2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-解析几何.pdf

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1、20192019 高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-解析几何解析几何1.天津文18、本小题总分值 13 分设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为 F1，F2。点(,)P a b满足212|.PFF F求椭圆的离心率e；设直线 PF2与椭圆相交于 A，B 两点，假设直线 PF2与圆22(1)(3)16xy相交于 M，N 两点，且5|8MNAB，求椭圆的方程。【解析】18本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考

2、查解决问题能力与运算能力，总分值 13 分。解：设12(,0),(,0)(0)FcF cc，因为212|PFF F，所以22()2acbc，整理得2210,1cccaaa 得舍或11,.22cea所以解：由知2,3ac bc，可得椭圆方程为2223412xyc，直线 FF2的方程为3().yxcA，B 两点的坐标满足方程组2223412,3().xycyxc消去y并整理，得2580 xcx。解得1280,5xxc，得方程组的解21128,0,53,3 3.5xcxycyc 不妨设83 3,55Acc，(0,3)Bc，所以2283 316|3.555ABcccc于是5|2.8MNABc圆心1,3

3、到直线 PF2的距离|333|3|2|.22ccd因为222|42MNd，所以223(2)16.4cc整理得2712520cc，得267c 舍，或2.c 所以椭圆方程为221.1612xy2.北京文19、本小题共 14 分椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为63，右焦点为2 2,0，斜率为 I 的直线l与椭圆 G 交与 A、B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P-3,2.I求椭圆G的方程；II求PAB的面积.【解析】19 共 14 分解：由得62 2,.3cca解得2 3.a 又2224.bac所以椭圆 G 的方程为221.124xy设直线l的方程为.mxy由141222

4、yxmxy得.01236422mmxx设 A、B 的坐标分别为),)(,(),(212211xxyxyxAB 中点为 E),(00yx，那么,432210mxxx400mmxy因为 AB 是等腰PAB 的底边，所以 PEAB.所以 PE 的斜率.143342mmk解得 m=2。此时方程为.01242xx解得.0,321xx所以.2,121yy所以|AB|=23.此时，点 P3，2到直线 AB：02 yx的距离,2232|223|d所以PAB 的面积 S=.29|21dAB3.(全国大纲文)22、本小题总分值 l2 分注意：在试题卷上作答无效O 为坐标原点，F 为椭圆22:12yC x 在 y

5、轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为-2的直线l与 C 交与 A、B 两点，点 P 满足0.OAOBOP 证明：点 P 在 C 上；II设点 P 关于 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上。【解析】22、解：IF0，1，l的方程为21yx，代入2212yx 并化简得242 210.xx 2 分设112233(,),(,),(,),A x yB xyP xy那么122626,44xx1212122,2()21,2xxyyxx 由题意得3123122(),()1.2xxxyyy 所以点 P 的坐标为2(,1).2经验证，点 P 的坐标为2(,1)2满足方程221,2yx 故点

6、P 在椭圆 C 上。6 分II由2(,1)2P 和题设知，2(,1)2QPQ 的垂直一部分线1l的方程为2.2yx 设 AB 的中点为 M，那么2 1(,)42M，AB 的垂直平分线为2l的方程为21.24yx由、得12,l l的交点为2 1(,)88N。9 分2222122222213 11|()(1),28883 2|1(2)|,23 2|,422113 3|()(),482883 11|,8NPABxxAMMNNAAMMN 故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心，NA 为半径

7、的圆上12 分4.全国新文20、本小题总分值 12 分在平面直角坐标系 xOy 中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆 C 上、I求圆 C 的方程；II假设圆 C 与直线0 xya交于 A，B 两点，且,OAOB求 a 的值、【解析】(20解：曲线162xxy与 y 轴的交点为0，1，与 x 轴的交点为).0,223(),0,223故可设 C 的圆心为3，t，那么有,)22()1(32222tt解得 t=1.那么圆 C 的半径为.3)1(322 t所以圆 C 的方程为.9)1()3(22yx设 A11,yx，B22,yx，其坐标满足方程组：.9)1()3(,022yxayx消去 y，得到方程

8、.012)82(222aaxax由可得，判别式.0416562aa因此，,441656)28(22,1aaax从而2120,422121aaxxaxx由于 OAOB，可得,02121yyxx又,2211axyaxy所以.0)(222121axxaxx由，得1a，满足,0故.1a5.辽宁文21、本小题总分值 12 分如图，椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D、I设12e，求BC与AD的比值；II当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明

