高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题.pdf

1直线与圆的方程直线与圆的方程一、直线的方程1、倾斜角：L ，范围 0，若轴或与轴重合时，=00。xl/x2、斜率：k=tan 与的关系：=0=0已知 L 上两点 P1（x1,y1）002 kP2（x2,y2）=不存在 2k=1212xxyy022当=时，=900，不存在。当时，=arctank，0 时，1x2x0=+arctank 3、截距（略）曲线过原点横纵截距都为 0。4、直线方程的几种形式已知方程说明几种特殊位置的直线斜截式K、bY=kx+b不含 y 轴和行平于 y 轴的直线x 轴：y=0点斜式P1=(x1,y1)ky-y1=k(x-x1)不含 y 轴和平行于 y 轴的直线y 轴：x=0两点式P1(x1,y1)P2(x2,y2)121121xxxxyyyy不含坐标辆和平行于坐标轴的直线平行于 x 轴：y=b截距式a、b1byax不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线平行于 y 轴：x=a过原点：y=kx一般式Ax+by+c=0A、B 不同时为0两个重要结论：平面内任何一条直线的方程都是关于 x、y 的二元一次方程。任何一个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线。5、直线系：（1）共点直线系方程：p0（x0,y0）为定值，k 为参数 y-y0=k（x-x0）特别：y=kx+b，表示过（0、b）的直线系（不含 y 轴）（2）平行直线系：y=kx+b，k 为定值，b 为参数。AX+BY+入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系BX-AY+入=0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系2（3）过 L1,L2交点的直线系 A1x+B1y+C1+入（A2X+B2Y+C2）=0（不含 L2）6、三点共线的判定：，KAB=KBC，ACBCAB写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。二、两直线的位置关系1、L1：y=k1x+b1L2：y=k2x+b2L1：A1X+B1Y+C1=0L2：A2X+B2Y+C2=0L1与 L2组成的方程组平行K1=k2且 b1b2212121CCBBAA无解重合K1=k2且 b1=b2212121CCBBAA有无数多解相交K1k22121BBAA有唯一解垂直K1k2=-1A1A2+B1B2=0（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）2、L1 到 L2的角为 0，则（）12121tankkkk121kk3、夹角：12121tankkkk4、点到直线距离：（已知点（p0(x0,y0)，L：AX+BY+C=0）2200BAcByAxd两行平线间距离：L1=AX+BY+C1=0 L2：AX+BY+C2=02221BAccd与 AX+BY+C=0 平行且距离为 d 的直线方程为 Ax+By+C022 BAd与 AX+BY+C1=0 和 AX+BY+C2=0 平行且距离相等的直线方程是0221CCBYAX5、对称：（1）点关于点对称：p(x1,y1)关于 M（x0,y0）的对称)2,2(1010YYXXP（2）点关于线的对称：设 p(a、b)对称轴对称点p对称轴对称点pX 轴)(bap、Y=-x)(abp、3Y 轴)(bap、X=m(m0)2(bamp、y=x)(abp、y=n(n0)2(bnap、一般方法：如图：(思路 1)设 P 点关于 L 的对称点为 P0(x0,y0)则 Kpp0KL=1P,P0中点满足 L 方程 解出 P0(x0,y0)（思路 2）写出过 PL 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P0(x0,y0)的坐标。PyL P0 x（3）直线关于点对称L：AX+BY+C=0 关于点 P（X0、Y0）的对称直线：A（2X0-X）+B（2Y0-Y）+C=0l（4）直线关于直线对称几种特殊位置的对称：已知曲线 f(x、y)=0关于 x 轴对称曲线是 f(x、-y)=0 关于 y=x 对称曲线是 f(y、x)=0关于 y 轴对称曲线是 f(-x、y)=0 关于 y=-x 对称曲线是 f(-y、-x)=0关于原点对称曲线是 f(-x、-y)=0 关于 x=a 对称曲线是 f(2a-x、y)=0关于 y=b 对称曲线是 f(x、2b-y)=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。三、简单的线性规划 L Y 不等式表示的区域 O X AX+BY+C=0约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。要点：作图必须准确（建议稍画大一点）。线性约束条件必须考虑完整。先找可行域再找最优解。四、圆的方程1、圆的方程：标准方程，c（a、b）为圆心，r 为半径。22)(rbyax一般方程：，022FEYDXyx4，2,2EDC2422FEDr当时，表示一个点。0422FED当时，不表示任何图形。0422FED参数方程：cosrax 为参数sinrby以 A（X1，Y1），B（X2，Y2）为直径的两端点的圆的方程是（X-X1）（X-X2）+（Y-Y1）（Y-Y2）=02、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离 d，然后与 r 比较大小。3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离判定：联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：0相交、0相切、0相离利用圆心 c(a、b)到直线 AX+BY+C=0 的距离 d 来确定：dr相交、dr相切 dr相离（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的 kt）4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程与圆相切于点（x1、y1）的切线方程是222ryx211ryyxx与圆相切于点（x1、y1）的切成方程222)()(rbyax为：211)()(rbybyaxax与圆相切于点（x1、y1）的切线是022FEYDXyx0)2()2(1111FyyExxDyyxx（2）过圆外一点切线方程的求法：已知：p0(x0，y0)是圆 外一点222)()(rbyax 22121)()(rbyax 设切点是 p1(x1、y1)解方程组 221010)()(rbybyaxax先求出 p1的坐标，再写切线的方程设切线是即)(00 xxkyy000ykxykx再由，求出 k，再写出方程。