初三数学复习-数与式(知识点讲解).pdf

初三数学复习初三数学复习 数与式数与式 第一课时第一课时 实数的有关概念实数的有关概念【知识要点知识要点】（一）实数的有关概念 （1）实数的分类 当然还可以分为：正实数、零、负实数。有理数还可以分为：正有理数，零，负有理数 （2）数轴：数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，实数与数轴上的点是一一对应的实数与数轴上的点是一一对应的，我们还可以利用这种一、一对应关系来比较两个实数的大小。（3）绝对值 绝对值的代数意义：|()()()aa aaa a0000 绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。（4）相反数、倒数 实数 的相反数记为，非零实数 的倒数记为，零没有倒数。aaa1a 若 a、b 两个数为互为相反数，则 a+b=0。若 m、n 两个数互为倒数，则 mn=1。（5）三种非负数：|()aaa a，都表示非负数。20“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简，求值。（6）平方根、算术平方根、立方根的概念。如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有 一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根a(a0)的平方根记作 一个正数 a 的正的平方根，无限不循环小数无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数叫做 a 的算术平方根a(a0)的算术平方根记作（7）科学计数法、有效数字和近似值的概念。1.近似数：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位2.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字3.科学记数法：把一个数用(1 10，n 为整数)的形式记数的方法叫科学记数法【典型例题：典型例题：】P2P2 例例 1 1、(2012(2012 贵州六盘水，贵州六盘水，5 5，3 3 分分)数字2，13，38，cos45，0.32中无理数的个数是（）A1 B2 C3 D4点评：此题主要考查了无理数的定义，其中：（1）有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如 5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数（2）无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数（3）有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示；而无限不环小数不能化为分数，它是无理数P2 例 4、（2012湖北省恩施市，题号 16 分值 4）观察下表：根据表中数的排列规律，B+D=_.例题补充、例题补充、（20122012 河北省河北省 17,317,3 分）分）17、某数学活动小组的 20 位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加 1，第 1 位同学报111，第 2 位同学报121，这样得到的 20 个数的积为_.第二课时：实数的运算及比较大小第二课时：实数的运算及比较大小【知识要点知识要点】一、实数的运算一、实数的运算1.加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数3.乘法：几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负几个数相乘，有一个因数为0，积就为04.除法：除以一个数，等于乘上这个数的倒数两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数都得05.乘方与开方 (1)an所表示的意义是 n 个 a 相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方(3)零指数与负指数二、实数大小的比较二、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于 0，负数都小于 0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数 a、b，若 a-b0 ab；a-b=0 a=b；a-b0 ab.4.对于实数 a，b，c，若 ab，bc，则 ac.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果 ab0，a2b2 则 ab；或利用倒数转化：如比较 与.三、实数运算顺序三、实数运算顺序加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算这三级运算的顺序是三、二、一如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算四、实数的运算律四、实数的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc【典型例题：典型例题：】P3 例 3（2012 山东省聊城，10，3 分）如右图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称，A、B 两点对应的实数是3和-1，则点 C 所对应的实数是（）A.1+3 B.2+3 C.23-1 D.23+1P4 例 4(2012 广东汕头，21，7 分)观察下列等式：第 1 个等式：a1=（1）；第 2 个等式：a2=（）；第 3 个等式：a3=（）；第 4 个等式：a4=（）；请解答下列问题：（1）按以上规律列出第 5 个等式：a5=；（2）用含有 n 的代数式表示第 n 个等式：an=（n 为正整数）；（3）求 a1+a2+a3+a4+a100的值分析：（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为 1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的 2 倍减 1 和序号的 2倍加 1（3）运用变化规律计算第三课时：整式与因式分解第三课时：整式与因式分解（1 1）：【整式知识梳理整式知识梳理】代数式的分类 1.整式有关概念 （1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。单项式中_叫做这个单项式的系数；单项式中_叫做这个单项式的次数；（2）多项式：几个 的和，叫做多项式。_ 叫做常数项。多项式中_的次数，就是这个多项式的次数。多项式中_的个数，就是这个多项式的项数。2.同类项、合并同类项（1）同类项：_ 叫做同类项；（2）合并同类项：_ 叫做合并同类项；（3）合并同类项法则：（4）去括号法则：括号前是“”号，_ 括号前是“”号，_ （5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；括号前是“”号，括到括号里的各项的符号都 。3.整式的运算（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。（2）整式的乘除法：4.幂的运算：同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。即：（,都是正整数）。nmnmaaamn 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：（,都是正整数）。mnnmaamn 积的乘方等于每一个因数乘方的积。即：（是正整数）nnnbaabn同底数幂相除，底数不变，指数相减。即：（），nmnmaaa，（）0a pa是正整数pa,05、整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。（2）单项式乘以多项式：。（3）乘法公式：平方差：。完全平方公式：。6.整式的除法：（1）单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于无理式分式多项式单项式整式有理式代数式只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加7.