圆的垂径定理试题汇总.pdf

20132013 中考全国中考全国 100100 份试卷分类汇编圆的垂径定理份试卷分类汇编圆的垂径定理1、（2013 年潍坊市）如图，O 的直径 AB=12，CD 是O 的弦，CDAB，垂足为 P，且BP：AP=1:5,则 CD 的长为（）.A.24 B.28 C.52 D.54 2、(2013 年黄石)如右图，在Rt ABCA中，90ACB，3AC，4BC，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A.95 B.245 C.185 D.523、(2013 河南省)如图，CD 是OA的直径，弦ABCD于点 G，直线EF与OA相切与点 D，则下列结论中不一定正确的是（）A.AGBG B.ABBF C.ADBC D.ABCADC4、（2013泸州）已知O 的直径 CD=10cm，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，且 AB=8cm，则 AC的长为（）A.cm B.cm C.cm 或cm D.cm 或cm5、（2013广安）如图，已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直，垂足为点 C，若 AB=8cm，CD=3cm，则圆 O的半径为（）A.cm B.5cm C.4cm D.cm6、（2013绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离 CD 为 8m，桥拱半径 OC为 5m，则水面宽 AB 为（）A.4m B.5m C.6m D.8m7、（2013温州）如图，在O 中，OC弦 AB 于点 C，AB=4，OC=1，则 OB 的长是（）A.B.C.D.8、（2013嘉兴）如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交O 于点 E，连结 EC若AB=8，CD=2，则 EC 的长为（）A.2 B.C.D.9、（2013莱芜）将半径为 3cm 的圆形纸片沿 AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心 O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A.B.C.D.3210、（2013徐州）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 P若 CD=8，OP=3，则O 的半径为（）A.10 B.8 C.5 D.311、(2013 浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB=10，水面宽 AB=16，则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是 A.4 B.5 C.6 D.812、（2013宜昌）如图，DC 是O 直径，弦 ABCD 于 F，连接 BC，DB，则下列结论错误的是（）A.B.AF=BF C.OF=CF D.DBC=9013、（2013毕节地区）如图在O 中，弦 AB=8，OCAB，垂足为 C，且 OC=3，则O 的半径（）A.5 B.10 C.8 D.614、（2013南宁）如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且 AE=CD=8，BAC=BOD，则O 的半径为（）A.4 B.5 C.4 D.315、（2013 年佛山）半径为 3 的圆中，一条弦长为 4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.5 D.716、（2013 甘肃兰州 4 分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB 宽为 8cm，水面最深地方的高度为 2cm，则该输水管的半径为（）A3cm B4cm C5cm D6cm17、（2013内江）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0），直线y=kx3k+4 与O 交于 B、C 两点，则弦 BC 的长的最小值为 18、（13 年安徽省 4 分、10）如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接圆O 上的点，在以下判断中，不正确的是（）19、（2013宁波）如图，AE 是半圆 O 的直径，弦 AB=BC=4，弦 CD=DE=4，连结 OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为 图 20 图 21 图 2220、（2013宁夏）如图，将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为 cm21、（2013包头）如图，点 A、B、C、D 在O 上，OBAC，若BOC=56，则ADB=度22、（2013株洲）如图 AB 是O 的直径，BAC=42，点 D 是弦 AC 的中点，则DOC 的度数是度 图图 2323 图图 2424 图图 2525 图图 2626 图图 2727 图图 282823、（2013黄冈）如图，M 是 CD 的中点，EMCD，若 CD=4，EM=8，则所在圆的半径为24、（2013绥化）如图，在O 中，弦 AB 垂直平分半径 OC，垂足为 D，若O 的半径为 2，则弦AB 的长为25、（2013 哈尔滨）如图，直线 AB 与O 相切于点 A，AC、CD 是O 的两条弦，且 CDAB，若O 的半径为52，CD=4，则弦 AC 的长为 26、（2013张家界）如图，O 的直径 AB 与弦 CD 垂直，且BAC=40，则BOD=27、（2013遵义）如图，OC 是O 的半径，AB 是弦，且 OCAB，点 P 在O 上，APC=26，则BOC=度28、（2013 陕西）如图，AB 是O的一条弦，点 C 是O上一动点，且ACB=30，点 E、F 分别是 AC、BC 的中点，直线 EF 与O交于 G、H 两点，若O的半径为 7，则 GE+FH 的最大值为 29、（2013 年广州市）如图 7，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，P与x轴交于 O,A 两点，点A的坐标为（6,0），P的半径为13，则点 P 的坐标为 _.30、(2013 年深圳市)如图 5 所示，该小组发现 8 米高旗杆 DE 的影子 EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高 1.6 米，测得其影长为2.4 米，同时测得 EG 的长为 3 米，HF 的长为 1 米，测得拱高（弧 GH 的中点到弦 GH 的距离，即MN 的长）为 2 米，求小桥所在圆的半径。