8-7-游戏与策略.教师版.doc

_游戏与策略教学目标1. 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律2. 在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案3. 熟练掌握通过简单操作、染色、数论等综合知识解决策略问题知识点拨实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。例题精讲模块一、探索与操作【例 1】 将113这13个自然数分别写在13张卡片上，再将这13张卡片按一定的顺序从左至右排好然后进行如下操作：将从左数第一张和第二张依次放到最后，将第三张取出而这张卡片上的数是1；再将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是2；继续将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是3如此进行下去，直到取出最后一张是13为止则13张卡片最初从左到右的顺序为 【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【关键词】北京奥校杯【解析】 这13张卡片依次是原来的第3，第6，第9，第12，第2，第7，第11，第4，第10，第5，第1，第8，第13张，所以原来的顺序为11，5，1，8，10，2，6，12，3，9，7，4，13【答案】11，5，1，8，10，2，6，12，3，9，7，4，13【例 2】 在纸上写着一列自然数1，2，98，99一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面例如第一次操作后得到4，5，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，98，99，6，15这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是 【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯【解析】 第一轮：分33次划19，后面写上6，15，24，294共33个数第二轮：分11次划去这33个数，后面写上45，126，207，855，共11个数之后的操作一次减少2个数，故还需操作5次设这11个数为：，则接下去的数是：，因此最后一数为：【答案】【巩固】 在1，9，8，9后面写一串这样的数字：先计算原来这4个数的后两个之和8917，取个位数字7写在1，9，8，9的后面成为1，9，8，9，7；再计算这5个数的后两个之和9716；取个位数字6写在1，9，8，9，7的后面成为1，9，8，9，7，6；再计算这6个数的后两个之和7613，取个位数字3写在1，9，8，9，7，6的后面成为1，9，8，9，7，6，3. 继续这样求和，这样添写，成为数串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4那么这个数串的前398个数字的和是_. 【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯，决赛【解析】 前16个数字是1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，8，9可见除去前2个数字1、9后，每12个数字一组重复出现.因此前398个数字的和是19（897639213471）1060331990【答案】1990【例 3】 圆周上放有枚棋子，如图所示，点的那枚棋子紧邻点的棋子小洪首先拿走点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过当将要第10次越过处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子若是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设圆周上余枚棋子，从第9次越过处拿走2枚棋子到第10次将要越过处棋子时，小洪拿了枚棋子，所以在第9次将要越过处棋子时，圆周上有枚棋子依次类推，在第8次将要越过处棋子时，圆周上有枚棋子，在第1次将要越过处棋子时，圆周上有枚棋子，在第1次将要越过处棋子之间，小洪拿走了枚棋子，所以是14的倍数，是2和7的公倍数，所以必须是奇数；又，所以必须是7的倍数当，25，27，29时，不是7的倍数，当时，是7的倍数所以，圆周上还有23枚棋子【答案】23【例 4】 有足够多的盒子依次编号0，1，2，只有0号是黑盒，其余的都是白盒开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果号白盒中恰有个球，可将这个球取出，并给0号、1号、，号盒中各放1个如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有 个球【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【关键词】两岸四地，华杯赛【解析】 使用倒推法最终各盒中依次有球(10，0，0，0，)，前一次必然分的是1号盒中的球，否则1号盒中最终至少有1个球所以，倒数第一次分前盒中依次有球(9，1，0，0，)依次倒推，为：(10，0，0，0，)(9，1，0，0，)(8，0，2，0，0，)(7，1，2，0，0，)(6，0，1，3，0，)(5，1，1，3，0，)(4，0，0，2，4，)(3，1，0，2，4，)(2，0，2，2，4，)(1，1，2，2，4，)(0，0，1，1，3，5)，0号盒中此时为0个球，不能再倒推所以，4号盒中原有3个球【答案】3【例 5】 一个数列有如下规则：当数是奇数时，下一个数是；当数是偶数时，下一个数是如果这列数的第一个数是奇数，第四个数是，则这列数的第一个数是 【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【解析】 本题可以进行倒推的前一个数只能是偶数，的前一个数可以是偶数或奇数，的前一个是可以是偶数或奇数，而的前一个只能是偶数由于这列数的第一个是奇数，所以只有43满足故这列数的第一个数是43也可以顺着进行分析假设第一个数是，由于是奇数，所以第二个数是，是个偶数，那么第三个数是，第四个数是11，11只能由偶数22得来，所以，得到，即这列数的第一个数是43【答案】【巩固】 在信息时代信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照“乘3加1取个位”的方式逐位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密得到的密码是“2445”，则明码是 【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】 09这10个数字乘以3所得的数的个位数字互不相同是本题可以进行判断的基础采用倒推法，可以得到经过一次加密之后的密码是“7118”，再进行倒推，可以得到原来的明码是2009.