二项式知识点+十大问题+练习(含答案).pdf

1二项式定理：，011()()nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC bnN2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。()nab二项式系数:展开式中各项的系数.rnC(0,1,2,)rn项数：共项，是关于与的齐次多项式(1)r ab通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表1r rn rrnC ab1rn rrrnTC ab示。3注意关键点：项数：展开式中总共有项。(1)n顺序：注意正确选择,其顺序不能更改。与是不同的。ab()nab()nba指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。an0b0n各项的次数和等于.n系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。012,.rnnnnnnCC CCCab4常用的结论：令 1,abx0122(1)()nrrnnnnnnnxCC xC xC xC xnN令 1,abx 0122(1)(1)()nrrnnnnnnnnxCC xC xC xC xnN 5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，0nnnCC1kknnCC二项式系数和：令,则二项式系数的和为1ab，0122rnnnnnnnCCCCC 变形式。1221rnnnnnnCCCC奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，1,1ab 0123(1)(1 1)0nnnnnnnnCCCCC 从而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1,(1)1,(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxC a xC axC axC a xaa xa xa xxaC a xC axC a xC a xa xa xa xaxaaaaaaxaaaaaa 令则令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2nnnnnnaaaaaaaaaaaa得奇数项的系数和得偶数项的系数和二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数n取得最大值。2nnC 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,n12nnC同时取得最大值。12nnC系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项()nabx系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。121,nA AA1r 112rrrrAAAAr专题一专题一题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .nnnnnnCCCC 解：与已知的有一些差距，012233(16)6666nnnnnnnnCCCCC 123211221666(666)6nnnnnnnnnnnCCCCCCC 0122111(6661)(16)1(71)666nnnnnnnnCCCC 练：1231393 .nnnnnnCCCC解：设，则1231393nnnnnnnSCCCC122330122333333333331(1 3)1nnnnnnnnnnnnnnnSCCCCCCCCC(1 3)14133nnnS题型二：利用通项公式求的系数；nx例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？3241()nxx3453x解：由条件知，即，解得，245nnC245nC 2900nn9()10nn 舍去或由，由题意，2102110343411010()()rrrrrrrTCxxC x1023,643rrr解得则含有的项是第项,系数为。3x76336 110210TC xx210练：求展开式中的系数？291()2xx9x解：，令,则2918 218 31999111()()()()222rrrrrrrrrrrTCxC xxCxx1839r3r 故的系数为。9x339121()22C 题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式的展开式中的常数项？2101()2xx解：，令，得，所以5202 1021101011()()()22rrrrrrrTCxCxx52002r8r 88910145()2256TC练：求二项式的展开式中的常数项？61(2)2xx解：，令，得，所666 216611(2)(1)()(1)2()22rrrrrrrrrrTCxCxx 620r3r 以3346(1)20TC 练：若的二项展开式中第项为常数项，则21()nxx5_.n 解：，令，得.4244421251()()nnnnTCxC xx2120n6n 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式展开式中的有理项？93()xx解：，令,()得12719362199()()(1)rrrrrrrTCxxC x 276rZ09r，39rr或所以当时，3r 2746r334449(1)84TC xx 当时，。9r 2736r3933109(1)TC xx 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若展开式中偶数项系数和为，求.2321()nxx256n解：设展开式中各项系数依次设为2321()nxx01,na aa ,则有，,则有1x 令010,naaa1x 令0123(1)2,nnnaaaaa 将-得：1352()2,naaa 11352,naaa 有题意得，。1822562n 9n练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。35211()nxx1024解：，解0242132112rrnnnnnnnnCCCCCCC121024n得11n 所以中间两个项分别为，6,7nn5654355 1211()()462nTCxxx61156 1462Tx题型六：最大系数，最大项；例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展1(2)2nx567开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：解出，当时，展开式中二46522,21980,nnnCCCnn714nn或7n 项式系数最大的项是，45TT和34347135()2,22TC的系数当时，展开式中二项式系数最大的项是，434571()270,2TC的系数14n 8T。7778141C()234322T的系数练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？2()nab解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是2n2112nnTT第项。1n练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？31()2nxx5解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于5152n 8n 6281()72C例：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？7()ab解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时74,5第项取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。34347TC a b 43457TC a b例：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？