31、（2013白银）如图，在O 中，半径 OC 垂直于弦 AB，垂足为点 E（1）若 OC=5，AB=8，求 tanBAC；（2）若DAC=BAC，且点 D 在O 的外部，判断直线 AD 与O 的位置关系，并加以证明32、（2013黔西南州）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 与点 E，点 P 在O 上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若 BC=3，sinP=35，求O 的直径33、（2013恩施州）如图所示，AB 是O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧 AE 的中点，过 C 作 CDAB于点 D，CD 交 AE 于点 F，过 C 作 CGAE 交 BA 的延长线于点 G（1）求证：CG 是O 的切线（2）求证：AF=CF（3）若EAB=30，CF=2，求 GA 的长34、（2013资阳）在O 中，AB 为直径，点 C 为圆上一点，将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D，连结 CD（1）如图 1，若点 D 与圆心 O 重合，AC=2，求O 的半径 r；（2）如图 2，若点 D 与圆心 O 不重合，BAC=25，请直接写出DCA 的度数参考答案参考答案1、【答案】D 【考点】垂径定理与勾股定理.【点评】连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决.2、【答案】C 【解析】由勾股定理得 AB5，则 sinA45，作 CEAD 于 E，则 AEDE，在 RtAEC 中，sinACEAC，即453CE，所以，CE125，AE95，所以，AD1853、【答案】C 【解析】由垂径定理可知:A 一定正确。由题可知：EFCD,又因为 ABCD,所以 ABEF,即 B一定正确。因为ABC 和ADC 所对的弧是劣弧，AC 根据同弧所对的圆周角相等可知 D 一定正确。4、【答案】C 【考点】垂径定理；勾股定理 【专题】分类讨论 【分析】先根据题意画出图形，由于点 C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论 【解答】解：连接 AC，AO，O 的直径 CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm，当 C 点位置如图 1 所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM=3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC=4cm；当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在 RtAMC 中，AC=2cm 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键5、【答案】A 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】连接 AO，根据垂径定理可知 AC=AB=4cm，设半径为 x，则 OC=x3，根据勾股定理即可求得 x 的值 【解答】解：连接 AO，半径 OD 与弦 AB 互相垂直，AC=AB=4cm，设半径为 x，则 OC=x3，在 RtACO 中，AO2=AC2+OC2，即 x2=42+（x3）2，解得：x=，故半径为cm 【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般6、【答案】D 【考点】垂径定理的应用；勾股定理 【分析】连接 OA，根据桥拱半径 OC 为 5m，求出 OA=5m，根据 CD=8m，求出 OD=3m，根据 AD=求出 AD，最后根据 AB=2AD 即可得出答案 【解答】【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理7、【答案】B 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】根据垂径定理可得 AC=BC=AB，在 RtOBC 中可求出 OB 【解答】解：OC弦 AB 于点 C，AC=BC=AB，在 RtOBC 中，OB=【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容8、【答案】D 【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理 【分析】先根据垂径定理求出 AC 的长，设O 的半径为 r，则 OC=r2，由勾股定理即可得出r 的值，故可得出 AE 的长，连接 BE，由圆周角定理可知ABE=90，在 RtBCE 中，根据勾股定理即可求出 CE 的长 【解答】【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键9、【答案】A 【考点】圆锥的计算 【分析】过 O 点作 OCAB，垂足为 D，交O 于点 C，由折叠的性质可知 OD 为半径的一半，而OA 为半径，可求A=30，同理可得B=30，在AOB 中，由内角和定理求AOB，然后求得弧AB 的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可 【解答】10、【答案】C 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】连接 OC，先根据垂径定理求出 PC 的长，再根据勾股定理即可得出 OC 的长 【解答】【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键11、【答案】C 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】根据垂径定理得出 AB2BC，再根据勾股定理求出 OC 的长 【解答】解：OCAB,AB16，BC 等于 AB8。