线性代数公式大全.pdf

01.行列式共有 个元素，展开后有 项项，可分解为 行列式；n2n!n2n2.代数余子式的性质：、和 的大小无关；ijAija、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；A3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM 4.设 行列式：nD将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；D1D(1)21(1)n nDD 将 顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；D902D(1)22(1)n nDD 将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；D3D3DD将 主副角线翻转后，所得行列式为，则；D4D4DD5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积；(1)2(1)n n、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积；(1)2(1)n n、拉普拉斯展开式：、AOACA BCBOB(1)m nCAOAA BBOBC:、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于 阶行列式，恒有：，其中 为 阶主nA1(1)nnkn kkkEASkSk子式；17.证明的方法：0A、；AA、反证法；、构造齐次方程组，证明其有非零解；0Ax、利用秩，证明；()r An、证明 0 是其特征值；2、矩阵1.是 阶可逆矩阵：An（是非奇异矩阵）；0A（是满秩矩阵）()r An的行（列）向量组线性无关；A齐次方程组有非零解；0Ax，总有唯一解；nbR Axb与 等价；AE可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为 0；A是正定矩阵；TA A的行（列）向量组是的一组基；AnR是中某两组基的过渡矩阵；AnR2.对于 阶矩阵：无条件恒无条件恒成立；nA*AAA AA E3.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABB A4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：AB若，则：12sAAAA2、；12sAA AA、；111121sAAAA、；（主对角分块）111AOAOOBOB、；（副对角分块）111OAOBBOAO、；（拉普拉斯）11111ACAA CBOBOB、；（拉普拉斯）11111AOAOCBB CAB3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是mnA唯一确定的：；rm nEOFOO等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等A价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，若；AB()()r Ar BAB:2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若，则 可逆，且；(,)(,)rA EE X:A1XA、对矩阵做初等行变化，当 变为 时，就变成，(,)A BAEB1A B即：；1(,)(,)cA BE A B、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程，如果nnAxb，则 可逆，且；(,)(,)rA bE x:A1xA b34.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、，左乘矩阵，乘 的各行元素；右乘，12n AiA乘 的各列元素；iA、对调两行或两列，符号，且，例如：(,)E i j1(,)(,)E i jE i j；1111111、倍乘某行或某列，符号，且，例如：()E i k11()()E i kE ik；1111(0)11kkk、倍加某行或某列，符号,且，如：()E ij k1()()E ij kE ijk；11111(0)11kkk5.矩阵秩的基本性质：、；0()min(,)m nr Am n、；()()Tr Ar A、若，则；AB:()()r Ar B、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响可逆矩阵不影响PQ()()()()r Ar PAr AQr PAQ矩阵的秩矩阵的秩）、；（）max(),()(,)()()r A r Br A Br Ar B、；（）()()()r ABr Ar B、；（）()min(),()r ABr A r B、如果 是矩阵，是矩阵，且，则：（）AmnBns0AB、的列列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的B0AX 4结论）；、()()r Ar Bn、若、均为 阶方阵，则；ABn()()()r ABr Ar Bn6.三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）列矩阵（向量）行矩阵行矩阵（向量）（向量）的形式，再采用结合律；、型如的矩阵：利用二项展开式；101001acb二项展开式：；01111110()nnnnmn mmnnnnmmn mnnnnnnmabC aC abC abCa bC bC a b注：、展开后有项；()nab1n、0(1)(1)!11 2 3!()!:mnnnnn nnmnCCCmm nm、组合的性质：；11110 2nmn mmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：；*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An、伴随矩阵的特征值：；*1*(,)AAAXX AA AA XX、*1AA A1*nAA8.关于 矩阵秩的描述：A、，中有 阶子式不为 0，阶子式全部为 0；（两()r AnAn1n句话）、，中有 阶子式全部为 0；()r AnAn、，中有 阶子式不为 0；()r AnAn9.线性方程组：，其中 为矩阵，则：AxbAmn、与方程的个数相同，即方程组有 个方程；mAxbm5、与方程组得未知数个数相同，方程组为 元方程；nAxbn10.