专题5导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案).pdf

1专题专题 5 导数的应用导数的应用含参函数的单调性讨论含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视一、思想方法：一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为DxfxfDxDxfxfDxDxfxfDxDCxfDCxxfBAxfBAxxf)(0)()(0)()(0)(.,)(.0)(.,)(.0)(讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论二、典例讲解二、典例讲解典例典例 1 讨论的单调性，求其单调区间xaxxf)(解：的定义域为xaxxf)(),0()0,(它与同号)0(1)(222xxaxxaxfaxxg2)(I）当时，恒成立，0a)0(0)(xxf此时在和都是单调增函数，)(xf)0,(),0(即的增区间是和;)(xf)0,(),0(II)当时 0aaxaxxxf或)0(0)(axxaxxf00)0(0)(或 此时在和都是单调增函数，)(xf),(a),(a在和都是单调减函数，)(xf)0,(a),0(a即的增区间为和;)(xf),(a),(a的减区间为和.)(xf)0,(a),0(a步骤小结：步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并变式练习变式练习 1 讨论的单调性，求其单调区间xaxxfln)(2 解：的定义域为xaxxfln)(),0(它与同号)0(1)(xxaxxaxfaxxg)(I）当时，恒成立，0a)0(0)(xxf此时在为单调增函数，)(xf),0(即的增区间为，不存在减区间;)(xf),0(II)当时 ;0aaxxxf)0(0)(axxxf0)0(0)(此时在为单调增函数，)(xf),(a在是单调减函数，)(xf),0(a即的增区间为;的减区间为)(xf),(a)(xf),0(a典例典例 2 讨论的单调性xaxxfln)(解：的定义域为xaxxfln)(),0(它与同号)0(11)(xxaxxaxf1)(axxgI）当时，恒成立（此时没有意0a)0(0)(xxfaxxf10)(义）此时在为单调增函数，即的增区间为)(xf),0()(xf),0(II）当时，恒成立，0a)0(0)(xxf（此时不在定义域内，没有意义）axxf10)(此时在为单调增函数，即的增区间为)(xf),0()(xf),0(III)当时,令0aaxxf10)(于是，当 x 变化时，的变化情况如下表：(结合 g(x)图象定号)(),(xfxf x)1,0(aa1),1(a)(xf 0)(xf增减所以，此时在为单调增函数，在是单调减函数，)(xf)1,0(a)(xf),1(a3即的增区间为;的减区间为)(xf)1,0(a)(xf),1(a小结：小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性即先求出的零点，再其分区间然后定在相应区间内的符号一般先讨论)(xf)(xf无解情况，再讨论解过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平0)(xf0)(xf方、去分母、去对数符号等把自变量 x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区)(xf间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性变式练习变式练习 2 讨论的单调性xaxxfln21)(2 解：的定义域为xaxxfln21)(2),0(,它与同号.)0(11)(2xxaxxaxxf1)(2 axxg 令，)0(010)(2xaxxf当时，无解；当时,(另一根不在定义域0a0aaaax1内舍去)i)当时，恒成立（此时没有意义）0a)0(0)(xxfaxxf10)(2 此时在为单调增函数，即的增区间为)(xf),0()(xf),0(ii)当时，恒成立，0a)0(0)(xxf(此时 方程判别式,方程无解)012ax0此时在为单调增函数，即的增区间为)(xf),0()(xf),0(iii)当时,0a当 x 变化时，的变化情况如下表：(结合 g(x)图象定号)(),(xfxfx)1,0(aa1),1(a)(xf 0)(xf增减所以，此时在为单调增函数，在是单调减函数，)(xf)1,0(a)(xf),1(a4即的增区间为;的减区间为)(xf)1,0(a)(xf),1(a小结：小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如 i),ii)可合并为一类结果对于二次型函数（如）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论1)(2 axxg典例典例 3 求的单调区间1)(232xaxxaxf解：的定义域为 R，1)(232xaxxaxf )1)(13(123)(22axaxaxxaxf I)当时，在 R 上单调递减，减区间为 R，无增区0a01)(xf)(xf)(xf间II)当时，是开口向上的二次函数，0a032a)(xf 令,因此可知（结合的图象）)0(1,310)(21aaxaxxf得)(xfi)当时，0a21xx axaxfaxaxxf3110)(;3110)(或 所以此时，的增区间为；的减区间为)(xf),31()1,(aa和)(xf)31,1(aaii)当时，0a21xx axaxfaxaxxf1310)(;1310)(或 所以此时，的增区间为；的减区间为)(xf),1()31,(aa和)(xf)1,31(aa小结：小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况）。