数值分析考试复习总结汇总.pdf

第一章第一章1误误差差 相相对误对误差和差和绝对误绝对误差得概念差得概念例例题题:当用数当用数值计值计算方法求解一个算方法求解一个实际实际的物理运的物理运动过动过程程时时,一般要一般要经历经历哪几个哪几个阶阶段段?在哪些在哪些阶阶段将有哪些段将有哪些误误差差产产生生?答答:实际问题实际问题-数学模型数学模型-数数值值方法方法-计计算算结结果果 在在这这个个过过程中存在一下几种程中存在一下几种误误差差:建立数学模型建立数学模型过过程中程中产产生生:模型模型误误差差 参数参数误误差差 选选用数用数值值方法方法产产生生:截断截断误误差差 计计算算过过程程产产生生:舍入舍入误误差差 传传播播误误差差6设关于精确数有 3 位有效数字，估计的相对误差.对于937.0axa，估计对于的误差和相对误差.xxf1)()(af)(xf解 的相对误差：由于a .,31021|)(|axxExaxxEr)(.（）221018110921)(xEr1Th 对于的误差和相对误差.)(af)(xf =|11|)(|axfE 25.021011321axxa310 .33104110|)(|afEr2 有效数字有效数字 基本原基本原则则:1 两个很接近的数字不做减法两个很接近的数字不做减法:2:不用很小得数做分母不用很小得数做分母(不用很大的数做分子不用很大的数做分子)例例题题:4改变下列表达式使计算结果比较精确：（1）;1|,11211xxxx对（2）;1,11xxxxx对（3）.1|,0,cos1xxxx对解 (1).(2).)21()1(22xxx)11(2xxxxx (3).xxxxxxxcos1sin)cos1(sincos12第二章第二章 拉格朗日拉格朗日插值公式（即公式（1）niiinxlyxp0)()(插插值值基函数（因子）基函数（因子）可简洁表示为 )()()()()()(0ininnijjjijixxxxxxxxxl其中:.nijjjiinnjjnxxxxxx00)(,)()(例例 1 n=1 时，线线性性插值公式 ，)()()()()(010110101xxxxyxxxxyxP例例 2 n=2 时，抛物抛物插值公式)()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxP牛牛顿顿（Newton）插值公式由差商的引入，知（1（过点的一次插一次插值值多多项项式式为10,xx)()()(0101xxcxfxp 其中 ,)()(1001011xxfxxxfxfc)(,)()(01001xxxxfxfxp（2（过点的二次插二次插值值多多项项式式为210,xxx)()()(10212xxxxcxpxp 其中 ,)()()()(21002010112122xxxfxxxxxfxfxxxfxfc)(,)()(1021012xxxxxxxfxpxp)(,)(,)(102100100 xxxxxxxfxxxxfxf重点是分段插重点是分段插值值:例例题题:1.利用 Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）ix-101/21if-3-1/201（2）ix-101/21if-3/2001/2 解(2)：方法一.由 Lagrange 插值公式 )()()()()(332211003xlfxlfxlfxlfxL 可得：)21()(23xxxL 方法二.令 )()21()(3BAxxxxL 由 ，定 A，B （称之为待定系数法）23)1(3L21)1(3L15.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，2)(xxf)(xf 1,0)(xfh取等距节点，且.10/1h解 ，2)(xxfihxi10,1,0i101h 设 ，则：1iixxx iiiiiiiihxxxxxfxxxxxfxf1111)()()(hihxhihhixhi22)1()1()(100)1(10)12(iixi 误差估计：.)1()(!2|)()(|max)1(hixihxfxfxfhixixh 第三章第三章最佳一致逼近:(了解)最佳平方逼近最佳平方逼近主要分两种情形：1.连续意义下在空间中讨论,2baL2.离散意义下在维欧氏空间中讨论，只要求提供的样本值 nnRf1.