在 RtBOC 中，OB10，BC8，6。12、【答案】C 【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理 【分析】根据垂径定理可判断 A、B，根据圆周角定理可判断 D，继而可得出答案 【解答】DC 是O 直径，弦 ABCD 于 F，点 D 是优弧 AB 的中点，点 C 是劣弧 AB 的中点，A、=，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误；D、DBC=90，正确，故本选项错误；【点评】本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般13、【答案】A 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】连接 OB，先根据垂径定理求出 BC 的长，在 RtOBC 中利用勾股定理即可得出 OB 的长度 【解答】【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键14、【答案】B 【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理 【分析】先根据BAC=BOD 可得出=，故可得出 ABCD，由垂径定理即可求出 DE 的长，再根据勾股定理即可得出结论 【解答】解：BAC=BOD，=，ABCD，AE=CD=8，DE=CD=4，设 OD=r，则 OE=AEr=8r，在 RtODE 中，OD=r，DE=4，OE=8r，OD2=DE2+OE2，即 r2=42+（8r）2，解得 r=5 【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键15、【答案】C 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】过点 O 作 ODAB 于点 D，由垂径定理可求出 BD 的长，在 RtBOD 中，利用勾股定理即可得出 OD 的长 【解答】【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出 OD 的长是解答此题的关键16、【答案】C 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】过点 O 作 ODAB 于点 D，连接 OA，由垂径定理可知 AD=AB，设 OA=r，则 OD=r2，在 RtAOD 中，利用勾股定理即可求 r 的值 【解答】【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键17、【答案】24 【考点】一次函数综合题 【分析】根据直线 y=kx3k+4 必过点 D（3，4），求出最短的弦 CD 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，再求出 OD 的长，再根据以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0），求出 OB 的长，再利用勾股定理求出 BD，即可得出答案 【解答】【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出 BC 最短时的位置18、【答案】C 【考点】圆和等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，三角形内角和定理。【分析】根据圆和等边三角形的性质逐一作出判断：当弦 PB 最长时，PB 是O 的直径，所以根据等边三角形的性质，BP 垂直平分 AC，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得 PAPC，即APC 是等腰三角形，判断 A 正确；当APC 是等腰三角形时，根据垂径定理，得 POAC，判断 B 正确；当 POAC 时，若点 P 在优弧 AC 上，则点 P 与点 B 重合，ACP60，则ACP60，判断 C 错误；当ACP30时，ABPACP30，又ABC60，从而PBC30；又BAC60，所以，BCP90，即PBC 是直角三角形，判断 D 正确。19、【答案】10 【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系 【分析】根据弦 AB=BC，弦 CD=DE，可得BOD=90，BOD=90，过点 O 作 OFBC 于点F，OGCD 于点 G，在四边形 OFCG 中可得FCD=135，过点 C 作 CNOF，交 OG 于点 N，判断CNG、OMN 为等腰直角三角形，分别求出 NG、ON，继而得出 OG，在 RtOGD 中求出 OD，即得圆O 的半径，代入扇形面积公式求解即可 【解答】【点评】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆 0 的半径，此题难度较大20、【答案】2 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】通过作辅助线，过点 O 作 ODAB 交 AB 于点 D，根据折叠的性质可知 OA=2OD，根据勾股定理可将 AD 的长求出，通过垂径定理可求出 AB 的长 【解答】【点评】本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用21、【答案】28 【考点】圆周角定理；垂径定理 【分析】根据垂径定理可得点 B 是中点，由圆周角定理可得ADB=BOC，继而得出答案 【解答】解：OBAC，=，ADB=BOC=28 【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半22、【答案】48 【考点】垂径定理 【分析】根据点 D 是弦 AC 的中点，得到 ODAC，然后根据DOC=DOA 即可求得答案 【解答】解：AB 是O 的直径，OA=OCA=42ACO=A=42 D 为 AC 的中点，ODAC，DOC=90DCO=9042=48 【点评】本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线23、【答案】【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】首先连接 OC，由 M 是 CD 的中点，EMCD，可得 EM 过O 的圆心点 O，然后设半径为x，由勾股定理即可求得：（8x）2+22=x2，解此方程即可求得答案 【解答】【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用24、【答案】2 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】连接 OA，由 AB 垂直平分 OC，求出 OD 的长，再利用垂径定理得到 D 为 AB 的中点，在直角三角形 AOD 中，利用垂径定理求出 AD 的长，即可确定出 AB 的长 【解答】【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键25、【答案】2 5 【考点】垂径定理；勾股定理；切线的性质 【分析】本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。