【答案】2009【例 6】 设有25个标号筹码，其中每个筹码都标有从1到49中的一个不同的奇数，两个人轮流选取筹码当一个人选取了标号为的筹码时，另一个人必须选取标号为的最大奇因数的筹码如果第一个被选取的筹码的编号为5，那么当游戏结束时还剩 个筹码【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【关键词】武汉,明星奥数挑战赛【解析】 解若 547471313434377232319195当一个人拿到19时，下一个人就要拿5了，故游戏结束，拿了7个剩(个)【答案】【例 7】 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色(填黑或者白)【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【关键词】北大附中，资优博雅杯【解析】 由于起初白子200枚是偶数，若同色，补黑子1枚，白子仍为偶数；若异色，补白子1枚，白子仍为偶数因此最后1枚不可能是白子，故应是黑子【答案】黑【巩固】 30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、的次序串成一圈一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯，试题【解析】 这些珠子按8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、的次序串成一圈，那么每10粒珠子一个周期，我们可以推断出这30粒珠子数到第9和10、19和20、29和30、39和40、49和50粒的时候，会是黑珠子刚才是从第10粒珠子开始跳，中间隔6粒，跳到第17粒，接下来是第24粒、31粒、38粒、45粒、52粒、59粒，一直跳到59粒的时候会是黑珠子，所以至少要跳7次【答案】7次【巩固】 在黑板上写上、，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数和，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为是一个偶数，而每一次“操作”，将、两个数变成了，它们的和减少了，即减少了一个偶数那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数【答案】偶数【例 8】 桌上有一堆石子共1001粒。第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子分成两堆。以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把某一堆分作两堆。问：能否在若干步之后，桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 不可能事实上，如果可能的话，那么假定最后在桌上剩下了堆石子，每堆3粒，则在此之前一共进行了次操作（开始时只有一堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作次后分成堆）而每操作一次，都扔去一粒石子，所以一共扔去粒石子因此，得到，但1002不是4的倍数，说明不是整数，导致矛盾所以不可能【答案】不可能【巩固】 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子问，能否做到：某2堆石子全部取光？3堆中的所有石子都被取走？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 要使得某两堆石子全部取光，只需使得其中有两堆的石子数目一样多，那么如果我们把最少的一堆先取光，只要剩下的两堆中有一堆数目是偶数，再平分一下就可以实现了而题中数字正好能满足要求所以，全部取光两堆是可以的对于第二个问题，要取走全部3堆，则必须3堆石子的总数是3的倍数才有可能，但1989、989、89之和并非3的倍数，所以是不可能的可以取光其中的两堆石子如进行如下的操作：第1堆 第二堆第三堆1989989891900 9000 (第一步：三堆各取走89块)1900450 450 (第二步：第二堆900是偶数，将其一半移入第三堆)1450 00 (第三步：三堆各取走450块)不能将三堆全部取光 因为每一次取走石子是从三堆中同时取走相同数目的石子，那么每次取走的石子数都是3的倍数，则不论怎么取，取走的石子总数是3的倍数，而，3067被3除余1，不是3的整数倍，所以不能将三堆石子全部取光【答案】可以；不能【例 9】 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币和真币的重量不同现需弄清楚伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】101枚硬币，如果进行称重的话应该保证天平两边的硬币数相等因此应该首先拿掉一个，把剩下的100枚硬币在天平两边各放50个如果这时天平两边重量相等的话，就说明剩下的那个是伪币只要任意拿出一个真币和这个伪币再称一次就可以知道真币和伪币那种比较重了如果天平两边重量不相等的话，就是说伪币还在这100个硬币中可以拿出其中比较轻的50个这时同样还是把他们分成两个25枚，分到天平两边称重如果两边重量相等，说明这50个硬币都是真的伪币在比较重的那50个中，因此伪币就应该比真币重如果两边重量不相等，说明伪币就在这50个比较轻的硬币中，显然伪币就应该比真币轻同样道理，也可以把比较重的那50个硬币分成两个25进行称重，同样也可以得出结论【巩固】 9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一次在左右两托盘各放置3个：(一)如果不平衡，那么较轻的一侧的3个中有一个是假的从中任取两个分别放在两托盘内：如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；如果平衡，剩下的一个是假的；(二)如果平衡，剩下的三个中必有一个为假的从中任取两个分别放在两托盘内：如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；如果平衡，剩下的那个是假的这类称量找假币的问题，一定要会分类，并尽量是每一类对应天平称量时的不同状态(轻，重，平)，所以分成3堆是很常见的分法【答案】能【巩固】 你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略.