线性方程组的求解：Axb、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用初等行变换只能使用初等行变换）；B、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程：nmn、；11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xa xaxbaxaxaxb、（向量方程，为矩阵，个1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxbAmnm方程，个未知数）n、（全部按列分块，其中）；1212nnxxaaax 12nbbb、（线性表出）1122nna xa xa x、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）()(,)r Ar An n4、向量组的线性相关性1.个 维列向量所组成的向量组：构成矩阵mnA12,m n m；12(,)mA 个 维行向量所组成的向量组：构成矩阵；mnB12,TTTm mn12TTTmB 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次0Ax线性方程组）6、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）Axb、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）AXB3.矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组m nAl nB和同解；(例 14)0Ax 0Bx 101P4.；(例 15)()()Tr A Ar A101P5.维向量线性相关的几何意义：n、线性相关；0、线性相关坐标成比例或共线（平行）；,、线性相关共面；,6.线性相关与无关的两套定理：若线性相关，则必线性相关；12,s 121,ss 若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加12,s 121,s 加减减，二者为对偶）若 维向量组 的每个向量上添上个分量，构成 维向量组：rAnrnB若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线ABBA性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且ArBs线性无关，则(二版定理定理 7)；Ars74P向量组 能由向量组 线性表示，则；（定理定理 3）AB()()r Ar B86P向量组 能由向量组 线性表示AB有解；AXB（定理定理 2）()(,)r Ar A B85P向量组 能由向量组 等价（定理定理 2 推论推论）AB()()(,)r Ar Br A B85P8.方阵 可逆存在有限个初等矩阵，使；A12,lP PP12lAPPP、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同rABPABP0Ax0Bx 解7、矩阵列等价：（右乘，可逆）；cABAQBQ、矩阵等价：（、可逆）；ABPAQBPQ9.对于矩阵与：m nAl nB、若 与 行等价，则 与 的行秩相等；ABAB、若 与 行等价，则与同解，且 与 的任何对应AB0Ax 0Bx AB的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵 的行秩等于列秩；A10.若，则：m ss nm nABC、的列向量组能由 的列向量组线性表示，为系数矩阵；CAB、的行向量组能由 的行向量组线性表示，为系数矩阵；CBTA（转置）11.齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作考试中可以直接作0Bx 0ABx 为定理使用，而无需证明为定理使用，而无需证明；、只有零解只有零解；0ABx 0Bx、有非零解一定存在非零解；0Bx 0ABx12.设向量组可由向量组线性表示为：12:,n rrBb bb12:,n ssAa aa（题题 19 结论结论）110P（）1212(,)(,)rsb bba aaKBAK其中 为，且 线性无关，则 组线性无关；（与与KsrAB()r KrB的列向量组具有相同线性相关性的列向量组具有相同线性相关性）K（必要性：；充分性：反证法）()()(),(),()rr Br AKr Kr Krr Kr注：当时，为方阵，可当作定理使用；rsK13.、对矩阵，存在，、的列向量线性m nAn mQmAQE()r AmQ无关；（）87P、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；m nAn mPnPAE()r AnP14.线性相关12,s 存在一组不全为 0 的数，使得成立；12,sk kk11220sskkk （定义）8有非零解，即有非零解；1212(,)0ssxxx 0Ax，系数矩阵的秩小于未知数的个数；12(,)srs 15.设的矩阵 的秩为，则 元齐次线性方程组的解集mnArn0Ax 的秩为：；S()r Snr16.若 为的一个解，为的一个基础解系，则*Axb12,n r 0Ax 线性无关；（题题 33 结论结论）*12,n r 111P5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵或（定义），性质：TA AE1TAA、的列向量都是单位向量，且两两正交，即A；1(,1,2,)0Tijija ai jnij、若 为正交矩阵，则也为正交阵，且；A1TAA1A 、若、正交阵，则也是正交阵；ABAB注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化施密特正交化和单位化单位化；2.施密特正交化：12(,)ra aa；11ba1222111,b ababb b:;121121112211,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb:3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.、与 等价经过初等变换得到；ABAB，、可逆；PAQBPQ，、同型；()()r Ar BAB、与 合同，其中可逆；ABTC ACB与有相同的正、负惯性指数；Tx AxTx Bx、与 相似；AB1PAPB5.相似一定合同、合同未必相似；若 为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件CTC ACBAB:9不同，相似的更严格）；6.为对称阵，则 为二次型矩阵；AA7.元二次型为正定：nTx Ax的正惯性指数为；An与 合同，即存在可逆矩阵，使；AECTC ACE的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于 0；A；(必要条件必要条件)0,0iiaA