最佳逼近多项式的法方程法方程组组设的维子空间=span,2baL1nnP,12nxxx其中 是的线性无关多项式系.nxxx,12,2baL对，设其最佳逼近多项式可表示为:,2baLf*niiixa0*由 nPf ,0),(*nijiinjxxaf0*)1(0,0),(即 （*2）njijjinixfaxx0*)1(0),(),(其中bababaiijijijidxxxfxfdxxdxxxxx )(),(,),(称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）.由的线性无关性，可证明正定，即niix0G上述法方程组的解存在且唯一.11、求，的一次和二次最佳平方逼近多项式.xxfcos)(1,0 x 解：设 ，xaaxP10*1)(2210*2)(xbxbbxP 分别为的一次、二次最佳平方逼近多项式。)(xf 内积 10)()(),(dxxgxfgf 计算如下内积：,1)1,1(21),1(x31),1(2x ,31),(xx41),(2xx51),(22xx ,0),1(f22),(fx222),(fx 建立法方程组：(1)，得：，210102)31(21021aaaa2012a2124a 于是 xxP22*12412)(2)2210221021025141312413121031)21(bbbbbbbbb 解得：，,于是：.2012b2124b02bxxP2222412)(第四章第四章1 为为什么要什么要进进行数行数值积值积分分?常用哪些公式常用哪些公式,方法方法?答答:梯形复化求梯形复化求积积公式和公式和 simpson 复化求复化求积积公式公式.2:方法好坏的判断方法好坏的判断:代数精度代数精度误误差分析差分析 1.代数精度的概念代数精度的概念定定义义 若求积公式（*）对所有次数的多项式是niiibaxfwdxxf0)()(m精确的，但对 次多项式不精确，则称（*）具有次代数精度。1mm等价定等价定义义若求积公式（*）对是精确的，但对不精确，则（*）具mxxx,12 1mx有次代数精度。m3:误误差差1 等距剖分下的数值求积公式：公式特点特点：节点预预先先给给定定，均匀分布,系数待定待定niwi)1(0,利用插值多项式近似代替，即得插值型求积公式 Newton-Cotes 公式公式 )(xpn)(xf2 给定节点数数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：Gauss 求求积积公式公式 公式特点特点：系数和节点均待定均待定niwi)1(0,nixi)1(0,3 分段插值多项式近似代替（分段求积）复化求复化求积积公式公式)(xn)(xf复化求复化求积积公式公式通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值分而治之：分段低次求积公式-称为复化求复化求积积法法两类低次（）求积公式：4n1.NewtonCotes 型：矩形、梯形、Simpson、Cotes 公式分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2.Gauss 型：一点、两点、三点 Gauss 求积公式称为复化一点、两点、三点 Gauss 公式复化梯形公式（复化梯形公式（）nTnabhbfxfafhxfxfxfxfxfxfhTnkknnn ),()(2)(2 )()()()()()(21112110复化辛甫生公式复化辛甫生公式:（每个上用辛甫生公式求积）ke)()(2)(4)(6)()(4)()()(4)()()(4)(61111211021212321bfxfxfafhxfxfxfxfxfxfxfxfxfhSnkknkknnnn ，为的中点nabh其中2/1kxke复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。