等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点.pdf

1一、等差等比数列基础知识点一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳：1概念与公式：等差数列：1.定义：若数列称等差数列；),(1nnnnadaaa则常数满足2.通项公式：;)()1(1dknadnaakn3.前 n 项和公式：公式：.2)1(2)(11dnnnaaanSnn等比数列：1.定义若数列（常数），则称等比数列；2.通项公式：qaaannn1满足na3.前 n 项和公式：当 q=1 时;11knknnqaqaa),1(1)1(111qqqaqqaaSnnn.1naSn2简单性质：首尾项性质：设数列,:321nnaaaaa1.若是等差数列，则na;23121nnnaaaaaa2.若是等比数列，则na.23121nnnaaaaaa中项及性质：1.设 a，A，b 成等差数列，则 A 称 a、b 的等差中项，且;2baA2.设 a,G,b 成等比数列，则 G 称 a、b 的等比中项，且.abG设 p、q、r、s 为正整数，且,srqp1.若是等差数列，则na;srqpaaaa2.若是等比数列，则na;srqpaaaa顺次 n 项和性质：1.若是公差为 d 的等差数列，组成公差为 n2d 的等差数列；nanknnknnkkkkaaa121312,则2.若是公差为 q 的等比数列，组成公差为 qn的等比数列.（注意：当 q=1，nnanknnknnkkkkaaa121312,则为偶数时这个结论不成立）若是等比数列，na2则顺次 n 项的乘积：组成公比这的等比数列.nnnnnnnaaaaaaaaa3221222121,2nq若是公差为 d 的等差数列,na1.若 n 为奇数，则而 S 奇、S偶指所有奇数项、所有,:(21nnaaaaSSnaS中中中偶奇中即指中项注且偶数项的和）；2.若 n 为偶数，则.2ndSS奇偶（二）学习要点：1学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意公差 d0 的等差数列的通项公式是项 n 的一次函数 an=an+b;公差 d0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 Sn=an2+bn;公比 q1 的等比数列的前 n 项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或，a,aq)”四数成等差数列，可设四数为“qa”四数成等比数列，可设四数为“);3,3(3,2,mamamamamamamaa或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.),(,3332aqaqqaqaaqaqaqa或例 1解答下述问题：（）已知成等差数列，求证：cba1,1,1（1）成等差数列；cbabacacb,（2）成等比数列.2,2,2bcbba解析该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bcbbabbcabacbcbacbabacacbbcacabcaaccacabacabacbccbaacbcabacbaccabca评析判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.3（）等比数列的项数 n 为奇数，且所有奇数项的乘积为 1024，所有偶数项的乘积为，求项数 n.2128解析设公比为2421281024,142531nnaaaaaaaq)1(24211nqa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321nnqanqaaaaannnn得代入得将而（）等差数列an中，公差 d0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,32121kkkaaankkk其中恰为等比数列求数列.项和的前nkn解析,171251751aaaaaa成等比数列.1313132,132)1(2)1(323,34,2,00)2()16()4(111111115111121nnSnkkdkddkaadaaadaaaqadaddaddaadannnnnnnnknnkknnn项和的前得由而的公比数列评析例 2 是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.例 3解答下述问题：（）三数成等比数列，若将第三项减去 32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去 4，又成等比数列，求原来的三数.解析设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为 ad,a,a+d，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232)()4()32)(22222或原三数为或得或adddddaadddadaaadada（）有四个正整数成等差数列，公差为 10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.，4解析设此四数为,)15(15,5,5,15aaaaa2521251,2551251125,125)(45004)()2()15()5()5()15(2222222amamamamamamamamamammaNmmaaaa且均为正整数与解得所求四数为 47，57，67，77),(1262不合或aa评析巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列练习题二、等差等比数列练习题一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （）（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在2.