rkykxbka12005（当 k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于 x 轴的切线）已知斜率的切线方程：设（b 待定），利用圆心到 L 距离为 r，确定bkxyb。5、圆与圆的位置关系由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切）6、圆系同心圆系：，（a、b 为常数，r 为参数）222)()(rbyax或：（D、E 为常数，F 为参数）022FEYDXyx圆心在 x 轴：222)(ryax圆心在 y 轴：222)(rbyx过原点的圆系方程2222)()(babyax过两圆和0:111221FYEXDyxC的交点的圆系方程为0:222222FYEXDyxC（不含 C2），其中0(2222211122FYEXDyxFYEXDyx入入为参数若 C1与 C2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。类型一：圆的方程类型一：圆的方程例例 1 求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系分析：分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax圆心在0y上，故0b圆的方程为222)(ryax又该圆过)4,1(A、)2,3(B两点622224)3(16)1(rara解之得：1a，202r所以所求圆的方程为20)1(22yx解法二：解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为13124ABk，故l的斜率为 1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23xy即01 yx又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C半径204)11(22 ACr故所求圆的方程为20)1(22yx又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254)12(22点P在圆外说明：说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例例 2 求半径为 4，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程分析：分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxC：圆C与直线0y相切，且半径为 4，则圆心C的坐标为)4,(1aC或)4,(2aC又已知圆042422yxyx的圆心A的坐标为)1,2(，半径为 3若两圆相切，则734CA或134CA(1)当)4,(1aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故可得1022a7所求圆方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx(2)当)4,(2aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故622a所求圆的方程为2224)4()622(yx，或2224)4()622(yx说明：说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0y相切且半径为 4，则圆心坐标为)4,(aC，且方程形如2224)4()(yax又圆042422yxyx，即2223)1()2(yx，其圆心为)1,2(A，半径为 3若两圆相切，则34CA故2227)14()2(a，解之得1022a所以欲求圆的方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx上述误解只考虑了圆心在直线0y上方的情形，而疏漏了圆心在直线0y下方的情形另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的例例 3 求经过点)5,0(A，且与直线02 yx和02 yx都相切的圆的方程分析：分析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解：解：圆和直线02 yx与02 yx相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02 yx和02 yx的距离相等5252yxyx两直线交角的平分线方程是03 yx或03 yx又圆过点)5,0(A，圆心C只能在直线03 yx上8设圆心)3,(ttCC到直线02 yx的距离等于AC，22)53(532tttt化简整理得0562 tt解得：1t或5t圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55所求圆的方程为5)3()1(22yx或125)15()5(22yx说明：说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例例 4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为 2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02 yxl：的距离最小的圆的方程分析：分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程解法一：解法一：设圆心为),(baP，半径为r则P到x轴、y轴的距离分别为b和a由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为r2222br 又圆截y轴所得弦长为 2122 ar又),(baP到直线02 