高等代数(北大版第三版)习题答案.doc

高等代数（北大*第三版）答案
目录

第一章 多项式
第二章 行列式
第三章 线性方程组
第四章 矩阵
第五章 二次型
第六章 线性空间
第七章 线性变换
第八章 —矩阵
第九章 欧氏空间
第十章 双线性函数与辛空间

注：
答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！

第九章 欧氏空间

1.设是一个阶正定矩阵,而
, ,
在中定义内积,
1) 证明在这个定义之下, 成一欧氏空间；
2) 求单位向量
, , … , ，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见是上的一个二元实函数，且
(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4) ，
由于是正定矩阵，因此是正定而次型，从而，且仅当时有。
2)设单位向量
, , … , ，
的度量矩阵为，则
=，，
因此有。
4) 由定义，知
，，，
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为

2.在中,求之间(内积按通常定义)，设:
1) , ，
2) , ，
3) , 。
解 1)由定义,得
，
所以
。
2)因为
，
，
，
，
所以
。
3)同理可得
, , , ，
所以。
3. 通常为的距离，证明；
。
证 由距离的定义及三角不等式可得

。
4在R中求一单位向量与正交。
解 设与三个已知向量分别正交，得方程组
，
因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令
x，即。
再将其单位化，则
，
即为所求。
5．设是欧氏空间V的一组基，证明：
1） 如果使，那么。
2） 如果使对任一有，那么。
证 1)因为为欧氏空间V的一组基，且对，有
，
所以可设，
且有

即证。
2)由题设，对任一总有，特别对基也有
，或者，
再由1)可得，即证。
6设是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：

也是一组标准正交基。
证 因为

，
同理可得
，
另一方面

，
同理可得
，
即证也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。
7.设也是五维欧氏空间中的一组标准正交基, ，其中
, , ，
求 的一组标准正交基。
解 首先证明线性无关.事实上，由
，
其中 的秩为3，所以线性无关。
将正交化，可得
，
，
单位化，有
，
，
，
则为 的标准正交基。
8. 求齐次线性方程组

的解空间(作为的子空间)的一组标准正交基。
解 由

可得基础解系为
，，，
它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得
，
， ，
再将单位化,可得
，，，
则就是所求解空间的一组标准正交基。
9.在R[X]中定义内积为(f,g)= 求R[X]的一组标准正交基(由基1.出发作正交化)。
解 取R[X]的一组基为将其正交化,可得，
，其中(，又因为
，
， ，
所以，
同理可得，
再将单位化，即得，
，，，
则即为所求的一组标准正交基。
10.设V是一n维欧氏空间,是V中一固定向量,
1)证明:V是V的一个子空间；
2)证明:V的维数等于n-1。
证 1)由于0因而V非空.下面证明V对两种运算封闭.事实上,任取
则有 (，于是又有(，
所以。另一方面，也有 (， 即。故V是V的一个子空间。
2)因为是线性无关的，可将其扩充为V的一组正交基，且( (，。下面只要证明:对任意的可以由线性表出，则的维数就是。
事实上，对任意的，都有，于是有线性关系，且 ，
但有假设知 ，
所以，又因为，故，从而有，
再由的任意性，即证。
11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。
证：1）设与是欧氏空间的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是和，另外，设到的过渡矩阵为，即 ，

