等差数列知识点总结(2).pdf

等差数列等差数列1.1.定义定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为（d为常数）（）；daann12n2 2等差数列通项公式等差数列通项公式：（1）（首项:，公差:d，末项:）*11(1)()naanddnad nN1ana（2）从而；dmnaamn)(mnaadmn3 3等差中项等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：aAbAab或2baAbaA2（2）等差中项：数列是等差数列 na)2(211-naaannn212nnnaaa4 4等差数列的前等差数列的前 n n 项和公式：项和公式：1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中A、B是常数）（当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）5 5等差数列的证明方法等差数列的证明方法（1）定义法：若或(常数)是等差数daann1daann1 Nn na列（2）等差中项：数列是等差数列 na)2(211-naaannn 212nnnaaa（3）数列是等差数列（其中是常数）。nabknanbk,（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。na2nSAnBn注：注：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到 5 个元素：、及，n1adnnanS其中、称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即1ad知 3 求 2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，2,2ad ad a ad add,（公差为 2）3,3ad ad ad add7.7.等差数列的性质：等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的0d 11(1)naanddnadn一次函数，且斜率为公差；前和是dn211(1)()222nn nddSnadnan关于的二次函数且常数项为 0.n（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若0d 0d 公差，则为常数列。0d（3）当时,则有，特别地，当时，则有mnpqqpnmaaaa2mnp.2mnpaaa注：，图示：23121nnnaaaaaannaanaannaaaaaa112,12321(4)若是等差数列，则，也成等差数列 na232,nnnnnSSSSS图示：mmmmmmSSSmmSSmmSmaaaaaaaa323231221321（5）若等差数列、的前和分别为、，且，则na nbnnAnB()nnAf nB.2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB（6）若、为等差数列，则为等差数列 na nbnnab练习：练习：1.等差数列中，求的通项公式。na33,1112Sana2.等差数列前项和记为，已知，nannS3010a.5020a（1）求通项；（2）若，求na242nS.n3.若求69121520aaaa20S4.一个首项为 23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？