG)中蕴涵着丰富的生理、心理及病理信息，脑电信号的分析及处理无论是在临床上对一些脑疾病的诊断和治疗,还是在脑认知科学研究领域都是十分重要的。 由于脑电信号存在非平稳性且极易受到各种噪声干扰,特别是工频干扰。 因此如何消除原始脑电数据中的噪声以更好地获取反映大脑活动和状态的有用信息是进行脑电分析的一个重要前提。几十年来，人们已积累了大量脑电信息处理与提取方面的经验，提出了一系列电脑信息处理理论和方法，但很少有突破性进展。近年来，随着电子技术的迅猛发展，信息获取的手段、精度、速度都有了很大的提高。特别是在非平稳信号分析理论上的一系列重大进展为非平稳信号提供了新的处理与分析手段。小波分析理论则是这一系列重大进展中的一个 。小波变换对于信号的高频成分使用逐渐尖锐的时间分辨率以便移近观察信号的快变成分，对于低频成分使用逐渐尖锐的频率分辨率以便移远观察信号的慢变成分 (整体变化趋势)。小波这种 “既见树木又见森林”的信号分析表示特征对分析非平稳信号是非常有效的。利用小波变换的多分辨率特性，将含有噪声的脑电信号进行多尺度分解，得到不同频带的子带信号。然后对含有工频干扰的子带信号进行处理，以达到去除工频干扰及其它噪声的目的。随着小波变换的不断发展,国内外许多研究者将小波分析用于生物医学信号的提取及去噪处理。 小波变换是一种把时间和频率两域结合起来的时频分析方法,在时频域都具有表征信号局部特征的能力。 小波变换具有以下几个特点:1) 多分辨率(多尺度) ；2) 品质因素,即相对带宽(中心频率与带宽之比)恒定；3) 选择适当的基本小波,可使小波在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力。 利用小波变换的多分辨率特性,将含有噪声的脑电信号进行多尺度分解,得到不同频带的子带信号。 然后对含有工频干扰的子带信号进行处理,以达到去除工频干扰的目的。第2章 小波变换2.1 时频分析方法信号分析的主要目的就是寻求一种简单而有效的方法来描述信号，以便让信号所包含的主要信息显示出来。经典的表示方法是采用三角函数系和Haar 系，Haar 系中函数的时域是完全局部化的，可它在频域局部性极差，三角函数系在频域里完全局部化，但无任何时间(空间)局部性，上述两种方法说明不可能同时获得时域和频域局部化最佳。如果频率分辨率提高，时域分辨率将下降，反之亦然；任何能量有限信号可由其Fourier 变换来表示，并且有其明确的物理意义，因而决定了Fourier 分析成为信号分析的主要工具。然而，Fourier 变换反映的是信号整个时域对频率的贡献，如果一个信号在某一刻的一个小的邻域中发生了变化，信号的整个频率就会受到影响，本质上说是由于Fourier 变换中的积分和平滑了信号的突变部分，无法确定信号发生变化的时间位置和变化的剧烈程度，即不能刻画信号的局部奇异性。在实际问题处理中，却常常需要刻画局部时间范围内信号的频谱信息，也就是我们常说的局部化时频分析。经过人们的共同探索，在时频分析方法上取得显著的成效，其主要方法有：短时Fourier 变换、WV 分布和小波分析。2.1.1 短时傅立叶变换(STFT)短时傅立叶变换亦称加窗傅立叶变换， 它起初是在一九四六年D.Gabor为了对信号实现时频局部化分析而提出来的，其基本思想是：用一个有限区间外恒等于零的光滑函数(称之为窗函数)去截取所要研究的信号，然后对其进行傅立叶变换，从而可以对信号进行时频局部化分析。它的这一思想本质上是将所研究的信号分解成一系列短时信号的叠加，每一短时信号是通过窗函数的不同位置作用所研究信号而得到，且通过窗函数的选取，每一短时信号可以认为是平稳信号，可用傅立叶变换进行分析，从而实现了信号的时频局部化分析。对信号，其加窗傅立叶变换定义为：其中g(t)为窗函数， 为瞬时角频率。直观上讲，如果要求信号f (t)在时域和频域上都是局部的，那么f (t)与它的傅立叶变换F( )应该都具有紧支集，然而我们根据解析函数理论可知，不存在这样的能量有限信号，因而仅能在概率分布定义上去划刻信号的时频局部性，为此人们引入时相平面来分析信号的时频局部性。