【答案】第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，第四瓶拿四个，称一下比标准的10个药丸重多少，重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染【例 10】 有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 通过对三个数字的分析，我们发现700-300-300=100，是计算步数最少的得到100的方法而由于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是：1大瓶往中瓶中倒满水2中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下400克水3小瓶中水倒回大瓶4中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩下100克水，标记5小瓶中水倒回大瓶6中瓶中100克水倒入小瓶，标记所以最少要倒6次水本题关键是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然无法再往小瓶中倒水的【答案】次【例 11】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1. 如此进行直到为1操作停止. 求经过9次操作变为1的数有多少个？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛，决赛【解析】 可以先尝试一下，得出下面的图：其中经1次操作变为1的1个，即2，经2次操作变为1的1个，即4，经3次操作变为1的2个，即3，8，经6次操作变为1的有8个，即11，24，10，28，13，30，64，31.于是，经1、2、次操作变为1的数的个数依次为1，1，2，3，5，8， 这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即211，321，532，853，如果这个规律正确，那么8后面的数依次是8513，13821，211334，即经过9次操作变为1的数有34个.为什么上面的规律是正确的呢？道理也很简单. 设经过次操作变为1的数的个数为,则1，1，2，从上面的图看出，比大. 一方面，每个经过次操作变为1的数，乘以2，就得出一个偶数，经过次操作变为1；反过来，每个经过次操作变为1的偶数，除以2，就得出一个经过次操作变为1的数. 所以经过次操作变为1的数与经过次操作变为1的偶数恰好一样多.前者的个数是,因此后者也是个.另一方面，每个经过次操作变为1的偶数，减去1，就得出一个奇数，它经过次操作变为1，反过来.每个经过次操作变为1的奇数，加上1，就得出一个偶数，它经过次操作变为1. 所以经过次操作变为1的偶数经过次操作变为1的奇数恰好一样多.而由上面所说，前者的个数就是,因此后者也是.经过1次操作变为1的数，分为偶数、奇数两类，所以 即上面所说的规律的确成立.满足规律，并且1的一串数 称为裴波那契数列，斐波那契（Fibonacci,约11751250）是意大利数学家，以他的名字命名的这种数列有很广泛的应用.【答案】34模块二、染色与操作（证明）【例 12】 六年级一班全班有名同学，共分成排，每排人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座如果要让这名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 建议建议教师在本讲可以以游戏的形式激发学生自主解决问题划一个的方格表，其中每一个方格表示一个座位将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格坐到白格但实际上图中有个黑格，个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到【答案】不能【例 13】 图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通有一个人打算从室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到室，问他的目的能否达到，为什么？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 采用染色法如右图，共有个展览室，对这个展览室，黑白相间地进行染色，从白室出发走过第扇门必至黑室，再由黑室走过第扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此将走过黑白相间的个展览室，再回到白室，共走过扇门由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室 现在，走过扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室【答案】无法回到【例 14】 右图是某套房子的平面图，共个房间，每相邻两房间都有门相通请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗? 【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如图所示，将房间黑白相间染色，发现有个白格，个黑格因为每次只能由黑格到白格或由白格到黑 格，路线必然黑白相间，这样白格数目与黑格数目之差最多为才能不重复，但图中黑格比白格多个，所以无法实现不重复走遍【答案】无法实现【巩固】 有一次车展共个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格由于入口处和出口处都是白格，而路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多个，而实际上白格、黑格都是个，故不可能做到不重复走遍每个展室【答案】不可能【例 15】 如右图，在方格的格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到格中?