含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注意结合图象确定相应区间正负变式练习变式练习 3 求的单调区间12131)(23xaxxxf解：的定义域为 R，)(xf1)(2axxxf5 是开口向上的二次函数，)(xf42aI)当时，恒成立220a0)(xf所以此时在 R 上单调递增，增区间为 R，无减区间)(xf)(xfII)当时220aa或 令212221,24,240)(xxaaxaaxxf 得 因此可知（结合的图象）与随 x 变化情况如下表)(xf)(xf)(xfx),(1x1x),(21xx2x),(2x)(xf 0 0)(xf增减增 所以此时，的增区间为；)(xf),24()24,(22aaaa和的减区间为)(xf)24,24(22aaaa小结：小结：三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论；然后再讨论有两不等根的，结合导函数图象列变化表，注意用根的符号代替复杂的式，最后结论才写回个别点处导数为 0 不影响单调性只有在某区间21,xx内导数恒为 0 时，相应区间内原函数为常数，一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况总结总结：求单调区间要确定定义域求单调区间要确定定义域，确定导函数符号的关键是看分子相应函数，因此讨论点有：第一是类型（一次与二次的根个数显然不同)；第二有没有有没有根（二次的看判别式），第三是有根是否为增根（在不在在不在定义根内；第四有根的确定谁大定谁大；第五看区间内导函数的正负号正负号（二次函数要看开口）确记要数形结合要数形结合，多数考题不会全部讨论点都要讨论的，题中往往有特别条件特别条件，不少讨论点会同时确定（即知一个就同时确定另一个）判别式与开口的讨论点先谁都可以，但从简单优先原则下可先根据判别式讨论，因为当导函数无根时它只有一种符号，相应原函数在定义域内（每个连续的区间）为单调函数较简单6导数的应用导数的应用含参函数的单调性讨论含参函数的单调性讨论班级班级 姓名姓名 1.已知函数，求的单调区间.()lnaf xxx()f x解：221+,axafxxxx函数的定义域为（0，），0fxxa 令得：000,(0,)000,0(,)aaffxaafffxa若即，则x在上单调递增；若即，则由x得x-a 由x得x0,故()f x在(0,)单调递增.若 01 1a,即12a时，由()0fx 得，；由()0fx 得，11ax 011xax或故()f x在(1,1)a单调递减，在(0,1),(1,)a单调递增.7若11a,即2a 时，由()0fx 得，；由()0fx 得，11xa011xxa或故()f x在(1,1)a单调递减，在(0,1),(1,)a单调递增.综上所述综上所述，当，()f x单调增区为,减区间是;1a),1()1,0(当12a时，()f x的减区间是(1,1)a，增区间是(0,1),(1,)a；当2a 时，()f x在定义域上递增，单调增区为(0,)（不存在减区间）;当2a 时，()f x的减区间是(1,1)a，在增区间是(0,1),(1,)a.3.已知函数,讨论函数的单调性.32()331,f xaxxxaR)(xf解：解：因为因为，所以所以32()331,f xaxxxaR/2()3(21)fxaxx (1)(1)当当时，时，0a/()3(21)fxx当当时，时，；当；当时，时，；1,2x /()0fx 1,2x /()0fx 所以函数所以函数在在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减；上单调递减；()f x1(,2 1,)2(2)(2)当当时，时，的图像开口向上，的图像开口向上，0a/2()3(21)fxaxx36(1)a I)I)当当时，时，所以函数，所以函数在在 R R 上递上递136(1)0,aa 时，/()0fx()f x增；增；II)II)当当时，方程时，方程的两个根分别为的两个根分别为 0136(1)0,aa 时，/()0fx 且且121111,aaxxaa 12,xx 所以函数所以函数在在，上单调递增，上单调递增，()f x11(,)aa 11(,)aa 在在上单调递减；上单调递减；1111(,)aaaa (3)(3)当当时，时，的图像开口向下，且的图像开口向下，且0a/2()3(21)fxaxx36(1)0a 方程方程的两个根分别为的两个根分别为且且/()0fx 121111,aaxxaa 12,xx8 所以函数所以函数在在，上单调递减，上单调递减，()f x11(,)aa 11(,)aa 在在上单调递增。上单调递增。1111(,)aaaa 综上所述，当综上所述，当时，所以函数时，所以函数在在上单调递增，上单调递增，0a()f x1111(,)aaaa 在在，上单调递减；上单调递减；11(,)aa 11(,)aa 当当时，时，在在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减；上单调递减；0a()f x1(,2 1,)2当当，所以函数，所以函数在在，上单调上单调01a 时()f x11(,)aa 11(,)aa 递增，递增，在在上单调递减；上单调递减；1111(,)aaaa 当当，函数，函数在在 R R 上递增；上递增；1a 时()f x4.