复变函数试题及答案[1].pdf

西西安安交交通通大大学学考考试试题题 课课 程程 复变函数复变函数（A）系 别 考 试 日 期 2007 年 7 月 5 日专业班号 姓 名 学 号 期中期末一.填空（每题 3 分，共 30 分）1 i32 0 是函数的 0z51cos)(zzzf（说出类型，如果是极点，则要说明阶数）3.,则iyxyyixxzf322333)()fz 4.0,sin1Rezzs5.函数在处的转动角为sinwz4z6.幂级数的收敛半径为=_0)(cosnnzinR7.dzzz10sin8设 C 为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则 dzzeCz219函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为_ 14zzzf10 23|22)4)(1(zzzdz成绩成绩二判断题（每题 3 分，共 30 分）1在解析。【】nzzzf)(0z2在点可微，则在解析。【】)(zf0z)(zf0z3是周期函数。【】zezf)(4 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】5 设级数收敛，而发散，则的收敛半径为 1。【】0nnc|0nnc0nnnzc6 能在圆环域展开成洛朗级数。【】1tan()z)0(|0RRz7 为大于 1 的正整数,成立。【】nLnLnnznz8如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】)(zf0z)(zf0z9如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10uDyuixufD。【】212233|221112|2(1)1zzzzdzdziizzzz三（8 分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。yevpxsinpivuzf)(四（8 分）求在圆环域和内的洛朗展开式。)2)(1(zzzzf21 z21z五（8 分）计算积分。dxxxx54cos22六（8 分）设，其中 C 为圆周的正向，求。Cdzzf173)(23|z(1)fi七（8 分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。)Im(0|azz复变函数与积分变换复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准的参考答案与评分标准(2007.7.5)一.填空(各 3 分)1.；2.三级极点；3.；4.0 ；5.0 ；6.；7.；8.0；3ln2ike23ze1322)1(26ss9.0；10.。)2()2()2(1)2(121jj二.判断 1.错；2.错；3.正确；4.错；5.正确；6.错；7.错；8.错；9.正确；10.错。三(8 分)解:1)在2|1 z-4 分11000111111()()()()()21222nnnnnnnnzzf zzzzzzzz 2)在1|2|z-4 分20111111()(1)(1)(1)122 122(2)(2)(1)2nnnf zzzzzzzz四.(8 分)解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点-2+i,故 -3 分2,54Re25422izzesidxxxeizix -6 分)2sin2(cos54)2(lim222iezzeiziiziz故 -8 分2cos254Re254cos222edxxxedxxxxix五.(8 分)解:-3 分22371()()Cfzdz A由于 1+i 在所围的圆域内,故3|z -8 分iCidiif1222|)173(2)1(173)1()136(2i六.(8 分)解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对)zazaieeezf)(七.(8 分)解:对方程两端做拉氏变换:13)(3)0()()0()0()(2ssYyssYysysYs代入初始条件,得 -4 分32113)(2ssssY)1)(3(1)1)(3)(1(3sssss381185143sss故,-8 分(用留数做也可以)ttteeety3818543)(复变函数复变函数(A)的参考答案与评分标准的参考答案与评分标准(2007.7.5)一.填空(各 3 分)1.；2.三级极点；3.；4.0 ；5.0；6.；7.3ln2ike23ze1；8.0 ；9.0；10.0。1cos1sin 二.判断 1.错；2.错；3.正确；4.错；5.正确；6.错；7.错；8.错；9.正确；10.错。三.(8 分)解:因为是调和函数,则有yevpxsin,即 故-2 分02222yvxv0sin)1(sinsin22yepyeyeppxpxpx1p1)当 时,由 C-R 方程,1pyevxsin,则,又由yeyvxuxcos)(cos),(ygyeyxux，故,所以。yexvygyeyuxxsin)(sin0)(ygcyg)(则 -3 分cezfz)(2)当 时,由 C-R 方程,1pyevxsin,则,又由yeyvxuxcos)(cos),(ygyeyxux，故,所以。yexvygyeyuxxsin)(sin0)(ygcyg)(则 cezfz)(四(8 分)解:1)在2|1 z-4 分11000111111()()()()()21222nnnnnnnnzzf zzzzzzzz 2)在1|2|z -4 分20)2(1)1(21)211)(2(11(21)1211(21)(nnnzzzzzzzzf五.(8 分)解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点-2+i,故 -3 分2,54Re25422izzesidxxxeizix -6 分)2sin2(cos54)2(lim222iezzeiziiziz故 -8 分2cos254Re254cos222edxxxedxxxxix六.(8 分)解:-3 分22371()()Cfzdz A由于 1+i 在所围的圆域内,故3|z -8 分iCidiif1222|)173(2)1(173)1()136(2i七.(8 分)解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对)zazaieeezf)(