=
=
=，
另一方面,令
，
则D的元素为
，
故的元素
，
即证。再由皆为V的基，所以C非退化，从而B与A合同。
2）在欧氏空间V中，任取一组基，它的度量矩阵为其中，且度量矩阵A是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即。于是只要
，
则由上面1）可知基的度量矩阵为E ，这就是说，就是所求的标准正交基。
12．设是n维欧氏空间V中的一组向量，而
证明：当且仅当时线性无关。
证 设有线性关系
，
将其分别与取内积，可得方程组
，
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。
13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。
证 设
为上三角矩阵，则也是上三角矩阵。由于A是正交阵，所以，即
，
所以，因而
为对角阵。再由知，即证或-1。
14．1）设A为一个n阶矩阵，且，证明A可以分解成
A=QT，
其中Q是正交矩阵，T是一上三角矩阵
，
且，并证明这个分解是唯一的；
2)设A是n阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T，使
。
证 1)设A的n个列向量是由于，因此是线性无关的。从而它们也是V的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为
，
其中
，
，
其中。即
，
令，则T是上三角矩阵,且主对角线元素。
另一方面，由于是n维列向量，不妨记为
，
且令
，
则有,由于是一组标准正交基，故是正交矩阵。
再证唯一性，设是两种分解，其中是正交矩阵，是主对角线元素大于零的上三角阵，则，由于也是正交矩阵,且为上三角阵，因此, 是主对角线元为1或-1的对角阵，但是的主对角线元大于零，所以的主对角线元只能是1，故，即证。进而有,从而分解是唯一的。
2)因为是正定的，所以与合同，即存在可逆阵使,再由1)知,其中是正交矩阵为三角阵，所以。
15.设是欧氏空间中一单位向量，定义，
证明:1)是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射；
2) 是第二类的；
3)如果维欧氏空间中正交变换以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间的维数为，那么是镜面反射。
证:1),有:
，
所以是线性变换。
又因为
，
注意到，故,此即是正交变换。
2)由于是单位向量，将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基,则
，

即 ，
所以是第二类的。
3) 的特征值有个，由已知有个特征值为1，另一个不妨设为，则存在一组基使，
因为是正交变换，所以，
但，所以，于是

现令，则是单位向量，且与正交，则为欧氏空间 的 一组基。又因为
，
，
，
所以 ，即证。
16.证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数。
证:设是属于特征值的特征向量，即，则
，
于是 ，
令，可得，即证。
17.求正交矩阵使成对角形，其中为
1) 2) 3)
4) 5)
解1）由
，
可得A的特征值为。
对应的特征向量为