式(3-1)表明，随着参数(, )的变化，加窗傅立叶变换F(, )实现了信号f (t)的时间频率局部化，但其频率与所选择的窗口有关，而窗的分辨率可用窗的面积大小来衡量，面积越小，窗的时-频局部化能力越强，然而受Heisenberg 测不准原理影响，窗口不可能任意的小，因而限制了加窗傅立叶变换的应用。测不准原理：如果 ，且为一个窗函数，则，且等号成立的充分必要条件是：式中，且。测不准原理认为时间-频率局部化是一对基本矛盾，如果时域分辨率提高，频域分辨率就会下降，反之亦然，时域局部化的最佳窗为高斯窗。加窗傅立叶变换从纯时域分析和纯频域分析向时频局部化分析大大迈进了一步，实现信号的时频局部化分析，然而加窗傅立叶变换存在其固有的缺点，其一，在加窗傅立叶变换中，窗函数一旦取定，窗口的大小就随之而确定下来，而与窗口的位置无关，因此，加窗傅立叶变换不适于分析同时包括低频和高频信息的信号；其二，在具体实际处理中，常采用离散加窗傅立叶变换，离散加窗傅立叶变换的局部化特性在整个时相平面上是均匀分布的，为此在对频域宽，频率变化剧烈的信号进行处理时，要正确获得信号的高频信息，时间局部化参数要取得很小，即窗口选的很小，要取得相当多的样本点，这样将大大加大计算的耗时，并且窗口太小时，会降低低频信号的分辨率，不适于低频信号的分析；其三，无论采用什么样的方案对加窗傅立叶变换进行离散化，均得不到一组离散正交基，因而不能用快速算法给予实现。鉴于上述理由，加窗傅立叶变换未能得到广泛的应用，只适合分析所有特征大致相同的信号，对奇异信号和非平稳信号不是很有效，因而需求一种新的时频分析工具来适于信号时频分析的要求。2.1.2 Wigner-Ville 分布Wigner-Ville 分布(简称W-V)是一种二次型非线性子时-频分析方法对连续时间数值函数，其W-V 变换定义为：如果记 ，则W(t, )是 对的傅立叶变换，从而有：并且有： (3-4)W-V 变换是信号在时-频二维空间上的分布，可解释为信号在时频相平面的“能量密度”，但W-V 变换未必总为正的，为此在解释W-V变换的含义过程中遇到了困难。W-V 变换有许多优良的性质，在时频分析中起了很大的积极作用，然而它是在全实轴上定义的，不便于实时分析处理，实际问题仅能对短数据进行分析处理，为此人们引入了伪W-V 变换，相当于对信号加一个随时间移动的窗函数。W-V 变换的优良性质在许多领域都有人研究，如雷达、声纳、地震和图像处理等方面，但还不很成熟，原因在于W-V 变换存在一些难以克服的问题，如交叉问题，目前解决交叉项人们提出了许多方法，例如：时频两轴卷积法，采用原始信号的解析信号进行分析等。但未能找到一种比较好的解决交叉项的方法。虽然W-V 变换提供了信号能量在时间-频率相平面上的分布，但给出的信息不完整。并且W-V 变换与加窗傅立叶变换一样，在时间频率相平面上的频率分辨率是相同的，不随信号频率的变化而改变，因而在处理非平稳信号和突变信号时造成困难，人们寻求一种新的时频分析工具，以满足信号时频分析的要求，小波变换正是在这种环境下产生的一种新的时频分析方法。2.1.3 小波变换的思想小波变换继承和发展了Gabor 的加窗傅立叶变化的局部化思想，并克服了加窗傅立叶变换窗口大小不能随频率变化的不足，其基本思想来源于可变窗口的伸缩和平移。小波变换利用一个具有快速衰减性和振荡性的函数(成为母子波)，然后将其伸缩和平移得到了一个函数族(称之为小波基函数)，以便在一定的条件下，任一能量有限信号可按其函数族进行时频分解，基函数在时-频相平面上具有可变的时间-频率窗，以适应不同分辨率的需求。图2-1 小波变换的时频平面的划分在加窗傅立叶变换中，一旦窗函数选定，在时频相平面中窗口的大小是固定不变的，不随时频位置(t，f)而变化，所以加窗傅立叶变换的时-频分辨率是固定不变的，小波变换的时频相平面如图2-1 所示，窗函数在时频相平面中随中心频率变换而改变，在高频处时窗变窄，在低频处频窗变窄，因而满足对信号进行时-频分析的要求。它非常适合于分析突变信号和不平稳信号。况且小波变换具有多分辨率分析的特点和带通滤波器的特性，并且可用快速算法实现，因而常用于滤波、降噪、基频提取等。