yx的距离为52bad2225badabba44229)(242222baba1222ab当且仅当ba 时取“=”号，此时55mind这时有1222abba11ba或11ba又2222 br故所求圆的方程为2)1()1(22yx或2)1()1(22yx解法二：解法二：同解法一，得52baddba522225544dbdba将1222 ba代入上式得：01554222dbdb上述方程有实根，故0)15(82d，55d将55d代入方程得1b又1222 ab1a由12 ba知a、b同号故所求圆的方程为2)1()1(22yx或2)1()1(22yx10说明：说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例例 5已知圆422 yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线解：解：点42，P不在圆O上，切线PT的直线方程可设为42 xky根据rd 21422kk解得 43k所以 4243xy即 01043 yx因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为2x说明：说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（也要注意漏解）还可以运用200ryyxx，求出切点坐标0 x、0y的值来解决，此时没有漏解例例 6 两圆0111221FyExDyxC：与0222222FyExDyxC：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程分析：分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧解：解：设两圆1C、2C的任一交点坐标为),(00yx，则有：0101012020FyExDyx0202022020FyExDyx得：0)()(21021021FFyEExDDA、B的坐标满足方程0)()(212121FFyEExDD方程0)()(212121FFyEExDD是过A、B两点的直线方程又过A、B两点的直线是唯一的两圆1C、2C的公共弦AB所在直线的方程为0)()(212121FFyEExDD11说明：说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛例例 7、过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点分别是、122 yx)3,2(MMAMBA，求直线的方程。BAB练习：1求过点，且与圆相切的直线 的方程(3,1)M22(1)4xyl解：设切线方程为，即，1(3)yk x 310kxyk 圆心到切线 的距离等于半径，(1,0)l2，解得，22|31|21kkk 34k 切线方程为，即，31(3)4yx 34130 xy当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，M3x(1,0)2故直线也适合题意。3x 所以，所求的直线 的方程是或l34130 xy3x 2、过坐标原点且与圆相切的直线的方程为 0252422yxyx解：设直线方程为，即.圆方程可化为，圆kxy 0 ykx25)1()2(22yx心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，直线方2102101122kk3k31k程为或.xy3xy313、已知直线与圆相切，则的值为 .0125ayx0222yxxa解：圆的圆心为（1，0），半径为 1，解得或1)1(22yx1125522 a8a.18a类型三：弦长、弧问题类型三：弦长、弧问题例例 8、求直线被圆截得的弦的长.063:yxl042:22yxyxCAB例例 9、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 0323 yx422 yx12解：依题意得，弦心距，故弦长，从而OAB 是等边三角3d2222drAB形，故截得的劣弧所对的圆心角为.3AOB例例 10、求两圆和的公共弦长0222yxyx522 yx类型四：直线与圆的位置关系类型四：直线与圆的位置关系例例 11、已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.0323 yx422 yx例例 12、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.mxy24xym解：曲线表示半圆，利用数形结合法，可得实数24xy)0(422yyx的取值范围是或.m22m22m例例 13 圆9)3()3(22yx上到直线01143 yx的距离为 1 的点有几个？分析：分析：借助图形直观求解或先求出直线1l、2l的方程，从代数计算中寻找解答解法一：解法一：圆9)3()3(22yx的圆心为)3,3(1O，半径3r设圆心1O到直线01143 yx的距离为d，则324311343322d如图，在圆心1O同侧，与直线01143 yx平行且距离为 1 的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意又123dr与直线01143 yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有 3 个解法二：解法二：符合题意的点是平行于直线01143 yx，且与之距离为 1 的直线和圆的交点设所求直线为043myx，则1431122md，13511m，即6m，或16m，也即06431 yxl：，或016432 yxl：设圆9)3()3(221yxO：的圆心到直线1l、2l的距离为1d、2d，则34363433221d，143163433222d1l与1O相切，与圆1O有一个公共点；2l与圆1O相交，与圆1O有两个公共点即符合题意的点共 3 个说明：说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d圆1O到01143yx距离为 1 的点有两个显然，上述误解中的d是圆心到直线01143yx的距离，rd，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断练习 1：直线与圆没有公共点，则的取值范围是 1 yx)0(0222aayyxa解：依题意有，解得.