将其正交单位化，可得标准正交基为

故所求正交矩阵为
且。
2）由，
可得 A的特征值为。
的特征向量为

的特征向量为

正交化，可得
，
再单位化，有:，
于是所求正交矩阵为
且。
3）由，
可得 A的特征值为，
相应的特征向量为
，
，
将其正交单位化，可得标准正交基为
，
，
故所求正交矩阵为
且。
4）由，
可得A的特征值为。
相应的特征向量为
，
，
正交化后得
，
，
再单位化，可得
，
，
故所求正交矩阵为
且 。
5）由，
可得的特征值为。
相应的特征向量为
，
，
将其正交化，可得
，
，
再单位化后，有
，
，
故所求正交矩阵为
且。
18用正交线性替换化下列二次型为标准形：
1）；
2）；
3）；
4）。
解 1)设原二次型对应的矩阵为A，则
，
且A的特征多项式为
，
特征值为
，
相应的特征向量为
，
，
单位化后，有
，
令X=TY，其中
，
则
。
2)原二次型对应的矩阵为
，
且A的特征多项式为
，
特征值为
。
相应的特征向量为
，
正交化,可得
，
再单位化,有
，
令X=TY，其中
，
则
。
3)原二次型对应的矩阵为
，
且A的特征多项式为
，
特征值为
。
相应的特征向量为
，
，
标准正交基为
，
，
令X=TY，其中
，
则
。
4)原二次型对应的矩阵为
，
且A的特征多项式为
，
特征值为
。
相应的特征向量为
，
，
标准正交基为
，
，
令X=XY，其中
，
故
。
19.设A是n级实对称矩阵，证明：A正定的充分必要条件是A的特征多项式的根全大于零。
证明 二次型经过正交变换X=TY，可使
，
其中为A的特征根。由于A为正定的充分必要条件是上式右端的二次型为正定，而后者为正定的充分必要条件是，即证。
20.设A是n级实矩阵，证明：存在正交矩阵T使为三角矩阵的充分必要条件是A的特征多项式的根是实的。
证明 为确定起见，这里三角矩阵不妨设为上三角矩阵。
先证必要性，设
，
其中T，A均为实矩阵，从而都是实数。又因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以
从而A的n个特征根均为实数。
再证充分性，设为A的所有不同的实特征根，则A与某一若尔当形矩阵J相似，即存在可逆实矩阵，使
，
其中
，
而
，
由于都是实数,所以J为上三角实矩阵。
另一方面，矩阵可以分解为
，
其中是正交矩阵，为上三角矩阵，于是
，
即
。
由于都是上三角矩阵，因而它们的乘积也为上三角矩阵，即证充分性。
21.设A，B都是上三角实对称矩阵，证明；存在正交矩阵T使的充分必要条件是A，B的特征多项式的根全部相同。
证明 必要性是显然的，因为相似矩阵有相同的特征值。
现证充分性，设是A的特征根，则它们也是B的特征根。于是存在正交矩阵X和Y，使
，
所以
YXAXY=B。
令T=XY则T也是正交矩阵，从而TAT=B,，即 证。
22.设A是n级实对称矩阵，且A=A，证明：存在正交矩阵T使得
TAT=。
证 设是A的任一特征值，是属于的特征向量，则
A=, A=A()=A=，
由于
A=A=(-)=0，
又因为，所以-=0，即得
=0,=1。
换句话说，A的特征值不是1就是0。故存在正交矩阵T，使
TAT=。
上式中，对角线元素中1的个数为A的特征值1的个数，0的个数是A的特征值0的个数.。
23.证明：如果是n维欧氏空间的一个正交变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间。
证 设W是的任意一个不变子空间，现证W也是的不变子空间。
任取W , 下证W。取，，是W的一组标准正交基，再扩充成V的一组标准正交基为，，，，，，则
W=L (，，), W=L (，，)。
因为是正交变换，所以，也是一组标准正交基，由于W是——子空间，，W ，且为的一组标准正交基，于是
，，W，
所以
=k++kW。
24. 欧氏空间V中的线性变换称为反对称的，如果对任意，V，有
（，）= —（ ，）。
证明： 1)为反对称的充分必要条件是：在一组标准正交基下的矩阵为反对称的。
2)如果V是反对称线性变换的不变子空间，则V也是。
证 1）必要性。设是反对称的，，，是一组标准正交基。则
= k+k++k (I=1,2, ,n)，
(,)= k , (,)= k，
由反对称知
(,)= —（， ） k = --k，
从而
，
故
(，，)= (，，)
=(，，)，
充分性。设在标准正交基，，下的矩阵为，有已知，有
(,)= —（， ），
对任意，V，设
，
，
则
（，）=（）=。
同理
，
故
（，）= —（ ，），
所以是反对称的。
2）任取V ，可证V，即V，事实上，任取V，由于V是子空间，因此，而 V，故（ ，）=0。
再由题设，是反对称的，知
（，）= —（ ，）=0，
由的任意性，即证V 。从而V也是A子空间。
25.证明:向量V是向量在子空间V上的内射影的充分必要条件是：对任意有。
证 必要性，设V是在V上的内射影，则,，

26设

从而
再证第二式.用
，
所以 。
27.求下列方程的最小二乘解
，
用“到子空间距离最短的线是垂线”的语言表达出上面方程的最小二乘解的几何意义，由此列出方程并求解(用三位有效数字计算)。
解 令
，
，
那么“到子空间距离最短的线是垂线”的意思就是。
令C=B-Y，由最小二乘法可得，其中 ，
，
即 ，
解之得 。
三、补充题参考解答

1． 证明：正交矩阵的实特征根为。
证 设A正交矩阵A是任一实特征值是，是A的对应于特征值的特征向量，则
A。
于是。
注意到
2.证明：奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值。
证 因为A是正交矩阵,,则=-。
即。
3.证明：第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值。
证 当