但对平稳信号来说，小波分析的结果不如傅立叶变换直观，而且母小波的不唯一性给实际应用带来了困难。小波分析属于时频分析的一种。传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础之上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，只提供信号的频域信息，而不提供信号的任何时域信息，因此无法表述信号的时频局域性质，而这性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。2.2 连续小波基函数小波函数的确切定义为：设为一平方可积函数，也即，若其傅立叶变换满足则称为一个基本小波或小波母函数，并称上式为小波函数的可容许性条件。连续小波基函数 的定义为：将小波母函数进行伸缩和平移，设其伸缩因子(又称尺度因子)为a，平移因子为，令其平移伸缩后的函数为 ，则有 称 为依赖于参数a, 的小波基函数，由于尺度因子a、平移因子 是取连续变化的值，因此称为连续小波基函数。它们是由同一母函数经伸缩和平移后得到的一组函数系列。定义小波母函数窗口宽度为，窗口中心为 ，则相应可求得连续小波 的窗口中心为 ，窗口宽度为 。 同样，设为的傅立叶变换，其频域窗口中心为，窗口宽度为，设的傅立叶变换为 ，则有所以，其频域窗口中心为窗口宽度为可见，连续小波 的时、频域窗口中心及宽度均随尺度a 的变化而伸缩，若我们称为窗口函数的窗口面积，由于所以连续小波基函数的窗口面积不随参数a, 而变。这正是海森堡测不准原理证明的：大小是相互制约的，乘积，且只有当为Gaussian 函数时，等式才成立。由此可得到如下几点结论：(1)尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频率 ，即尺度越小，对应频率越高，尺度越大，对应频率越低。如果我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信号；(2)在任何值上，小波的时、频窗口的大小和都随频率(或者1/a )的变化而变化。这是与STFT 的基的不同之处；(3)在任何尺度a、时间上，窗口面积保持不变，也即时间、尺度分辨率是相互制约的不可能同时提的很高；(4)由于小波母函数在频域具有带通特性，其伸缩和平移系列就可以看作是一组带通滤波器。通常将通带宽度与中心频率的比值称为带通滤波器的品质因数，通过计算可以发现，小波基函数作为带通滤波器，其品质因数不随尺度a 而变化，是一组频率特性等Q的带通滤波器组。2.3 小波变换2.3.1 连续小波变换将任意 空间中的函数f (t)在小波基下进行展开，称这种展开为函数f (t)的连续小波变换(Continue Wavelet Transform,简记为CWT)，其表达式为由CWT的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换，同傅立叶变换相似，称为小波变换系数。由于小波基不同于傅立叶基，因此小波变换和傅立叶变换有许多不同之处。其中最重要的是，小波基具有尺度a、平移 两个参数。因此，将函数在小波基下展开就意味着将一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上。并且，由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。 与STFT不同的是，小波变换是一种变分辨率的时频联合分析方法。当分析低频(对应大尺度)信号时，其时间窗很大，而当分析高频(对应小尺度)信号时，其时间窗减小。这恰恰符合实际问题中高频信号的持续时间短、低频信号持续时间较长的规律。2.3.2 离散小波变换由连续小波的概念知道，在连续变化的尺度a及时间值下，小波基函数具有很大的相关性，体现在不同点上的CWT系数满足重建核方程，因此信号f (t)的连续小波变换系数 的信息量是冗余的。