，.aa211212a0a120 a练习 2：若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范2 kxy1)3()2(22yxk围是 .解：依题意有，解得，的取值范围是.11122kk340 kk)34,0(练习 3、圆034222yxyx上到直线01 yx的距离为2的点共有（）（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个分析：分析：把034222yxyx化为82122yx，圆心为21 ，半径为22r，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选 C14练习 4、过点43 ，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆42122yxC：有公共点，如图所示分析：分析：观察动画演示，分析思路解：解：设直线l的方程为34xky即043kykx根据rd 有214322kkk整理得0432 kk解得340 k类型五：圆与圆的位置关系类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例例 14、判断圆与圆的位置02662:221yxyxC0424:222yxyxC关系，例例 15：圆和圆的公切线共有 条。0222xyx0422yyx解：圆的圆心为，半径，圆的圆心为1)1(22yx)0,1(1O11r4)2(22 yx，半径，.)2,0(2O22r1,3,5122121rrrrOO，两圆相交.共有 2 条公切线。212112rrOOrr练习1：若圆与圆相切，则实042222mmxyx08442222mmyxyx数的取值集合是 .m解：圆的圆心为，半径，圆4)(22ymx)0,(1mO21rPEOyx15的圆心为，半径，且两圆相切，9)2()1(22myx)2,1(2mO32r或，或，2121rrOO1221rrOO5)2()1(22mm1)2()1(22mm解得或，或或，实数的取值集合是.512m2m0m25mm2,0,25,5122：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.522 yx)2,1(P52解：设所求圆的圆心为，则所求圆的方程为.两圆外切),(1baO20)()(22byax于点，所求圆的方程为P131OOOP),(31)2,1(ba6,3ba.20)6()3(22yx类型六：圆中的对称问题类型六：圆中的对称问题例例 16、圆关于直线对称的圆的方程是 222690 xyxy250 xy例例 17自点33，A发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆074422yxyxC：相切（1）求光线l和反射光线所在的直线方程（2）光线自A到切点所经过的路程分析、略解：分析、略解：观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为33 ，其次设过A的圆C的切线方程为33 xky根据rd，即求出圆C的切线的斜率为34k或43k进一步求出反射光线所在的直线的方程为0334 yx或0343 yx最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为0334 yx或0343 yx光路的距离为MA，可由勾股定理求得7222CMCAMA说明：说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解类型七：圆中的最值问题类型七：圆中的最值问题G OBNMyAx图3CA16例例 18：圆上的点到直线的最大距离与最小距离0104422yxyx014 yx的差是 解：圆的圆心为（2，2），半径，圆心到直线的距离18)2()2(22yx23r，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是rd25210.262)()(rrdrd例例 19(1)已知圆1)4()3(221yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求22yxd的最大、最小值(2)已知圆1)2(222yxO：，),(yxP为圆上任一点求12xy的最大、最小值，求yx2的最大、最小值分析：分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：解：(1)(法 1)由圆的标准方程1)4()3(22yx可设圆的参数方程为,sin4,cos3yx（是参数）则2222sinsin816coscos69yxd)cos(1026sin8cos626（其中34tan）所以361026maxd，161026mind(法 2)圆上点到原点距离的最大值1d等于圆心到原点的距离1d加上半径 1，圆上点到原点距离的最小值2d等于圆心到原点的距离1d减去半径 1所以6143221d4143222d所以36maxd16mind(2)(法 1)由1)2(22yx得圆的参数方程：,sin,cos2yx是参数17则3cos2sin12xy令t3cos2sin，得tt32cossin，tt32)sin(121)sin(1322tt433433t所以433maxt，433mint即12xy的最大值为433，最小值为433此时)cos(52sin2cos22 yx所以yx2的最大值为52，最小值为52(法 2)设kxy12，则02 kykx由于),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值由11222kkkd，得433k所以12xy的最大值为433，最小值为433令tyx2，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值由152md，得52m所以yx2的最大值为52，最小值为52例例 20：已知，点在圆上运动，则)0,2(A)0,2(BP4)4()3(22yx18的最小值是 .22PBPA解：设，则),(yxP.设圆心为，828)(2)2()2(222222222OPyxyxyxPBPA)4,3(C则，的最小值为.325minrOCOP22PBPA268322练习：1：已知点在圆上运动.),(yxP1)1(22 yx（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.21xyyx 2解：（1）设，则表示点与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切kxy21k),(yxP时，取得最大值与最小值.