9、理由、【解析】21、解：I因为 C1，C2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xyb yxCCababaa设直线:(|)l xtta，分别与 C1，C2的方程联立，求得2222(,),(,).abA tatB tatba4 分当13,22ABebayy时分别用表示 A，B 的纵坐标，可知222|3|:|.2|4BAybBCADya6 分IIt=0 时的l不符合题意.0t 时，BO/AN 当且仅当 BO 的斜率kBO与 AN 的斜率kAN相等，即2222,baatatabtta解得222221.abetaabe 因为2212|,01,1,1.2etaeee又所以解得

10、所以当202e时，不存在直线l，使得 BO/AN；当212e时，存在直线l使得 BO/AN.12 分6.江西文19、本小题总分值 12 分过抛物线()ypx p 的焦点，斜率为的直线交抛物线于(,)A x y和(,)()B xyxx两点，且AB ,1求该抛物线的方程；2O为坐标原点，C为抛物线上一点，假设OBOAOC，求的值、【解析】19、本小题总分值 12 分1直线 AB 的方程是2 2()2pyx，与22ypx联立，从而有22450,xpxp所以：1254pxx由抛物线定义得：12|9,ABxxp所以 p=4，从而抛物线方程是28.yx2由224,450pxpxp可简化为212540,1

11、,4,xxxx从而122 2,4 2,yy 从而(1,2 2),(4,4 2)AB设33(,)(1 2 2)(4,4 2)(41,4 22 2)OCxy又22338,2 2(21)8(41),yx即即2(21)41解得0,2.或7.山东文22、本小题总分值 14 分在平面直角坐标系xOy中，椭圆22:13xCy、如下图，斜率为(0)k k且不过原点的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x 于点(3,)Dm、求22mk的最小值；假设2OGODOE，i求证：直线过定点；ii试问点B，G能否关于轴对称？假设能，求出此时ABGA的外接圆方程；假设不能，请说明理

12、由、【解析】22、I解：设直线(0)lykxt k的方程为，由题意，0.t 由方程组22,1,3ykxtxy得222(31)6330kxktxt，由题意0，所以2231.kt 设1122(,),(,)A x yB xy，由韦达定理得1226,31ktxxk 所以1222.31tyyk由于 E 为线段 AB 的中点，因此223,3131EEkttxykk此时1.3EOEEykxk 所以 OE 所在直线方程为1,3yxk 又由题设知 D-3，m，令 x=-3，得1mk，即 mk=1，所以2222,mkmk当且仅当 m=k=1 时上式等号成立，此时由0 得02,t 因此当102mkt 且时，22mk

13、取最小值 2。II i由I知 OD 所在直线的方程为1,3yxk 将其代入椭圆 C 的方程，并由0,k 解得2231(,)3131kGkk，又2231(,),(3,)31 31ktEDkkk，由距离公式及0t 得22222222222222223191|()(),313131191|(3)(),391|()(),313131kkOGkkkkODkkktttkOEkkk 由2|,OGODOEtk得因此，直线l的方程为(1).yk x所以，直线(1,0).l恒过定点ii由i得2231(,)3131kGkk假设 B，G 关于 x 轴对称，那么2231(,).3131kBkk代入22(1)3131,y

14、k xkkk 整理得即426710kk，解得216k 舍去或21,k 所以 k=1，此时313 1(,),(,)222 2BG关于 x 轴对称。又由I得110,1,xy所以 A0，1。由于ABG的外接圆的圆心在 x 轴上，可设ABG的外接圆的圆心为d，0，因此223111(),242ddd 解得故ABG的外接圆的半径为2512rd，所以ABG的外接圆方程为2215().24xy8.陕西文17、本小题总分值 12 分设椭圆 C:222210 xyabab过点0，4，离心率为35求 C 的方程；求过点3，0且斜率为45的直线被 C 所截线段的中点坐标。【解析】17、解将0，4代入 C 的方程得21