【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格所以，它由出发回到，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步而小方格为个，每格爬过一次，就应该为步，不是偶数于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到格【答案】不可能【例 16】 右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马众所周知，马是走“日”字的请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示：先在棋盘各交点处相间标上和，图中共有22个和23个因为马走“日”字，每步只能从跳到，或由跳到，所以马从某点跳到同色的点（指或），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有个点，所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点讨论：如果马的出发点不是在点上而是在点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它个点，要跳步，是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指或）因为步跳过的点与点各个，所以起点必是，终点也是也就是说，当不要求回到出发点时，只要从出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点【答案】不可能【巩固】 一只电动老鼠从右图的点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转当这只电动老鼠又回到点时，甲说它共转了次弯，乙说它共转了次弯如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？ 【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右图所示:格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少个格点就转了多少次弯如右上图所示，老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，所以甲正确【答案】甲正确模块三、染色与操作（剪拼）【例 17】 有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份应该怎样分？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 显然每人应该分+于是，拿4个苹果，每个苹果3等分；拿3个苹果，每个苹果4等分.【答案】拿4个苹果，每个苹果3等分；拿3个苹果，每个苹果4等分【例 18】 右图是由个大小相同的方格组成的图形试问能不能剪裁成个由相邻两方格组成的长方形？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 将这个小方格黑白相间染色（见右下图），有个黑格，个白格相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成个小长方形，那么个格应当是黑、白各个，与实际情况不符，所以不能剪裁成个由相邻两个方格组成的长方形【答案】不能【巩固】 你能把下面的图形分成个大小相同的长方形吗？动手画一画【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 可以通过染色发现黑白方格个数相同，可以按一黑一白分成块含有个小方格的长方形，答案如下（答案不唯一）：【答案】【巩固】 有6张电影票(如右图) ，想撕成相连的3张，共有_种不同的撕法.【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【解析】 形如的有2种，形如的有8种.所以共有（种）【答案】种【巩固】 右图是由个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成个相同的长方形？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 将个小正方形剪裁成个相同的长方形，就是将图形分割成个的小长方形，将图形黑白相间染色后，发现有黑，白，黑、白格数目不等，而的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到【答案】不可能【巩固】 右面的三个图形都是从44的正方形纸片上剪去两个11的小方格后得到的. 问：能否把它们分别剪成12的七个小矩形.【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右图（1）能，黑白格数相等；（2）（3）不能，黑白格数不等，而12的小矩形一次覆盖黑白格各一个.【答案】（1）能；（2）（3）不能【例 19】 用个的长方形能不能拼成一个的正方形？请说明理由【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题若用传统的自然染色法，不能解决问题因为要用来覆盖，我们对正方形用四种颜色染色为了方便起见，这里用、分别代表四种颜色为了使每个长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图这样，可以发现无论将长方形放于何处，盖住的必然是、各一个要不重叠地拼出，需个长方形，则必然盖住、各个但实际上图中一共是个、个、个、个，因而不可能用个长方形拼出正方形【答案】不可能【例 20】 能否用个所示的卡片拼成一个的棋盘？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 不能将的棋盘黑白相间染色（见右图），有个黑格而每张卡片盖住的黑格数只能是或者，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住个黑格【答案】不可能【巩固】 如右图，缺两格的方格有个格，能否用个图不重复地盖住它且不留空隙? 【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等但从染色后整个图来看，黑格个，白格个，故不可能将整个图不重不漏地盖住【答案】不可能【巩固】 用个和个能否盖住的大正方形？