由，解得，的最大值为，k1122kk33k21xy33最小值为.33（2）设，则表示直线在轴上的截距.当该直线与圆相切时，myx2mmyx2y取得最大值与最小值.由，解得，的最大值为，m151 m51myx 251最小值为.512 设点),(yxP是圆122 yx是任一点，求12xyu的取值范围分析一：分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y，转化为三角问题来解决解法一：解法一：设圆122 yx上任一点)sin,(cosP则有cosx，siny)2,01cos2sinu，2sincosuu)2(sincosuu即2)sin(12uu（utan）191)2()sin(2uu又1)sin(1122uu解之得：43u分析二：分析二：12xyu的几何意义是过圆122 yx上一动点和定点)2,1(的连线的斜率，利用此直线与圆122 yx有公共点，可确定出u的取值范围解法二：解法二：由12xyu得：)1(2xuy，此直线与圆122 yx有公共点，故点)0,0(到直线的距离1d1122uu解得：43u另外，直线)1(2xuy与圆122 yx的公共点还可以这样来处理：由1)1(222yxxuy消去y后得：0)34()42()1(2222uuxuuxu，此方程有实根，故0)34)(1(4)42(2222uuuuu，解之得：43u说明：说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便3、已知点，点在圆上运动，求)2,4(),6,2(),2,2(CBAP422 yx的最大值和最小值.222PCPBPA类型八：轨迹问题类型八：轨迹问题例例 21、基础训练：已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨M)0,0(O)0,3(A21M迹方程.20例例 22、已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，ABBA4)1(22yx求线段的中点的轨迹方程.ABM例例 23 如图所示，已知圆422 yxO：与y轴的正方向交于A点，点B在直线2y上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求ABC垂心H的轨迹分析：分析：按常规求轨迹的方法，设),(yxH，找yx,的关系非常难由于H点随B，C点运动而运动，可考虑H，B，C三点坐标之间的关系解：解：设),(yxH，),(yxC，连结AH，CH，则BCAH，ABCH，BC是切线BCOC，所以AHOC/，OACH/，OCOA，所以四边形AOCH是菱形所以2 OACH，得.,2xxyy又),(yxC满足422 yx，所以)0(4)2(22xyx即是所求轨迹方程说明：说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识采取代入法求轨迹方程做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法类型九：圆的综合应用类型九：圆的综合应用例例 24、已知圆0622myxyx与直线032 yx相交于P、Q两点，O为原点，且OQOP，求实数m的值21分析：分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解解法一：解法一：如图，在矩形APBQ中，连结AB，PQ交于M，显然ABOM，PQAB，在直角三角形AOM中，若设),(yxQ，则)2,2(byaxM由222OAAMOM，即22222)()(41)2()2(rbyaxbyax，也即)(222222baryx，这便是Q的轨迹方程解法二：解法二：设),(yxQ、),(11yxA、),(22yxB，则22121ryx，22222ryx又22ABPQ，即)(22)()()()(2121222122122yyxxryyxxbyax又AB与PQ的中点重合，故21xxax，21yyby，即)(22)()(2121222yyxxrbyax，有)(222222baryx这就是所求的轨迹方程解法三：解法三：设)sin,cos(rrA、)sin,cos(rrB、),(yxQ，由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有coscosrrax，sinsinrrby，又由PBPA 有1cossincossinarbrarbr22联立、消去、，即可得Q点的轨迹方程为)(222222baryx说明：说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中本题给出三种解法其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法解法二涉及到了1x、2x、1y、2y四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆222ryx的参数方程，只涉及到两个参数、，故只需列出三个方程便可上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解练习：1、由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，P122 yxPAPBABAPB则动点的轨迹方程是 .P解：设.=600，=300.，),(yxPAPBOPAAPOA 22OAOP，化简得，动点的轨迹方程是.222 yx422 yxP422 yx练习巩固：设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的)0)(0,(),0,(ccBcAPAB比为定值，求点的轨迹.)0(aaP解：设动点的坐标为.由，得，P),(yxP)0(aaPBPAaycxycx2222)()(化简得.0)1()1(2)1()1(2222222acxacyaxa当时，化简得，整理得；1a01)1(222222cxaacyx222222)12()11(aacycaax当时，化简得.1a0 x所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；1aP)0,11(22caa122aac当时，点的轨迹是轴.1aPy2、已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围)0,2(A)0,1(BPPBPA2P23的面积等于 解：设点的坐标是.