虽然在某些情况下，其冗余性是有益的(例如在去噪，进行数据恢复及特征提取时，常采用CWT，以牺牲计算量、存储量为代价来获得最好的结果)，但在很多情况下，我们希望在不丢失原信号f (t)信息的情况下，尽量减小小波变换系数的冗余度。减小小波变换系数冗余度的作法是将小波基函数的a、限定在一些离散点上取值。一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取 (m 为整数，一般取。)关于位移的离散化，当时，。通常对进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。为了不丢失信息，要求采样间隔满足Nyquist采样定理，即采样频率大于等于该尺度下频率通常的2 倍。每当m增加1，尺度a 增加一倍，对应的频带减小一半，可见采样率可以降低一半，也就是采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度m = 0时的间隔为，则在尺度为时，间隔可取为 。此时可表示为 任意函数f (t)的离散小波变换为 (2-10)2.3.3 二进小波变换对于尺度及位移均离散变化的小波序列，若取离散栅格的，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化，我们称这类小波为二进小波，表示为 (2-11)二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化，因此二进小波仍具有连续小波变换的时移共变性，这是它较之离散小波变换所具有的独特优点。2.4 多分辨率分析与离散小波快速算法2.4.1 多分辨率分析多分辨率分析(Multi-Resolution AnalysisMRA)，又称为多尺度分析是建立在函数空间22概念上的理论。但其思想的形成来源于工程，其创建者S.mallat 是在研究图像处理问题时建立这套理论。当时研究图像的一种很普遍的方法是将图像在不同尺度下分解，并将结果进行比较，以取得有用的信息。Meyer正交小波基的提出，使得Mallat 想到是否用正交小波基的多尺度特性将图像展开，以得到图像不同尺度间的“信息增量”。这种想法导致了多分辨率分析理论的建立。MRA不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。其思想又同多采样滤波器组不谋而合，可将小波变换同数字滤波器的理论结合起来。因此多分辨率分析在正交小波变换理论中具有非常重要的地位。3.4.1.1 尺度函数和尺度空间 若一个函数，它的的整数平移系列满足 (2-12)则可定义为尺度函数(scale function)。定义由在 空间张成的闭子空间为称为零尺度空间： (2-13)则对于任意，有 (2-14)同小波函数相似，假设尺度函数在平移的同时又进行了尺度的伸缩，得到了一个尺度和位移均可变化的函数集合： (2-15)则称每一固定尺度j上的平移系列所张成的空间为尺度为j 的尺度空间：对于任意，有 (2-16)由此，尺度函数在不同尺度上其平移系列张成了一系列的尺度空间。由式(2-15)随着尺度j的增大，函数的定义域变大，且实际的平移间隔也变大，则它的线性组合式(2-16)不能表示函数(小于该尺度)的细微变化，因此其张成的尺度空间只能包括大尺度的缓变信号。相反随着尺度j 的减小，线性组合便能表示函数的更细微(小尺度范围)变化，因此其张成的尺度空间所包含的函数增多(包括小尺度信号的大尺度缓变信号)，尺度空间变大。也即随着尺度的减小，其尺度空间增大。2.4.1.2 多分辨率分析的概念的引入 若把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将照相机由远及近的接近目标，在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，可观测到目标的细微部分。因此随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精的观察目标。这就是多尺度(即多分辨率)的思想。图2-2 小波空间和尺