高一函数主要知识点和解决方法及典型例题.pdf

高一函数主要知识点和解决方法及典型例题一、函数的概念与表示1、函数构成函数概念的三要素 定义域;对应法则;值域.两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同例 1、下列各对函数中，相同的是（）A、B、xxgxxflg2)(,lg)(2)1lg()1lg()(,11lg)(xxxgxxxfC、D、f（x）=x，vvvguuuf11)(,11)(2)(xxf例 2、给出下列四个图形，其中能表示从集合 M30|,20|yyNxxM到集合 N 的函数关系的有（）A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个xxxx1211122211112222yyyy3OOOO二、函数的定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1；例 1、（05 江苏卷）函数的定义域为 .20.5log(43)yxx2、抽象函数定义域问题的几种题型及求法(1)、已知的定义域，求的定义域()f x()f g x其解法是：若的定义域为，则在中，从中解得()f xaxb()f g x()ag xb的取值范围即为的定义域x()f g x已知函数的定义域为，求的定义域()f x15，(35)fx分析：该函数是由和构成的复合函数，其中是自变量，是中间变量，35ux()f uxu由于与是同一个函数，因此这里是已知，即，求()f x()f u15u 1355x的取值范围x解：的定义域为，()f x15，1355x41033x故函数的定义域为(35)fx4 1033，(2)、已知的定义域，求的定义域()f g x()f x其解法是：若的定义域为，则由确定的的范围即为()f g xmxnmxn()g x的定义域()f x例 2已知函数的定义域为，求函数的定义域2(22)f xx0 3，()f x分析：令，则，222uxx2(22)()f xxf u由于与是同一函数，因此的取值范围即为的定义域()f u()f xu()f x解：由，得03x21225xx令，则，222uxx2(22)()f xxf u15u故的定义域为()f x 15，(3)、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集例若的定义域为，求的定义域()f x35，()()(25)xfxfx解：由的定义域为，则必有解得()f x35，()x353255xx，40 x 所以函数的定义域为()x4 0，例 2、()x已知f的定义域是-2,5,求f(2x+3)的定义域.例 3、(21)xx已知f的定义域是-1,3,求f()的定义域.三、函数的值域求函数值域的方法：直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域.例题、求下列函数的值域：1（直接法）；2123yxx.2()2242f xxx2（换元法）12 xxy3.(分离常数法).1xxy31(24)21xyxx 4.(单调性);5(图象法.3(1,3)2yxxx 232(12)yxxx 函数解析式的求法 （1）待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1 设是一次函数，且，求)(xf34)(xxff)(xf解：设 ，则baxxf)()0(ababxabbaxabxafxff2)()()(342baba3212baba或32)(12)(xxfxxf或（2）配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容()f g x()f x()f g x易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函()g x()f x数的定义域，而是的值域。()g x例 2 已知 ，求 的解析式221)1(xxxxf)0(x()f x解：，2)1()1(2xxxxf21xx 2)(2xxf)2(x（3）换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与()f g x()f x配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例 3 已知，求xxxf2)1()1(xf解：令，则，1xt1t2)1(tx（4）构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 4 设求,)1(2)()(xxfxfxf满足)(xf解例 5 设为偶函数，为奇函数，又求的解析式)(xf)(xg,11)()(xxgxf)()(xgxf和解 （5）赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 6 已知：，对于任意实数 x、y，等式恒1)0(f)12()()(yxyxfyxf成立，求)(xf解对于任意实数 x、y，等式恒成立，)12()()(yxyxfyxf不妨令，则有 0 x 1)1(1)1()0()(2yyyyyyfyf再令 得函数解析式为：xy 1)(2xxxf五函数的奇偶性函数的奇偶性1定义定义:设设 y=f(x)，xA，如果，如果对于任意A，都有，则称 y=f(x)为偶x()()fxf x函数.如果对于任意A，都有，则称 y=f(x)为奇函数.x()()fxf x 2.性质：y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于y原点对称,若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=0奇奇=奇；偶偶=偶；奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇两函数的定义域D1，D2，D1D2要关于原点对称 3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称 看f(x)与f(-x)的关系例 1.已知函数是定义在上的偶函数.当时，)(xf),()0,(x4)(xxxf则当时，.),0(x)(xf例 2、已知定义域为的函数是奇函数.R12()2xxbf xa（）求的值；,a b（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.tR22(2)(2)0f ttftkk例 3、若奇函数满足，则)(Rxxf1)2(f)2()()2(fxfxf_.)5(f六、函数的单调性1、函数单调性的定义：2、设是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则在 xgfy xgfy M 上是减函数；若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则在 M 上是增函数.xgfy 例 1、判断函数的单调性.)()(3Rxxxf例 2、函数的单调增区间是_20.1log(62)yxx 例 3、(高考真题)已知是上的减函数，那么的取(31)4,1()log,1aaxa xf xx x(,)a值范围是（）（A）（B）（C）（D）(0,1)1(0,)31 1,)7 31,1)7