常采用其等价形式：bankkkxfxfbfafhdxxf1)(2)(4)()(6)(21复化柯特斯公式复化柯特斯公式 )(7)(32)(12)(32)(14)(790)(7)(32)(12)(32)(7)(7)(32)(12)(32)(7()(7)(32)(12)(32)(79011111112110412143412143472345432141bfxfxfxfxfafhxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfhCnkknkknkknkknnnnnn其中，为的中点，nabh21kx,1kkxx，为的四等分的分点41kx43kx,1kkxx自适自适应应复化求复化求积积法法计算时，要预先给定或步长，在实际中难以把握nh因为，取得太大则精度难以保证，太小则增加计算工作量.hh自适应复化梯形法的具有计算过程如下：步步 1 )()(2,11bfafhTabhn步步 2nkkxfT1)(21ThTT22112步步 3 判断？若是，则转步 5；|12TT步步 4 ，转步 2；21,2/,2TThhnn步步 5 输出 .2T第五章第五章1:常用方法常用方法:(1).直接解法：直接解法：逐步（逐步（顺顺序）消去法、序）消去法、Gauss主元素法、矩主元素法、矩阵阵分解法等；分解法等；Gauss(2).迭代解法：构造某种极限迭代解法：构造某种极限过过程去逐步逼近方程程去逐步逼近方程组组的解的解.经经典迭代法典迭代法迭代法、迭代法、迭代法、迭代法、JacobiSeidelGauss 逐次超松弛（逐次超松弛（SOR）迭代法等；）迭代法等；.Krolov 子空子空间间的迭代法的迭代法 根据根据的的对对称性，又分称性，又分为为：A 对对称正定称正定-共共轭轭梯度法梯度法A 非非对对称称-BICG、GMRes(最小残量法最小残量法)A.解一解一类类特定背景特定背景问题问题的迭代法的迭代法 多重网格法多重网格法 2:几几类类迭代法迭代法优优缺点比缺点比较较:3:迭代方法迭代方法目目标标：求解 其中，非奇异。bAx A基本思想基本思想：把线性方程组的解，化为一个迭代序列极限解bAx x关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。构造迭代格式基本步构造迭代格式基本步骤骤：1（将分裂：，其中，非奇异ACBA:B2（构造迭代格式 bAx CxbBx )()1(kkCxbBxgGxxkk)()1(其中，称之为迭代矩迭代矩阵阵,CBG1bBg1)()(1)()1(kkkAxbBxx其中，为的残余向量)(kAxb)(kx此时，bBgABIG11 ,常用的迭代方法常用的迭代方法将分裂为)(ijaA 其中ULDA),(2211nnaaadiagD，,00001,121nnnaaaL0000,1112nnnaaaU Jacobi 迭代方法迭代方法若，迭代格式0iia gxGxkJk)()1(其中 Jacobi 迭代矩阵：)(1ULDGJ bDg1式可写为分量形式 .（*1）011)()1(kxabaxnijjkjijiiiki ,方法（*1）或称为 Jacobi 迭代方法.GaussSeidle 迭代方法迭代方法若，迭代格式0iia gxGxkGk)()1(其中，Gauss-Seidel 迭代矩阵：ULDGG1)(bLDg1)(其分量形式 ,.（*2）11)(11)1()1(nijkjijijkjijiiikixaxabaxni,2,1即，在计算新分量时，利用新值，。)1(kix)1(kjx1,2,1ij迭代法（*2）或称为 GaussSeidel 迭代方法。超松弛方法超松弛方法(SOR)方法方法定义 SOR 方法的迭代格式如下：,111)()1()1(1ijnijkjijkjijiiikixaxabaz （*3）nixzxkikiki,2,1,)1()()1()1(称为松弛因子，即为方法.1SG 其矩阵形式 gxGxkk)()1(其中，SOR 法的迭代矩阵：)1()(1UDLDG .bLDg1)(第七章第七章1:解非解非线线性方程与方程性方程与方程组组的方法的方法:1.准确方法准确方法 如：用求根公式如：用求根公式对对次的代数多次的代数多项项式求根。式求根。4n但：但：绝绝大多数的方程并无准确方法可用。如：大多数的方程并无准确方法可用。如：次的代数多次的代数多项项式并式并5n无求根公式。无求根公式。2.数数值值方法（方法（实际实际中大多采用）中大多采用）基本思想：基本思想：设设法找到一个能收法找到一个能收敛敛到方程的解的序列。到方程的解的序列。(1).区间套法 二分法。(2).迭代法：.简单迭代法；.Newton 迭代法;.割线法;.加速算法。