15、61b b=4又35cea得222925aba即2169125a，a=5 C 的方程为2212516xy 过点3,0且斜率为45的直线方程为435yx，设直线与的交点为11,x y，22,xy，将直线方程435yx代入的方程，得22312525xx，即2380 xx，解得13412x，23412x，AB 的中点坐标12322xxx，1212266255yyyxx，即中点为36,25。注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。9.上海文22、16 分椭圆222:1xCym常数1m ，点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为(2,0)。1假设M与A重合，求C的焦点坐标；2假设3m，求|PA的最大值

17、21(0)xyabab的离心率为32，椭圆与x轴交于两点(,0)A a、(,0)Aa，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q、I当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；当点P异于点B时，求证：OP OQ 为定值、本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力、解：由得31,2cba，解得2a，所以椭圆方程为2214xy、椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l的方程为313yx，代入椭圆方程得278 30 xx，解得128 30,7xx，代入直线l的方程得1211,7yy，所以8 31(,)77D，故228

18、3116|(0)(1)777CD 、当直线l与x轴垂直时与题意不符、设直线l的方程为11(0)2ykxkk且、代入椭圆方程得22(41)80kxkx、解得12280,41kxxk，代入直线l的方程得2122141,41kyyk，所以D点的坐标为222814(,)41 41kkkk、又直线AC的方程为12xy，又直线BD的方程为12(2)24kyxk，联立得4,21.xkyk 因此(4,21)Qkk，又1(,0)Pk、所以1(,0)(4,21)4OP OQkkk 、故OP OQ 为定值、11.浙江文 22 本小题总分值 15 分如图，设 P 是抛物线1C：2xy上的动点。过点P做圆2C1)3(:

19、22 yx的两条切线，交直线l：3y 于,A B两点。求2C的圆心M到抛物线1C准线的距离。是否存在点P，使线段AB被抛物线1C在点P处得切线平分，假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由。【解析】22此题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。总分值 15 分。解：因为抛物线 C1的准线方程为：14y 所以圆心 M 到抛物线 C1准线的距离为：111|(3)|.44 解：设点 P 的坐标为200(,)xx，抛物线 C1在点 P 处的切线交直线l于点 D。再设 A，B，D 的横坐标分别为,ABCxxx过点200(,)P x

20、x的抛物线 C1的切线方程为：20002()yxxxx1当01x 时，过点 P1，1与圆 C2的切线 PA 为：151(1)8yx 可得17,1,1,215ABDABDxxxxxx 当10 x时，过点 P1，1与圆 C2的切线 PA 为：151(1)8yx 可得DBADBAxxxxxx2,1,1517,117,1,1,215ABDABDxxxxxx 所以2010 x 设切线 PA，PB 的斜率为12,k k，那么2010:()PA yxk xx22020:()PB yxkxx3将3y 分别代入1，2，3得22200000012011333(0);(,0)2DABxxxxxxxxxk kxkk

21、从而20012112(3)().ABxxxxkk又201021|3|11x kxk即22222010010(1)2(3)(3)10 xkxx kx 同理，22222020020(1)2(3)(3)10 xkxx kx 所以12,k k是方程222220000(1)2(3)(3)10 xkxx kx 的两个不相等的根，从而222000121222002(3)(3)1,.11xxxkkkkxx因为02xxxBA所以220001201203111112(3)(),.xxxkkxkkx即从而20022002(3)1(3)1xxxx进而得44008,8xx 综上所述，存在点 P 满足题意，点 P 的坐标

22、为4(8,2 2).12.重庆文21、本小题总分值 12 分。小问 4 分，小问 8 分如题21图，椭圆的中心为原点 0，离心率 e=22，一条准线的方程是2 2x 求该椭圆的标准方程；设动点 P 满足：2OPOMON ，其中 M、N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON 的斜率之积为12，问：是否存在定点 F，使得PF与点 P 到直线l：2 10 x 的距离之比为定值；假设存在，求 F 的坐标，假设不存在，说明理由。【解析】21、此题 12 分解：I由22,2 2,2caeac解得2222,2,2acbac，故椭圆的标准方程为221.42xyII设1122(,),(,),(,)P x y M

23、x yN xy，那么由2OPOMON 得112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.x yx yxyxxyyxxxyyy即因为点 M，N 在椭圆2224xy上，所以2222112224,24xyxy，故222222121212122(44)2(44)xyxxx xyyy y2222112212121212(2)4(2)4(2)204(2).xyxyx xy yx xy y设,OMONkk分别为直线 OM，ON 的斜率，由题设条件知12121,2OMONy ykkx x 因此121220,x xy y所以22220.xy所以 P 点是椭圆22221(2 5)(10)xy上的点