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右图，对的正方形黑白相间染色后，发现必然盖住白黑，个则盖住白黑则盖住了白黑或黑白，从奇偶性考虑，都是奇数而这种形状共个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加上另一种形状的白黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格但实际染色后共个白格个黑格，故不可能按题目要求盖住注意：本题中每个盖白黑或黑白，个这种形状盖住的不一定是白黑或黑白，因为可能一部分盖白黑，另一部分盖黑白这是一个容易犯错的地方【答案】不可能【例 21】 在的网格正方形(如图1)中用图2形状的图形来覆盖，要求图2的分割线落在正方形的网格线上为使所余部分不能再放下图2形状的图形，最少需用图2形状的图形 个 图1 图2【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【解析】 最少需要图2形状的图形11个每个的正方形至少被覆盖住2个小方格，才不能再放下图2形状的图形在的正方形中有16个的正方形，因此至少需要覆盖住个小方格而要覆盖住32个小方格至少需要11个图2形状的图形(10个只能覆盖个小方格)具体覆盖方法很多，这里仅给出几种供读者参考(如下图)【答案】11个【例 22】 用若干个和的小正方形能不能拼成一个的大正方形？请说明理由【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如图所示，将或的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有个，是奇数，所以只用和的小正方形，不可能拼成的大正方形【答案】不可能【巩固】 个正方形和个长方形能不能拼出的大正方形?请说明理由【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 若仍然将的大正方形黑白相间染色，则和两种形状盖住的都是两白两黑必须寻找其他的染色方法新的方法必须使得和长方形无论放在何处，都分别符合一定的规律采用如右图的染色方法，则：长方形必盖住两黑两白，共个，盖住黑白；长方形可盖住白黑或黑白可以发现，总共只能盖住黑白或白黑，而图中实际有个黑格个白格，故不可能用个和个的长方形盖住的大正方形对区域染色也可理解为对多个方格染色，但此时方格染色范围更广，染色方案更加灵活【答案】不可能【例 23】 有一批商品，每一件都是长方体形状，尺寸是现有一批现成的木箱，内空尺寸是，问：为什么不能用这些商品将木箱装满?【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】采用如右图的染色方法每件的商品必占个白的小立方体和个黑的小立方体在整个大正方体中，的黑正方体共有(个)故的黑正方体共：(个)白正方体共：(个)可见，的小立方体黑白总数不等，而每件的商品能占的黑白小立方体个数相同，故不可能用这种商品装满木箱而没有空隙模块四、操作问题（计算）【例 24】 对于任意一个自然数，当为奇数时，加上；当为偶数时，除以，这算一次操作现在对连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现？为什么？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到 这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到，但也不能肯定得不到当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现因为这一过程很长，所以这不是好方法我们可以从另一个方面来考虑，因为和都是的倍数，而不是的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是的倍数不是的倍数，所以不可能出现【答案】不可能【巩固】 小牛对小猴说：“对一个自然数进行系列变换：当是奇数时，则加上2007；当是偶数时，则除以2现在对2004连续做这种变换，变换中终于出现了数2008”小猴说：“你骗人！不可能出现2008”请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 试着按照规则进行变换，得到的结果依次如下：2004，1002，501，2508，1254，627，2634，1317，3324，1662，831，2838，从中发现不了什么规律，所以应该从另外的角度进行分析观察可知2004和2007都是3的倍数，那么不论变换多少次，得到的数也还是3的倍数而2008不是3的倍数，所以不可能出现2008【答案】小猴【例 25】 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、2009然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 从整体进行考虑所得的2009个和相加，便等于12009的所有数的总和的2倍，是个偶数2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数本题也可以考虑其中的奇数由于12009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数【答案】偶数【巩固】 先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：6 2 8 1 0 1 1 2 3 则这个整数的数字之和是 。【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空【解析】 这个2006位整数的前若干位如下：62810112358134711从第6位起，每10位数字循环出现一次，这10位数字之和为 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 + 3 + 4 + 7 = 35。（20065）10=2001，这个整数的数字之和是 6 + 2 + 8 + 1 + 0 + 35200 + 1 = 7018。【答案】7018【例 26】 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着然后转动圆盘，每次可以转动的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是？【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答【解析】 不可能因为每次加上的数之和都是，所以黑板上的四个数之和永远是的整数倍而，不是的倍数，所以黑板上的四个数不可都是【答案】不可都【例 27】