新北师大版-八年级数学上册-第四章一次函数知识点总结和典型例题分析.pdf

青岛恩思教育 星辰出品 必属精品 沈星辰新北师大版新北师大版 八年级数学上册八年级数学上册第四章第四章 一次函数一次函数一、函数一、函数1、函数的概念（重点）、函数的概念（重点）一般的，如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有一个唯一的xyxy值与它对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量。yxxy理解函数的关键四点：（1）有两个变量；（2）一个变量变化，另一个随之变化；（3）对于自变量每一个确定的值，函数x有且仅有一个值与之对应；（4）函数不是数，是过程中、的变量关系。yxy2、函数的三种表示方法（难点）、函数的三种表示方法（难点）（1）列表法（2）关系式法（3）图像法3、函数的值及自变量的取值范围（重点）、函数的值及自变量的取值范围（重点）（1）对于自变量在取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，称为自变量等于时的函aa数值。（2）使得函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围。确定自变量取值范围两点：一是必须使含有自变量的代数式有意义，二是必须满足实际问题的意义。二、一次函数与正比例函数二、一次函数与正比例函数1、一次函数的概念（重点）、一次函数的概念（重点）若两个变量、间的对应关系可以表示成（、为常数，）的形式，则成是的一xyykxbkb0k yx次函数。2、正比例函数的概念（重点）、正比例函数的概念（重点）对于一次函数（），当时，变为，这是把叫做的正比例函数。ykxb0k 0b ykxyx3、根据条件列一次函数的关系式（难点）、根据条件列一次函数的关系式（难点）认真分析，探究实际问题中的有关信息，再次基础上建立数学模型，从而解决问题。步骤：（1）认真分析，理解题意；（2）找出等量关系；青岛恩思教育 星辰出品 必属精品 沈星辰（3）写出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围，实际问题实际分析。三、一次函数的图像三、一次函数的图像1、函数的图像（重点）、函数的图像（重点）把一个函数的自变量的值和与之对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形就叫做函数的图象。注：一次函数的图像是一条直线，所以只需描出两个点即可画出图象。2、正比例函数、正比例函数的图像和性质（重点）的图像和性质（重点）,(0)ykx k（1）正比例函数的图像是经过、两点的直线。,(0)ykx k(0,0)(1,)k（2）当时，图象经过一三象限，且随的增大而增大；当时，图象经过二四象限，且随0k yx0k y的增大而减小。x3、一次函数图象的特点及性质（重点）、一次函数图象的特点及性质（重点）一次函数的图像和性质：,(0)ykxb kk 的符号b 的符号函数图像图像特征b0 xyo图像经过一、二、三象限，y 随x 的增大而增大。k0b0 xyo图像经过一、二、四象限，y 随x 的增大而减小K0b0 xyo图像经过二、三、四象限，y 随x 的增大而减小。注：当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。特点：一次函数的图像是一条直线，因此作函数图象时，只需要确定两个点，即可连接,(0)ykxb k两点做出函数图象，函数图象也成直线。ykxb性质：（1）图象经过点。当时，随增大而增大，当时，随增大而减小。(0,)b0k yx0k yx（2）当，时，图象经过一二三象限；当，时，图象经过一三四象限；当，0k 0b 0k 0b 0k 时，图象经过一二四象限；当，时，图象经过二三四象限；0b 0k 0b（3）两条直线位置关系：当相等，不等时，两直线平行；当相等，相等时，两直线重合；当不kbkbk等时，两直线相交；当不等，相等时，两直线相交于轴；kby四、一次函数的应用四、一次函数的应用1、确定正比例函数的表达式（重点）、确定正比例函数的表达式（重点）正比例函数只有一个待定系数，只需要除原点之外的任意一点的坐标，即可求出值，进ykxk(0,0)k青岛恩思教育 星辰出品 必属精品 沈星辰而求出函数表达式。注：一次函数的图像是一条直线，所以只需描出两个点即可画出图象。2、用待定系数法确定一次函数的表达式（难点）、用待定系数法确定一次函数的表达式（难点）一次函数有两个待定系数和，所以只需求出二者的值，即可求出函数表达式。,(0)ykxb kkb待定系数法：首先设函数；其次将两个已知点的坐标带人表达式，列出、的方程；最后求ykxbkb解方程。3、一次函数与一元一次方程的关系（重难点）、一次函数与一元一次方程的关系（重难点）（1）从“数”的方面看：一次函数函数值为某一数值时，自变量的值即为方程的解。ykxbx（2）从“形”的方面看：函数与轴的交点的横坐标即为方程的解。x0kxb4、利用图象信息解决实际问题（重难点）、利用图象信息解决实际问题（重难点）两方面分析图象：（1）根据函数图象可判断函数类型，注意特殊的点（2）从轴、轴的实际意义去理解函数图象上的点的坐标的实际意义xy类型一：正比例函数与一次函数定义类型一：正比例函数与一次函数定义1、当 m 为何值时，函数是一次函数？