3 42:收收敛敛条件条件:二分法无条件二分法无条件 简单简单迭代法条件迭代法条件:定理定理 1 如果 满足以下条件:)(x 1),;,bax,)(bax 2)常数:,使得对任意两点,都有L10 L,2,1baxx ,2121)()(xxLxx 则:方程(*)在 上的解存在唯一,且对任给的初值,由迭代过程,ba0 x(*)所产生的序列收敛到.kx例例题题:2.为求方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形0123 xx5.10 x式，并建立相应的迭代公式：（1），迭代公式 2/11xx21/11nnxx（2），迭代公式，231xx3/121)1(nnxx（3），迭代公式，)1/(12xx2/11)1(1nnxx试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？解：取的邻域来考察5.10 x6.1,3.1 (1)，故迭代公式(1)收敛.2/11)(xx333.1/2/2)(xx1901.0 (2),312)1()(xx，)1(3/2)(3/22xxx3/22)3.11(3/6.125515.0 故迭代公式（2）也收敛。(3),2/1)1/(1)(xx)1(2/1)(2/3xx2/3)16.1(2/110758287.1 故迭代公式（3）发散.由于越小，越快地收敛于根，故（2）式收敛最快。)(0 x第八章第八章解一解一阶阶常微分方程的常用方法常微分方程的常用方法:Euler 方法方法 Runge-Kutta 方法方法2 阶阶常微分方程常微分方程边值问题边值问题的差分方法的差分方法1 三三类边值问题类边值问题 1）第一类边值问题：，（3.1）bxaxyxyxfxy),(),(,()(。(3.2)(,)(byay 2）第二类边值问题：，（3.3）bxaxyxyxfxy),(),(,()(。(3.4)(,)(byay 3）第三类边值问题：，（3.5）bxaxyxyxfxy),(),(,()(，(3.6)1010)()(,)()(bybyayay 其中，。0,0000,02（差分格式的建立差分格式的建立 针对方程（3.1）而言.Step 1 取取 的离散的离散节节点点:,ba ,第第 步步步步长长,一般可取等一般可取等 bxxxaN10m1mmmxxh 步步长长:,hhm.,2,1NmStep 2 将将 用二用二阶阶差商、差商、用一用一阶阶差商近似：差商近似：)(mxy)(mxy ，Nmhxyxyxyxymmmm,2,1,)()(2)()(211 .Nmhxyxyxymmm,2,1,2)()()(11 理由：由理由：由 Taylor 展开，有展开，有 )(!3)(!2)()()()(321mmmmmmxyhxyhxyhxyhxyxy 1)4(4),(!4mmmmxxyh)(!3)(!2)()()()(321mmmmmmxyhxyhxyhxyhxyxy mmmmxxyh111)4(4),(!4两式相加得两式相加得1,2,1),(12)()(2)()()4(2211 Nmyhhxyxyxyxymmmmm，其中，其中，.mmmxx1两式相减得两式相减得，1,2,1),(62)()()(211 Nmyhhxyxyxymmmm其中，其中，.mmmxx1 Step 3 略去略去 项项,并并记记 则则由方程由方程(3.1)有有:)(2hO),(mmxyy .1,2,1,0),2,(211211Nmhyyyxfhyyymmmmmmm （3.7）所以得到第一边值问题(3.1)-(3.2)的差分格式:(3.8).1,2,1,0),2,(211211Nmhyyyxfhyyymmmmmmm.(3.9)Nyy,0对第二边值条件(3.3),由于)(2)()()(),(2)()()(10010NNNNyhhxyxyxyyhhxyxyxy 其中，其中，,100 xxNNNxx1 已及已及 ),(2)()(4)(3)(22100hOhxyxyxyxy ),(2)()(4)(3)(221hOhxyxyxyxyNNNN所以所以可得到第二类边值问题(3.3)-(3.4)的差分格式:(3.1.1,2,1,0),2,(211211Nmhyyyxfhyyymmmmmmm0).(3.11),243210hyyyhyyyNNN24321类类似可得似可得第三类边值问题(3.5)-(3.6)的差分格式(略).