即-。
4.设
那么它一定是线性的,因而它是正交变换。
证 因为
，
所以
，
故
。
又因为

=，
所以
。
即证。
5．和
。
证：下证充分性。
设
，
则有，
于是，
另一方面，因
，
于是，在
，
从而即证。
再将
:，
则由充分性假设

两组标准正交基 和则存在可逆线性变换，使
，
且
（T=(=(
=
=(，
即
（I=1,2,，
于是，由，有故

=
=(I=1,2,，
即证。
6．是n级实对称矩阵，且证明：存在正交矩阵T使得
。
证 证法1 因为A是n级实对称矩阵，所以存在n级矩阵Q，使
，
其中为的n个特征值（重根按重数列出）。于是

又因为所以
。
因此有=（I=1,2,n），不妨设=1的重数为r，则的重数为n-r。只要将集中排列在前面，则有正交矩阵T，使
。
证法2 因为n级实对称矩阵，且若令g(x)=则g(x)为
A的零多项式，且它无重根，故A相似于对角矩阵，设为A的任一特征
值，则。不妨设的重数为n-r。只要 将集中排列在前
面，则有正交矩阵，使
。
7．设f()=是一实二次型，是A的特征多项式的根，且。证明：对任意一个X,有
。
证 存在正交矩阵Q，使
，
其中为的个特征值。作正交变换则实二次型可化为
，
由题设有，于是
，
且 ，
故
。
8．设二次型对应的矩阵为，是的特征多项式的根，证明：
存在中的非零向量使的
。
证 设是矩阵A的特征值，则存在非零向量，使
，
其中，于是有
，
即证。
9．1）设是欧氏空间中两个不同的单位向量，证明存在一镜面反射，使
。
2）证明：n维欧氏空间中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。
证 1）记n维欧氏空间为V，当为欧氏空间为V的单位向量时，由
，
所确定的正交变换A是一个镜面反射，代入单位向量，有,
若记，则，因为是欧氏空间中两个不同的
单位向量，所以，故可解得,
其中 ，即，
于是只要取，就有=1，即为欧氏空间中的单位向量，
从而是一个镜面反射，且==。
2)设是维欧氏空间的任一正交变换，取的一组标准正交基,,，
则=，=，=也是的一组标准正交基。
此时，若，则是一个恒等变换，只要作镜面反射
，
则有 且，结论成立。
若与不全相同，不妨设,则为两个不同的单位向量，由1)知,存在镜面反射,使.令,若,则,结论成立。否则可设，再作镜面反射：,其中,则且，如此继续下去，设
，
则，其中都是镜面反射，即证。
10.设是两个实对称矩阵，且是正定矩阵，证明:存在一个实可逆矩阵使与同时为对角形。
证:因为是正定矩阵，所以存在一个阶实对称矩阵，使:，其中为阶单位矩阵，又因为还是阶实对称矩阵，所以也存在一个阶正交矩阵，使，其中为的特征值，于是，只要令，就有,
且 ， 即证。

11.证明：酉空间中两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。
证:设与分别为酉空间中两组标准正交基，且

则 。
于是，

即所以过渡矩阵是酉矩阵。
12．酉矩阵的特征值根的模为1。
证 因为酉矩阵A对应的变换是酉变换，设的任一特征值是，是的对应于的特征向量，则
（，）=（=（）=，
注意到（，），因而有
=1，
即。
13．设A是一个n级可逆复矩阵，证明可以分解成
A=UT，
其中U是酉矩阵，T是一个上三角矩阵：
T=，
其中对角元素都是正实数，并证明这中分解是唯一的。
证 设A=（，其中为A的列向量，则由A可逆知向
量组线性无关。由施密特正交化方法，可得
，
其中单位化，可得
，
则 是一组正交基，从而U=（）为又酉矩阵，且可解得
，
其中T为上三角矩阵，且为正实数。
再证分解的唯一性，设还有酉矩阵及对角线元素都是正实数的上三角形矩阵，使得，则 ，于是既是一个酉矩阵，又是一个上三角形矩阵，从而是对角矩阵，但的对角线元素都是正实数，即
，
再由是酉矩阵，知是单位矩阵，故，即证。
14．证明：埃尔米特矩阵的特征值是实数，并且它的属于不同特征值的特征向量相互正交。
证：设是埃尔米特矩阵的任一特征值，是的对应于的特征向量，则有
，
于是 ，
因此有 ，
即 ，但，故，即证为实数，另外是的任意两个不同的特征值，分别为的对应于和的特征向量，则有：，由于，因此
，
但，故（，即证的属于不同特征值的特征向量相互正交。