28(3)(4)mymxm举一反三：【变式 1】如果函数是正比例函数，那么（）.3(2)myxmAm=4 或 m=2 Bm=4 Cm=1 Dm=2【变式 2】已知 y-3 与 x 成正比例，且 x=2 时，y=7.（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=4 时，求 y 的值；（3）当 y=4 时，求 x 的值类型二：待定系数法求函数解析式类型二：待定系数法求函数解析式2、求图象经过点（2，-1），且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表达式举一反三：【变式 1】已知弹簧的长度 y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量 x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为 6cm，挂 4kg 的重物时，弹簧的长度是 7.2cm，求这个一次函数的表达式【变式 2】已知直线 y=2x+1（1）求已知直线与 y 轴交点 M 的坐标；青岛恩思教育 星辰出品 必属精品 沈星辰（2）若直线 y=kx+b 与已知直线关于 y 轴对称，求 k，b 的值【变式 3】判断三点 A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上类型三：函数图象的应用类型三：函数图象的应用3、图中的图象（折线 ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离 s(km)和行驶时间 t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)汽车共行驶了_km；(2)汽车在行驶途中停留了_h；(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为_km/h；(4)汽车自出发后 3h 至 4.5h 之间行驶的方向是_.举一反三：【变式 1】图中，射线 l 甲、l 乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程 s 与时间 t 的函数关系，求它们行进的速度关系。【变式 2】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点 A，再走下坡路到达点 B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是（）A.14 分钟 B.17 分钟 C.18 分钟 D.20 分钟【变式 3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y（升）与时间 x（分钟）之间的关系如图所示：根据图象解答下列问题：（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？青岛恩思教育 星辰出品 必属精品 沈星辰（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟 19 升.求排水时 y 与 x 之间的关系式；如果排水时间为 2 分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.类型四：一次函数的性质类型四：一次函数的性质4、己知一次函数 y=kx 十 b 的图象交 x 轴于点 A（一 6，0），交 y 轴于点 B，且AOB 的面积为 12，y 随x 的增大而增大，求 k，b 的值举一反三：【变式 1】已知关于 x 的一次函数2(3)218ym xm（1）m 为何值时，函数的图象经过原点？（2）m 为何值时，函数的图象经过点（0，2）？（3）m 为何值时，函数的图象和直线 y=x 平行？（4）m 为何值时，y 随 x 的增大而减小？【变式 2】函数在直角坐标系中的图象可能是（）ykxk类型五：一次函数综合类型五：一次函数综合5、已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1），C（-1，0），过点 C 的直线绕 C 旋转，交 y轴于点 D，交线段 AB 于点 E。（1）求OAB 的度数及直线 AB 的解析式；（2）若OCD 与BDE 的面积相等，求直线 CE 的解析式；若 y 轴上的一点 P 满足APE=45，请直接写出点 P 的坐标。青岛恩思教育 星辰出品 必属精品 沈星辰举一反三：【变式 1】在长方形 ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm，点 P 沿边按 ABCD 的方向向点 D 运动（但不与 A，D 两点重合）。求APD 的面积 y（cm2）与点 P 所行的路程 x（cm）之间的函数关系式及自变量的取值范围。【变式 2】如图，直线与 x 轴 y 轴分别交于点 E、F，点 E 的坐标为（-8，0），点 A 的坐标为6ykx（-6，0）。（1）求 k 的值；（2）若点 P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点 P 的运动过程中，试写出OPA 的面积 S与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）探究：在（2）的条件下，当点 P 运动到什么位置时，OPA 的面积为 27/8，并说明理由。