已知函数1()ln1af xxaxx()aR.讨论()f x的单调性.解：解：因为的定义域为1()ln1af xxaxx),0(所以，222111()(0,)aaxxafxaxxxx 令 ，则同号2()1,(0,)h xaxxa x)()(xgxf与法一：根据熟知二次函数性质可知法一：根据熟知二次函数性质可知 g(x)g(x)的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论：9 当时，由于1，开口向下,结合其图象易知0a11 0a)(xh ，,此时，函数 单调递减；(0,1)x()0h x()0fx()f x时，此时，函数单调递增.(1,)x()0h x()0fx()f x当时，开口向上,但是否在定义域需要讨论：0a)(xh2x因所以10011aaa或i)当时，由于1，开口向上,结合其图象易知1a11 0a)(xh ，此时，函数单调递增.(0,1)x()0h x()0fx()f x时，,此时，函数 单调递减；(1,)x()0h x()0fx()f x ii)当时，g(x)开口向上且，但两根大小需要讨论：10 a),0(,21xx a)当时，恒成立，12a 12,()0 xx h x此时，函数 在上单调递减；()0fx()f x（0，+）b)当，g(x)开口向上且在（0，）有两根1101 1 02aa时，时，此时，函数单调递减；(0,1)x()0h x()0fx()f x 时，此时，函数 单调递增；1(1,1)xa()0h x()0fx()f x 时，此时，函数单调递1(1,)xa()0h x()0fx()f x减；10 c)当时，g(x)开口向上且在（0，）有两121 a1110a根 时，此时，函数单调递减；)11,0(ax()0h x()0fx()f x 时，此时，函数 单调递增；)1,11(ax()0h x()0fx()f x 时，此时，函数单调递减；),1(x()0h x()0fx()f x小结：小结：此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内，再讨论两根大小注，结合 g(x)的图象确定其在相应区间的符号，得出导函数符号。讨论要点与解含参不等式的讨论相应。法二：法二：10011aaa或i)当时，由于1，开口向下,结合其图象易知0a11 0a)(xh ，,此时，函数 单调递减；(0,1)x()0h x()0fx()f x时，此时，函数单调递增.(1,)x()0h x()0fx()f x ii)当时，由于0)212(1)2(1)1()2(1)2(1)aa xa xfxaa xaxx令,则与同号2()2(1)2(1)1g xaa xa x)(xf)(xg （1）当时，在定义域上为增函数1axxfxxfxgln)(,01)(,1)(),0(2)当时,1a224(1)8(1)121644(31)(1)aaaaaaa 12 当时，g(x)开口向上，图象在 x 轴上方，所以0113a0)(xg所以，则在上单调递增()0fx()f x(0,)当,此时令，解得0131aa或()0fx)1(21,)1(2121aaaxaaax由于，210)(100)1(2xxxgaaa开口向上且因此可进一步分类讨论如下：i)当时，1a 120)(0)1(2x，xxgaa开口向下，;0 x()0fx10 xx()0fx1xx 则在上单调递增，()f x1(31)(1)(0,)2(1)aaaaa在上单调递减1(31)(1)(,)2(1)aaaaa ii)当时，或;103a()0fx10 xx 2xx()0fx21xxx则在，上单()f x1(31)(1)(0,)2(1)aaaaa1(31)(1)(,)2(1)aaaaa调递增，在上单调递减1(31)(1)1(31)(1)(,)2(1)2(1)aaaaaaaaaa综上所述，f(x)的单调区间根据参数讨论情况如下表：a103a113a1a 1(0,)x12(,)x x2(,)x(0,)1(0,)x1(,)x 增A减A增A增A增A增A （其中12(1)(31)(1)(31)11,22(1)22(1)aaaaxxaaaaaa)136.已知函数()=(1+)-+(0)，求()的单调区间.fxlnxx212kxkfx解：，.(1,)x (1)()1x kxkfxx 12100,0kfxxxkk令得:（1）当时，.0k()1xfxx 所以，在区间上，；在区间上，.(1,0)()0fx(0,)()0fx 故的单调递增区间是，单调递减区间是.()f x(1,0)(0,)（2）当.2111kxk 即时，考虑到k0得，无解（3）当即时，故的单调递增区间是.21xx1k 2()01xfxx()f x(1,)（4）当即（）时，21xx01k0k 由()0fx 得，；由()0fx 得，10kxk110kxxk 或故的单调递增区间是和，单调递减区间是.()f x(1,0)1(,)kk1(0,)kk（5）当即（）时，21xx1k 0k 由()0fx 得，；由()0fx 得，10kxk110kxxk 或故的单调递增区间是和，单调递减区间是.()f x1(1,)kk(0,)1(,0)kk综上知:当时，得单调递增区间是，单调递减区间是；0k()f x(1,0)(0,)当时，的单调递增区间是；1k()f x(1,)当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是01k()f x(1,0)1(,)kk1(0,)kk 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是1k()f x1(1,)kk(0,)14.1(,0)kk