第十章 双线性函数与辛空间
1、 设V是数域P上的一个三维线性空间，，，是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知
f (+)=1,f (-2)=-1,f (+)=-3
求f (X+X+X).
解 因为f是V上线性函数，所以有
f ()＋ f ()=1
f ()-2 f ()=-1
f ()+f ()=-3
解此方程组可得
f ()＝4，f ()＝－7，f ()＝－3
于是
f (X+X+X).＝X f ()＋X f ()＋X f ()
＝4 X－7 X－3 X
2、 设V及，，同上题，试找出一个线性函数f ,使
f (+)＝f (-2)=0, f (+)=1
解 设f为所求V上的线性函数，则由题设有
f ()＋ f ()=0
f ()-2 f ()=0
f ()+f ()=1
解此方程组可得
f ()＝－1，f ()＝2，f ()＝1
于是aV,当a在V的给定基，，下的坐标表示为
a= X+X+X时，就有
f (a)=f (X+X+X)
= X f ()＋X f ()＋X f ()
=-X+2 X+ X
3、 设，，是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令
1＝－，2＝＋－，3＝＋
试证：1，2，3是V的一组基，并求它的对偶基。
证： 设
（1，2，3）＝（，，）A
由已知，得

A＝
因为≠0，所以1，2，3是V的一组基。
设g1,g2,g3是1，2，3得对偶基，则
（g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）
＝（f1,f2,f3）
因此
g1=f2-f3
g2=f1-f2+f3
g3=-f1+2f2-f3
4.设V是一个线性空间，f1,f2,…fs是V中非零向量，试证：∈V，使
fi()≠0 (i=1,2…,s)
证：对s采用数学归纳法。
当s＝1时，f1≠0,所以∈V，使fi()≠0，即当s＝1时命题成立。
假设当s=k时命题成立，即∈V，使fi()=i≠0 (i=1,2…,k)
下面证明s=k+1时命题成立。
若f()≠0,则命题成立，若f()＝0，则由f≠0知，一定∈V
使f()＝b,设fi()=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0，使
ai+cdi≠0(i=1,2…,k)
令，则∈V，且
fi()=ai+cdi≠0(i=1,2…,k)
f()＝cb≠0
即证。
5．设1，2，…s是线性空间V中得非零向量，试证：
fi()≠0 (i=1,2…,s)
证：因为V是数域P上得一个线性空间，V是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量，则可定义V的一个线性函数如下：
(f)=f() (f∈V)
且是V的对偶空间（V)中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间（V)的映射
→
是一个同构映射，又因为1，2，…s是V中的非零向量，所以1，2，…s
对偶空间V的对偶空间（V)中的非零向量，从而由上题知，f∈V使
f()＝i(f) ≠0 (i=1,2…,s)
即证.
6.设V＝P[x],对P(x)=C0+C1x+C2x∈V,定义
f(p(x))=
f(p(x))=
f(p(x))=
试证f， f， f都是V上线性函数，并找出V的一组基p1(x),p2(x),p3(x),使
f， f， f是它的对偶基。
证：先证是V上线性函数，即f∈V，对g(x),h(x) ∈V, k∈P,由定义有
f（g(x)＋h(x)）＝