【解答】连接 OA,作 OECD 于 E,易得 OAAB,CE=DE=2，由于 CDAB 得 EOA 三点共线，连 OC,在直角三角形 OEC 中,由勾股定理得 OE=32,从而 AE=4，再直角三角形 AEC 中由勾股定理得 AC=2 526、【答案】80 【考点】圆周角定理；垂径定理 【分析】根据垂径定理可得点 B 是中点，由圆周角定理可得BOD=2BAC，继而得出答案 【解答】解：，O 的直径 AB 与弦 CD 垂直，=，BOD=2BAC=80 【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半27、【答案】52 【考点】圆周角定理；垂径定理 【分析】由 OC 是O 的半径，AB 是弦，且 OCAB，根据垂径定理的即可求得：=，又由圆周角定理，即可求得答案 【解答】解：OC 是O 的半径，AB 是弦，且 OCAB，=，BOC=2APC=226=52 【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用28、【答案】14-3.5=10.5 【考点】此题一般考查的是与圆有关的计算，考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系，及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。【解析】本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接 OA，OB，因为ACB=30，所以AOB=60，所以 OA=OB=AB=7，因为 E、F 中 AC、BC 的中点，所以EF=AB21=3.5，因为 GE+FH=GHEF，要使 GE+FH 最大，而 EF 为定值，所以 GH 取最大值时 GE+FH有最大值，所以当 GH 为直径时，GE+FH 的最大值为 14-3.5=10.529、【答案】（3，2）【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】过点 P 作 PDx 轴于点 D，连接 OP，先由垂径定理求出 OD 的长，再根据勾股定理求出 PD 的长，故可得出答案 【解答】【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键30、【答案】5m 【考点】垂径定理；勾股定理 【解答】31、【考点】切线的判定；勾股定理；垂径定理 【分析】（1）根据垂径定理由半径 OC 垂直于弦 AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出 OE=3，则 EC=2，然后在 RtAEC 中根据正切的定义可得到 tanBAC 的值；（2）根据垂径定理得到 AC 弧=BC 弧，再利用圆周角定理可得到AOC=2BAC，由于DAC=BAC，所以AOC=BAD，利用AOC+OAE=90即可得到BAD+OAE=90，然后根据切线的判定方法得 AD 为O 的切线 【解答】【点评】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理32、【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义 【分析】（1）要证明 CBPD，可以求得1=P，根据=可以确定C=P，又知1=C，即可得1=P；（2）根据题意可知P=CAB，则 sinCAB=，即=35，所以可以求得圆的直径 【解答】【点评】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键33、【考点】切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 【分析】（1）连结 OC，由 C 是劣弧 AE 的中点，根据垂径定理得 OCAE，而 CGAE，所以CGOC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连结 AC、BC，根据圆周角定理得ACB=90，B=1，而 CDAB，则CDB=90，根据等角的余角相等得到B=2，所以1=2，于是得到 AF=CF；（3）在 RtADF 中，由于DAF=30，FA=FC=2，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 DF=1，AD=，再由 AFCG，根据平行线分线段成比例得到 DA：AG=DF：CF然后把 DF=1，AD=，CF=2 代入计算即可 【解答】【点评】本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定34、【考点】垂径定理；含 30 度角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）【分析】（1）过点 O 作 OEAC 于 E，根据垂径定理可得 AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在 RtAOE 中，利用勾股定理列式计算即可得解；（2）连接 BC，根据直径所对的圆周角是直角求出ACB，根据直角三角形两锐角互余求出B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据ACD 等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解 【解答】【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键