代数式的化简求值 含有绝对值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性；整式的化简求值常常要灵活运用配方法、换元法、整体代换思想和构造思想；分式的化简求值一般可对分子、分母的多项式因式分解、约分。再运用分式的性质化简计算；二次根式的化简求值一般应先考虑能否利用二次根式的性质，配方法、乘法公式等化简计算。（2 2）【因式分解知识梳理因式分解知识梳理】1分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式2分解困式的方法：提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 运用公式法：平方差公式:；完全平方公式:；3分解因式的步骤：（1）分解 因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法 分解（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。【典型例题：典型例题：】P6例4、分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的结果是（）A（x-1）（x-2）Bx2 C（x+1）2 D（x-2）2 P6 例 5(2012 年浙江省宁波市,20,6)同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第 5 个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有 2013 颗棋子？说明理由。第 1个第 2个第 3个第 4个 第四课时第四课时 分式分式【整式知识梳理整式知识梳理】1分式有关概念（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式分式。对于一个分式来说：当_时分式有意义。当_时分式没有意义。只有在同时满足_，且_这两个条件时，分式的值才是零。（2）最简分式：一个分式的分子与分母_时，叫做最简分式。（3）约分：把一个分式的分子与分母的_约去，叫做分式的约分。将一个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母_，然后约去分子与分母的_。（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与_相等的_的分式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的_ 。（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：当分母是多项式时，一般应先 ；如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；若分母的系数是负数，一般先把“”号提到分式本身的前边。2分式性质：（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的值 （2）符号法则：_、_ 与_的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。即：3.分式的运算：注意：为运算简便，若分式的分子与分母的各项系数是分数或小数时，一般要化为整数。若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。（1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进行计算（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_做积的分子，_做积的分母，公式：_；分式除以分式，把除式的分子、分母_后，与被除式相乘，公式：；（3）分式乘方是_，公式_。4分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。5对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值【典型例题：典型例题：】类型一：分式的基本性质类型一：分式的基本性质 例例2 2、（、（20122012浙江省义乌市，浙江省义乌市，8 8，3 3分）分）下列计算错误的是()A A B B C C D D类型二：分式化简求值类型二：分式化简求值例、例、20122012 广东肇庆，广东肇庆，2020，7 7）先化简，后求值：1)111(2xxx，其中x=-4babababa727.02.0yxyxyx32231abbaccc321 第五课时第五课时 数的开方与二次根式数的开方与二次根式【知识梳理知识梳理】1.二次根式：形如（a0）的式子叫做二次根式。a注意：（1）在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 a0 是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而a521x，等都不是二次根式。52x（2）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时，有意义，是二次根式，所以要使a二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。（3 3）二次根式）二次根式（a0）的非负性的非负性（a0）表示 a 的算术平方根，也就是说，（a0）是一个aaa非负数，即0（a0）。a2.、最简二次根式：同时满足：被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；被开方数中含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。3.、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。4.、二次根式的性质（1）（a0）2()aa描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注意：二次根式的性质公式（a0）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过2()aa来应用：若 a0，则，如：，。2()aa22(2)211()22（2 2）2(0)(0)a aaaa a描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注意：、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，2a即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即2(0)aaa a；21.41431.73252.236 72.646；、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义；2a2a、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。2aa（3）与与的异同点的异同点2()a2a不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表2()a2a2()a2a示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0，负实数。但2()a2a与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，2()a2a2()0a20a（a0），而、相同点：当被开方数都是非负数，即 a0 时，2()aa2(0)(0)a aaaa a=；a0 时，无意义，而。2()a2a2()a2aa 5 5、二次根式的运算、二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式（a0，b0）；（b0，a0）ababbbaa（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算【典型例题：典型例题：】类型一：二次根式概念类型二：二次根式的计算类型三：二次根式的比较大小类型四：二次根式的非负性