、在等差数列中，,且,成等比数列，则的通项公式为 （）na41a1a5a13a na（A）（B）（C）或 （D）或13 nan3 nan13 nan4na3 nan4na3、已知成等比数列，且分别为与、与的等差中项，则的值为 （）cba,yx,abbcycxa（A）（B）（C）（D）不确定21224、互不相等的三个正数成等差数列，是 a,b 的等比中项，是 b,c 的等比中项，那么，三个数（）cba,xy2x2b2y（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列的前项和为,则此数列的通项公式为 （）nannSnnSn24212（A）（B）（C）（D）22 nan28 nan12nnannan26、已知，则 （）)(4)(2zyyxxz（A）成等差数列 （B）成等比数列 （C）成等差数列 （D）成等比数列zyx,zyx,zyx1,1,1zyx1,1,17、数列的前项和，则关于数列的下列说法中，正确的个数有 （）nan1nnaS na一定是等比数列，但不可能是等差数列 一定是等差数列，但不可能是等比数列 可能是等比数列，也可能是等差数列 可能既不是等差数列，又不是等比数列 可能既是等差数列，又是等比数列5（A）4 （B）3 （C）2 （D）18、数列 1,前 n 项和为 （）,1617,815,413,21（A）（B）（C）（D）1212nn212112nn1212nnn212112nnn9、若两个等差数列、的前项和分别为、，且满足，则的值为 （）na nbnnAnB5524nnBAnn135135bbaa（A）（B）（C）（D）977820198710、已知数列的前项和为,则数列的前 10 项和为 （）nan252nnSn na（A）56 （B）58 （C）62 （D）6011、已知数列的通项公式为,从中依次取出第 3，9，27，3n,项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数 na5 nan na列的前 n 项和为 （）（A）（B）（C）（D）2)133(nn53 n23103nn231031nn12、下列命题中是真命题的是 ()A数列是等差数列的充要条件是()naqpnan0pB已知一个数列的前项和为,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 nanabnanSn2C数列是等比数列的充要条件 na1nnabaD如果一个数列的前项和,则此数列是等比数列的充要条件是 nancabSnn)1,0,0(bba0 ca二、填空题二、填空题13、各项都是正数的等比数列，公比,成等差数列，则公比=na1q875,aaaq14、已知等差数列，公差,成等比数列，则=na0d1751,aaa18621751aaaaaa15、已知数列满足,则=nannaS411na16、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、解答题解答题17、已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列，求公比及。nad nbaq46,10,1321bbbqnb18、已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且都等于,，,求。na nbd)1,0(dd11ba 333ba 555ba nnba,19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为 216，后三个数成等差数列，其和为 36，求这四个数。20、已知为等比数列，求的通项式。na324202,3aaa na621、数列的前项和记为 nan11,1,211nnnS aaSn（）求的通项公式；na（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求 nbnnT315T 112233,ab ab abnT22、已知数列 na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列 na的通项公式；（II）若数列 nb满足121114.4.4(1)()nnbbbbnanN，证明：nb是等差数列；数列综合题一、选择题题号123456789101112答案BDCAAACADDDD二、二、填空题填空题13.14.15.16.62512926n)31(343三、解答题三、解答题17.a=a1,a=a10=a1+9d,a=a46=a1+45d 1b2b3b由abn为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.q=4 又由abn是an中的第 bna 项，及 abn=ab14n-1=3d4n-1,a1+(bn-1)d=3d4n-1 bn=34n-1-218.a3=3b3,a1+2d=3a1d2 ,a1(1-3d2)=-2d a5=5b5,a1+4d=5a1d4,a1(1-5d4)=-4d ,得=2，d2=1 或 d2=,由题意，d=,a1=-。an=a1+(n-1)d=(n-6)bn=a1dn-1=-()n-1243151dd515555555519.设这四个数为aaqaqaqa2,则 由，得 a3=216,a=6 36)3(216aaqaqaaqaqa代入，得 3aq=36,q=2 这四个数为 3，6，12，1820.解:设等比数列an的公比为 q,则 q0,a2=,a4=a3q=2qa3q2q所以 +2q=,解得 q1=,q2=3,2q203137当 q1=,a1=18.所以 an=18()n1=233n.1313183n1当 q=3 时,a1=,所以 an=3n1=23n3.292921.解：(I)由可得，两式相减得121nnaS1212nnaSn112,32nnnnnaaa aan又，故是首项为，公比为得等比数列 21213aS 213aa na1313nna（）设的公差为 nbd由得，可得，可得25b 315T 12315bbb故可设，又135,5bd bd1231,3,9aaa由题意可得，解得 251 5953dd122,10dd等差数列的各项为正，nb0d 2d 213222nn nTnnn22（I）：*121(),nnaanN112(1),nnaa 1na是以112a 为首项，2 为公比的等比数列。12.nna 即2*21().nanN（II）证法一：1211144.4(1).nnbbbbna12(.)42.nnbbbnnb 122(.),nnbbbnnb12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb，得112(1)(1),nnnbnbnb即1(1)20,nnnbnb 21(1)20.nnnbnb ，得2120,nnnnbnbnb即2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbb nN nb是等差数列。