基本不等式题型总结.pdf

1基本不等式基本不等式一.基本不等式基本不等式公式：，常用(0,0)2ababab2abab升级版：22222ababab,a bR选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二考试题型二考试题型【题型题型 1】1】基本不等式求最值基本不等式求最值求最值使用原则：一正求最值使用原则：一正 二定二定 三相等三相等一正：指的是注意范围为正数。,a b二定：指的是是定值为常数ab三相等：指的是取到最值时ab典型例题：例例 1.求的值域1(0)2yxxx分析：范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）x解：1()2yxx 00 xx 112()()222xxxx 得到122xx (,2y 2例例 2.求的值域12(3)3yxxx解：（“添项”，可通过减 3 再加 3，利用基本不等式后可出现定值）123yxx 12(3)63xx 330 xx 12(3)2 23xx，即2 26y2 26,y例例 3.求的值域2sin(0)sinyxxx分析：的范围是，不能用基本不等式，当取到最小值时，的值是，但sin x(0,1)ysin x2不在范围内2解：令 sin(0,1)txt，是对钩函数，利用图像可知：2ytt 在上是单减函数，所以，（注：是将代入得到）(0,1)23tt31t(3,)y 注意：使用基本不等式时，注意取到最值，有没有在范围内，yx如果不在，就不能用基本不等式如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求对钩函数图像来求值域。3例例 4求的值域221(2)2xxyxx 分析：先换元，令，其中2,0txt2xt 解：22(2)2(2)16116ttttytttt 110268ttttt 8,)y 总之：形如的函数，一般可通过换元法等价变形化为2(0,0)cxdxfyacaxbpytt 型函数，要注意 t 的取值范围；()p为常数【失误与防范失误与防范】1使用基本不等式求最值，其失误的真正原因使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可2在运用重要不等式时，要特别注意要特别注意“拆拆”“拼拼”“凑凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正正”“定定”“等等”的条件3连续使用公式时取等号的条件很严格等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致【题型题型 2】2】条件是条件是或或为定值，求最值（值域）为定值，求最值（值域）（简）（简）abab例例 5若且，则的最大值是_0,0 xy18xyxy解析：由于，则，所以，则的最大值为0,0 xy2xyxy218xy xy81例例 6已知为正实数，且满足，则的最大值为_,x y4312xyxy解析：，当且仅当即时，432 43xyxy4 312xy 3xy434312xyxy322xy取得最大值.xy3例例 7 7已知，且，则的最小值为_0,0mn81mn mn解析：，当且仅当时，等号成立0,0mn218mnmn9mn4总结：此种题型：和定积最大，积定和最小【题型题型 3】3】条件是条件是或或为定值，求最值（范围）为定值，求最值（范围）（难）（难）ab11ab方法：将方法：将 整体代入整体代入1例例 8.已知且，则的最小值是_0,0 xy1xy11xy解析：1xy1111()()2224yxy xxyxyxyxyx y所以最小值是4例例 9.已知，则的最小值是_0,0ab2ab14yab解析：212abab则141412()()2222abbaababab52529222222babaabab所以最小值是92例例 10.已知，且求的最小值是_0,0 xy121,xy2xy解析：121,xy则12222()(2)14yxxyxyxyxy 22529yxxy从而最小值为 95 【题型题型 4】4】已知已知与与关系式，求取值范围关系式，求取值范围abab例例 11.若正数满足，求及的取值范围,a b3abababab解析：把与看成两个未知数，先要用基本不等式消元abab解：求求的范围的范围 （需要消去（需要消去：孤立条件的孤立条件的将将替换）替换）ababab2ababab ，3abab3abab 2abab（消结束，下面把结束，下面把看成整体，换元，求看成整体，换元，求范围范围）32ababababab 令，则变成(0)tabt32abab232tt 解得或（舍去），从而3t 1t 9ab 求求的范围的范围 （需要消去（需要消去：孤立条件的孤立条件的 将将替换）替换）ababab2()2ababab ，3abab2,2abab（消结束，下面把结束，下面把看成整体，换元，求看成整体，换元，求范围范围）232ababababab令(0)tab t则有，得到或（舍去）232tt2412tt24120tt6t 2t 得到6ab