＝＋
＝f(g(x))+ f(h(x))
f(kg(x))= =k=k f(g(x))
即证f。同理可证f， f∈V。
再设p1(x),p2(x),p3(x) 为V的一组基，且f， f， f是它的对偶基。若记
P1(x)= C0+C1x+C2x
则由定义可得
f(p(x))=＝C0+C1+C2=1
f(p(x))==2C0+2C1+ C2=0
f(p(x))==-C0+C1-C2=0
解此方程组得
C0=C1=1,C2=-
故
P1(x)=1+x- x
同理可得
p2(x)=- + x
p3(x)= -+x- x
7.设V是个n维线性空间，它得内积为（，），对V中确定得向量，定义V上的
一个函数：
（）=（，）
1） 证明是V上的线性函数
2） 证明V到V的映射是V到V的一个同构映射（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间。）
3） 证：1）先证明是V上的线性函数，即∈V，对1，2∈V，
k∈P，由定义有：
（1＋2）＝（，1＋2）
＝（，1）＋（，2）
＝（1）＋（2）
（k1）=（，k1）=k（，1）=k（1）
故是V上的线性函数。
2）设，…是V的一组标准正交基，且对∈V由定义
（）＝（）(i=1,2…,n)
知
（）＝（，）＝
于是，…是，…的对偶基，从而V到V的映射是V与V中两基间的一个双射因此它也是V到V的一个同构映射
8．设是数域P上N维线性空间V得一个线性变换。
1）证明，对V上现行函数f，f仍是V上的线性函数；
2）定义V到自身的映射为f→f证明是V上的线性变换；
3）设，…是V的一组基，f， f， f是它的对偶基，并设在，…的矩阵为A。证明：在f， f，… f下的矩阵为A′。
证：1）对∈V，由定义知（f）（）＝f（（））是数域P中唯一确定的元，所以f是V到P的一个映射。
又因为，∈V，k∈P,有（f）（＋）＝f（（＋））
＝f（（）＋（））
＝（f）（）＋（f）（）
（f）（k）＝f（（k））= f（k （））
=k f（（））=k（f）（）
所以f是V上线性函数。
2）对f∈V，有（f）= f∈V,故是V上的线性变换。
3）由题设知
（，…）＝（，…）A
设（f， f，… f）＝（f， f，… f）B
其中A=(a),B=(b),且f， f，… f是，…的对偶基，于是
f＝（f），所以a= b(i,j=1,2, …n),即证在f， f，… f
下的矩阵为B=A′.
9.设V是数域P上的一个线性空间，f， f，… f是V上的n个线性函数。
1）证明：下列集合
W＝{∈V︱f()=0(1≤i≤n)}
是V的一个子空间，W成为线性函数f， f，… f的零化子空间；
2）证明：V的任一子空间皆为某些线性函数的零化子空间。
证：1）因为f， f，… f是V上的n个线性函数，所以f∈V(1≤i≤n)，且f(0)=0(i=1,2, …n)，因而0∈W，即证W非空。
又因为，∈V，∈P，有
f(＋)＝f()＋f()＝0 (i=1,2, …n)
f()＝ f()＝0
所以＋∈W，∈W，即证W是V的一个子空间。
2）设W是V的任一子空间，且dim（W）＝m,则当m＝n时，只要取f为V的零函数
，就有
W＝V＝{∈V ︱f ()=0}
所以W是f的零化子空间。
当m<n时，不妨设，…为W的一组基，将其扩充为V的一组基，…，，…，并取这组基的对偶基f， f，… f的后n-m个线性函数
f,f,…,f,则
W=V={∈V︱f()=0(m+1≤i≤n)}
即W是f,f,…,f的零化子空间，事实上，若令
U＝{∈V︱f()=0(m+1≤i≤n)}
则对＝a+a+…+a∈W,有
f()= f()=… =f()=0
因而∈U，即W U。