24、，该椭圆的右焦点为(10,0)F，离心率2,:2 102el x直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点(10,0)F，使得|PF|与 P 点到直线l的距离之比为定值。13.安徽文 17 本小题总分值 13 分设直线.02,1:,1:21212211kkkkxkylxkyl满足其中实数I证明1l与2l相交；II证明1l与2l的交点在椭圆222x+y=1上.【解析】17 本小题总分值 13 分此题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力.证明：I反证法，假设是l1与l2不相交，那么l1与l2平行，有 k

25、1=k2，代入k1k2+2=0，得.0221k此与 k1为实数的事实相矛盾.从而2121,llkk与即相交.II 方法一由方程组1121xkyxky解得交点P的坐标),(yx为.,2121212kkkkykkx而.144228)()2(22222122212121222121222121221222kkkkkkkkkkkkkkkkkkyx此即说明交点.12),(22上在椭圆 yxyxP方法二交点P的坐标),(yx满足.0211,02.1,1.011212121xyxykkxykxykxxkyxky得代入从而故知整理后，得,1222 yx所以交点P在椭圆.1222上 yx14.福建文18、本小题

26、总分值 12 分如图，直线 l：y=x+b 与抛物线 C：x2=4y 相切于点 A。I求实数 b 的值；11求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程、。【解析】18、本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，总分值 12 分。解：I由22,4404yxbxxbxy得，*因为直线l与抛物线 C 相切，所以2(4)4(4)0,b 解得 b=-1。II由I可知21,(*)440bxx 故方程即为，解得 x=2，代入24,1.xyy得故点 A2，1，因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的

27、准线 y=-1 的距离，即|1(1)|2,r 所以圆 A 的方程为22(2)(1)4.xy15.湖北文21、本小题总分值 14 分平面内与两定点1,0Aa、2,0Aa0a 连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹，加上1A、A2两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线。求曲线 C 的方程，并讨论 C 的形状与 m 值的关系；当1m 时，对应的曲线为1C；对给定的),0()0,1(m，对应的曲线为2C，设1F、2F是2C的两个焦点。试问：在1C上，是否存在点N，使得1FN2F的面积2|Sm a。假设存在，求tan1FN2F的值；假设不存在，请说明理由。【解析】21、本小题主要考查曲线与方程、

28、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。总分值 14 分解：I设动点为 M，其坐标为(,)x y，当xa 时，由条件可得12222,MAMAyyykkmxa xaxa即222()mxymaxa，又12(,0),(,0)AaA A的坐标满足222,mxyma故依题意，曲线 C 的方程为222.mxyma当1,m 时曲线 C 的方程为22221,xyCama是焦点在 y 轴上的椭圆；当1m 时，曲线 C 的方程为222xya，C 是圆心在原点的圆；当10m 时，曲线 C 的方程为22221xyama，C 是焦点在x轴上的椭圆；当0m 时，曲线 C 的方程为222

30、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，总分值 16 分.解：1由题设知，),2,0(),0,2(,2,2NMba故所以线段 MN 中点的坐标为)22,1(，由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过坐标原点，所以.22122k2直线 PA 的方程2221,42xyyx代入椭圆方程得解得).34,32(),34,32(,32APx因此于是),0,32(C直线 AC 的斜率为.032,13232340yxAB的方程为故直线.32211|323432|,21d因此3解法一：将直线 PA 的方程kxy 代入2222221,421212xyx

31、kk 解得记那么)0,(),(),(CkAkP于是故直线 AB 的斜率为,20kk其方程为,0)23(2)2(),(222222kxkxkxky代入椭圆方程得解得223222(32)(32)(,)222kkkxxBkkk 或因此.于是直线 PB 的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231kkkkkkkkkkkk因此.,11PBPAkk所以解法二：设)0,(),(,0,0),(),(11121212211xCyxAxxxxyxByxP则.设直线 PB，AB 的斜率分别为21,kk因为 C 在直线 AB 上，所以.22)()(0111112kxyxxyk从而1)()(212112121212211xxyyxxyykkkk.044)2(12221222122222221222122xxxxyxxxyy因此.,11PBPAkk所以

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