由，得，化简得P),(yxPBPA22222)1(2)2(yxyx，点的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆，所求面积为.4)2(22yxP44、已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且)0,3(BA122 yxMAB，问点的轨迹是什么？MBAM31M解：设.，),(),(11yxAyxMMBAM31),3(31),(11yxyyxx，.点在圆上运动，yyyxxx31)3(3111yyxx3413411A122 yx，即，点的轨迹方程12121 yx1)34()134(22yx169)43(22yxM是.169)43(22yx例 5、已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，)0,3(BA122 yxAOBABM则点的轨迹方程是 .M解：设.是的平分线，),(),(11yxAyxMOMAOB31OBOAMBAM.由变式 1 可得点的轨迹方程是.MBAM31M169)43(22yx练习巩固：已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边1 kxy422 yxABOAOB作平行四边形，求点的轨迹方程.OAPBP解：设，的中点为.是平行四边形，是的中点，点),(yxPABMOAPBMOP的坐标为，且.直线经过定点，M)2,2(yxABOM 1 kxy)1,0(C，化简得CMOM 0)12(2)2()12,2()2,2(2yyxyxyxCMOM24.点的轨迹方程是.1)1(22 yxP1)1(22 yx类型九：圆的综合应用例例 25、已知圆0622myxyx与直线032 yx相交于P、Q两点，O为原点，且OQOP，求实数m的值分析：分析：设P、Q两点的坐标为),(11yx、),(22yx，则由1OQOPkk，可得02121yyxx，再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为xy，由直线l与圆的方程构造以xy为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出OQOPkk的值，从而使问题得以解决解法一：解法一：设点P、Q的坐标为),(11yx、),(22yx一方面，由OQOP，得1OQOPkk，即12211xyxy，也即：02121yyxx另一方面，),(11yx、),(22yx是方程组0603222myxyxyx的实数解，即1x、2x是方程02741052mxx的两个根221 xx，527421mxx又P、Q在直线032 yx上，)(3941)3(21)3(2121212121xxxxxxyy将代入，得51221myy将、代入，解得3m，代入方程，检验0成立，3m解法二：解法二：由直线方程可得yx23，代入圆的方程0622myxyx，有0)2(9)6)(2(31222yxmyxyxyx，整理，得0)274()3(4)12(22ymxymxm由于0 x，故可得25012)3(4)(274(2mxymxymOPk，OQk是上述方程两根故1OQOPkk得127412mm，解得3m经检验可知3m为所求 说明：说明：求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于xy的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感例例 26、已知对于圆1)1(22 yx上任一点),(yxP，不等式0myx恒成立，求实数m的取值范围分析一：分析一：为了使不等式0myx恒成立，即使myx恒成立，只须使myxmin)(就行了因此只要求出yx的最小值，m的范围就可求得解法一：解法一：令yxu，由1)1(22yxuyx得：0)1(2222uyuy0且228)1(4uu，0)12(42uu即0)122 uu，2121u，21minu，即21)(min yx又0myx恒成立即myx恒成立myx21)(min成立，12 m26分析二：分析二：设圆上一点)sin1,(cosP因为这时P点坐标满足方程1)1(22 yx问题转化为利用三解问题来解解法二：解法二：设圆1)1(22 yx上任一点)sin1,(cosP)2,0cosx，sin1y0myx恒成立0sin1cosm即)sincos1(m恒成立只须m不小于)sincos1(的最大值设1)4sin(21)cos(sinu12maxu即12 m说明：说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法一般地，把圆222)()(rbyax上的点设为)sin,cos(rbra()2,0)采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换例例 27 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的 3 倍已知A、B两地距离为10 公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点分析：分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法解：解：以A、B所确定的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系10AB，)0,5(A，)0,5(B设某地P的坐标为),(yx，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为27a3元/公里，B地的运费为a元/公里因为P地居民购货总费用满足条件：价格A地运费价格B地的运费即：2222)5()5(3yxayxa0a，2222)5()5(3yxyx化简整理得：222)415()425(yx以点)0,425(为圆心415为半径的圆是两地购货的分界线圆内的居民从A地购货便宜，圆外的居民从B地购货便宜，圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等因此可随意从A、B两地之一购货说明：说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型