791(2)2nx解：由解出,假设项最大，01279,nnnCCC12n 1rT12121211(2)()(14)22xx，化简得到，又，1111212111212124444rrrrrrrrrrrrAACCAACC9.410.4r012r，展开式中系数最大的项为,有10r 11T121010101011121()4168962TCxx练：在的展开式中系数最大的项是多少？10(12)x解：假设项最大，1rT1102rrrrTCx，化简得到111010111121010222(11)12(10)22,rrrrrrrrrrrrCCAArrAArrCC 解得，又，展开式中系数最大的项为6.37.3k010r7r 7777810215360.TCxx题型七：含有三项变两项；例：求当的展开式中的一次项的系数？25(32)xxx解法：，当且仅当时，2525(32)(2)3 xxxx2515(2)(3)rrrrTCxx1r 的展开式中才有 x 的一次项，此时，所以得一1rT124125(2)3rTTCxxx次项为144542 3C Cx它的系数为。144542 3240C C解法：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)xxxxC xC xCC xC xC 故展开式中含的项为，故展开式中的系数为 240.x4554455522240C xCC xxx练：求式子的常数项？31(2)xx解：，设第项为常数项，则3611(2)()xxxx1r，得,66 261661(1)()(1)rrrrrrrTCxCxx 620r3r.333 16(1)20TC 题型八：两个二项式相乘；例：342(12)(1)xxx求展开式中的系数.解：333(12)(2)2,mmmmmxxx的展开式的通项是CC444(1)C()C1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,nnnnnxxxmn 的展开式的通项是其中 342,02,11,20,(12)(1)mnmnmnmnxx令则且且且因此.20022111122003434342(1)2(1)2(1)6xCCCCCC 的展开式中的系数等于练：610341(1)(1)xx求展开式中的常数项.解：436103341261061041(1)(1)mnmnmnmnxC xC xCCxx展开式的通项为0,3,6,0,1,2,6,0,1,2,10,43,0,4,8,mmmmnmnnnn其中当且仅当即或或.0034686106106104246CCCCCC时得展开式中的常数项为练：2*31(1)(),28,_.nxxxnNnnx已知的展开式中没有常数项且则解：3431()CC,nrn rrrnrnnxxxxx展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得44142C,C,C,28rnrrnrrnrnnnxxxn展开式中不含常数项441424,83,72,6,5.nrnrnrnnnn且且，即且且题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：2006(2),2,_.xxSxS在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当时解：2006123200601232006(2)xaa xa xa xax设=-2006123200601232006(2)xaa xa xa xax=-3520052006200613520052()(2)(2)a xa xa xaxxx得2006200620061(2)()(2)(2)2xS xxx展开式的奇次幂项之和为3 20062200620063008122,(2)(22)(22)222xS 当时题型十：赋值法；例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若31(3)nxxps,则等于多少？272psn解：若，有，230121(3)nnnxaa xa xa xx01nPaaa，02nnnnSCC 令得，又,即解得1x 4nP 272ps42272(217)(216)0nnnn，.216217()nn 或舍去4n练：若nxx13的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？64解：令，则nxx13的展开式中各项系数之和为，所以6n，则展1x 264n开式的常数项为33361(3)()Cxx.540 例：200912320092009120123200922009(1 2)(),222aaaxaa xa xa xaxxR若则的值为解：2009200912120022009220091,0,2222222aaaaaaxaa 令可得 20091202200901,1.222aaaxa 在令可得因而练：55432154321012345(2),_.xa xa xa xa xa xaaaaaa若则解：0012345032,11,xaxaaaaaa 令得令得1234531.aaaaa题型十一：整除性；例：证明：能被 64 整除22*389()nnnN证：2211389989(8 1)89nnnnnn011121111111888889nnnnnnnnnnCCCCCn011121118888(1)1 89nnnnnnCCCnn 01112111888nnnnnnCCC由于各项均能被 64 整除22*389()64nnnN能被整除1、(x1)11展开式中 x 的偶次项系数之和是 1、设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是10242/)2(2)1(f)1(f112、2、4nnnn2n21n0nC3C3C3C3、的展开式中的有理项是展开式的第 项奎屯王新敞新疆203)515(3、3,9,15,21 4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令 x=1，则所求和为 35奎屯王新敞新疆5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中 x4的系数奎屯王新敞新疆5、,要得到含 x4的项，必须第一个因式中的 1 与93102)x1)(x1()x1)(xx1(1-x)9展开式中的项作积，第一个因式中的x3与(1-x)9展开式中的项449)x(C 作积，故 x4的系数是奎屯王新敞新疆)x(C19135CC49196、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中 x3的系数奎屯王新敞新疆6、=，原式中 x3)x1(1)x1(1)x1(x1)x1()x1(10102）（xxx)1()1(11实为这分子中的 x4，则所求系数为奎屯王新敞新疆711C7、若展开式中，x 的系数为 21，问 m、n 为何值时，)Nnm()x1()x1()x(fnmx2的系数最小？7、由条件得 m+n=21，x2的项为，则因22n22mxCxC.4399)221n(CC22n2mnN，故当 n=10 或 11 时上式有最小值，也就是 m=11 和 n=10，或 m=10 和 n=11 时，x2的系数最小奎屯王新敞新疆8、自然数 n 为偶数时，求证：1nnn1nn4n3n2n1n23CC2CC2CC218、原式=1n1nn1nn5n3n1nnn1nn2n1n0n2.322)CCCC()CCCCC(9、求被 9 除的余数奎屯王新敞新疆11809、,)(1811818181)181(80101110111110111111ZkkCCCkZ,9k-1Z，被 9 除余 8奎屯王新敞新疆118110、在(x2+3x+2)5的展开式中，求 x 的系数奎屯王新敞新疆10、5552)2x()1x()2x3x(在(x+1)5展开式中，常数项为 1，含 x 的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为x5C1525=32，含 x 的项为 x80 x2C415 展开式中含 x 的项为，此展开式中 x 的系数为 240奎屯王新敞新疆x240)32(x5)x80(111、求(2x+1)12展开式中系数最大的项奎屯王新敞新疆11、设 Tr+1的系数最大，则 Tr+1的系数不小于 Tr与 Tr+2的系数，即有 1r12r121r12r12r111r12r12r12r131r12r12r12CC2C2C12C2C2C2C 4r,314r313展开式中系数最大项为第 5 项，T5=44412x7920 xC16