反之，＝b+b+…+b+b+…b∈U，
由f()= f()=… =f()=0，可得b＝b=…=b=0,因而＝b+b+…+b+b+…b∈W，即UW，故U＝W。
10．设A是数域P上的一个m极矩阵，定义P上的一个二元函数
f(X,Y)=tr(X′AY) (X,Y∈P)
1) 证明f(X,Y)是P上的双线性函数；
2) 求f(X,Y)在基E,E,…,E,E,…,E,…,E,E,…,E下的度量矩阵。
证：1）先证f(X,Y)是P上的双线性函数，对X,Y,Z∈P,k,k∈P
由定义有
f (X, kY+ k,Z)=tr(X′A(kY+ kZ))
= ktr(X′AY)+ ktr(X′AZ)
= k f(X,Y) + k f(Y,Z)
因而f(X,Y)是P上的双线性函数。
2）由EAE＝aE知
f (E, E)=tr(EAE)=tr(aE)
=
以下设f(X,Y)在基E,E,…,E,E,…,E,…,E,E,…,E下的度量矩阵为B，则
B=
其中，E为n阶单位矩阵。
11．在P中定义一个双线性函数f(X,Y),对
X＝（x1,x2,x3,x4）,Y=(y1,y2,y3,y4)∈P有
f (X,Y)=3x1y2-5x2y1+x3x4-4x4y3
1)给定P的一组基
＝（1，－2，－1，0），＝（1，－1，1，0）
＝（－1，2，1，1）， ＝（－1，－1，0，1）
求f (X,Y)在这组基下的度量矩阵；
2）另取一组基，，，，且
（，，，）＝（，，，）T
其中
T＝
求f (X,Y)在这组基下的度量矩阵。
解 1）设f (X,Y)在给定基，，，下的度量矩阵为A=(a),则
A＝
其中a＝f (,).
3) 设f (X,Y)在给定基，，，下的度量矩阵为B,则由
（，，，）＝（，，，）T
可得
B=T′AT=
12.设V是复数域上的线性空间，其维数n>=2,f ()是V上的一个对称双线性函数。
1）证明V中有非零向量使f (，)＝0
2）如果f ()是非退化的，则必有线性无关的向量，满足
f (，)＝1
f (，)＝f (，)＝0
证1）设，…为复数域上N维线性空间V的一组基，f ()是V上的对称双线性函数，则f ()关于基，…的度量矩阵A为对称矩阵，于是，存在非退化的矩阵T，使
T′AT==B
若令 （，，，…）＝（，…）T
则，，，…也是V的一组基，且f ()关于基，，，…的度量矩阵为B，因此
＝X+ X+…X,= Y+ Y+…Y∈V,有
f(,)=X Y+ X Y+ …+X Y
f(,)=X+X+…+X (0≤r≤n)
故而
当r=0时，对V中任一非零向量，恒有f(,)=0；
当r=1时，只要取＝≠0，就有f(,)=0；
当r≥2时，只要取＝i+≠0，就有f(,)=0；
2)如果f ()是非退化的，则f(,)=X Y+ X Y+ …+X Y
因而只要取
＝+，=－
就有
f(,)=（）＋（）（－）＝1
f(,)=（）＋（）＝0
f(,)=（）＋（－）＝0
即证。
13．试证：线性空间V上双线性函数f ()是反对称的充要条件是：对任意的∈V，都有
f()=0
证：必要性。因为f ()是反对称的，所以∈V，恒有
f()=－f()
故f()=0
充分性。因为f ()是双线性函数，所以∈V，有
f (+,+)=f()=f(,)=0
故 f ()＝－f(,)
即 f ()是反对称的。
14．设f ()是V上对称或反对称的双线性函数，是V中的两个向量，若
f ()＝0，则称正交，再设K是V的一个真自空间，证明：对K
必有 0∈K+L() 使f(,)＝0对所有∈K都成立
证明 ：1）先证f ()是对称的双线性函数的情形。
因为K是V的子空间，所以f ()是K上的对称双线性函数，设dim（K）＝r
则f ()关于K的任意一组基的度量矩阵皆为对称矩阵，于是，