代数方程知识点及经典习题.pdf

代数方程知识点代数方程知识点一一.一元二次方程一元二次方程1、一元二次方程的一般形式ax+bx+c=0（a0）22、一元二次方程的判定方法（1）根据定义判定）根据定义判定。即 是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是 2（2）根据一般形式判定）根据一般形式判定。即将整式方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，如果能化为一元二次方程的一般形式 ax+bx+c=0（a0）,那么它就是一元二次方程。2 二二.因式分解因式分解1、因式分解法的一般步骤：（1）将方程的右边化为零（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积（3）令每个因式等于零，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。2、一元二次方程解法的选择顺序：先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再用公式法。三一元二次方程的根的判别式三一元二次方程的根的判别式1.一元二次方程的根的判别式的概念2.一元二次方程的根的情况与判别式的关系判别式定理和逆定理 0 方程有两个不相等的实数根=0 方程有两个相等的实数根0 方程没有实数根0 方程有两个实数根3.一元二次方程根的判别式的应用1）不解方程，判定方程根的情况2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围。3）应用判别式证明方程根的情况（无实根、有实根、有不相等实根、有相等实根）4）利用判别式解决一元二次方程的有关证明题。四四.根与系数的关系根与系数的关系1 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果方程 ax+bx+c=0（a0）的两个实数根是 x,x,那么 x+x=,x x,21212122 韦达定理的逆定理如果实数 x,x 满足 x+x=,x x,那么 x,x 是一元二次方程12121212ax+bx+c=0 的两个根23 韦达定理的两个重要推论推论 1：如果方程 x+px+q=0 的两个根是 x,x，212那么 x+x=,x x,1212推论 2：以两个数 x,x 为根的一元二次方程（二次项系数为）是124 根与系数的关系的应用（1）验根（2）由已知方程的一个根，求另一个根及未知系数（3）不解方程，求关于 x,x 的对称式的值12如：x x，xx x x，x x 122212212211x21x12（4）已知方程的两根，求作这个一元二次方程（5）已知两数的和与积，求这两个数（6）已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母的取值范围（7）证明方程系数之间的特殊关系（8）解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等（9）根的符号的讨论五五 二次三项式的因式分解（用公式法）二次三项式的因式分解（用公式法）1 二次三项式的因式分解公式 ax+bx+c=22因式分解的一般步骤：（1）用求根公式求出二次三项式 ax+bx+c 对应的方程2ax+bx+c=的两个实数根 x,x；（）将 a、x,x 的值代入二次三项式的因式分解21212公式，写出分解式。3如何判定二次三项式在实数范围内能否因式分解：即 当0 时，能在实数范围内分解因式；当0 时，不能在实数范围内分解因式4.解分式方程的基本方法：解分式方程的基本方法：去分母法；换元法；列分式方程解应用题六二元二次方程组的解法六二元二次方程组的解法解二元二次方程组的基本思想、方法。思想是“转化”即二元转化为一元，将二次转化为一次。方法是先降次，再消元。由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法：代入消元法；逆用韦达定理。同步练习同步练习一、一元二次方程1 1关于 x 的方程(a 5)x24x10 有实数根，则 a 满足（）Aa1 Ba1 且 a5 Ca1 且 a5 Da52 2如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根分别为 x1=2，x2=1，那么 p，q 的值分别是（A）3，2 （B）3，-2 （C）2，3 （D）2，3 3 3已知nm,是方程0122 xx的两根，且8)763)(147(22nnamm，则a的值等于 （）A5 B.5 C.-9 D.94 4已知方程20 xbxa有一个根是(0)a a，则下列代数式的值恒为常数的是（）Aab Bab Cab Dab5 5关于x的一元二次方程2210 xmxm 的两个实数根分别是12xx、，且22127xx，则212()xx的值是（）A1 B12 C13 D25二、填空题二、填空题1 1已知 x1、x2为方程 x23x10 的两实根，则 x128x220_2 2设 x1、x2 是一元二次方程 x2+4x3=0 的两个根，2x1(x22+5x23)+a=2，则 a=3 3已知 x=1 是一元二次方程02nmxx的一个根，则 222nmnm的值为 4 4设1x，2x是一元二次方程2320 xx的两个实数根，则2211223xx xx的值为_5 5若实数 m 满足 m210m+1=0，则 m4+m4=6 6已知一元二次方程231310 xx 的两根为1x、2x,则1211xx_.二、因式分解1 0)1(213xxxx 2 31214112xxxxx10 xaaxaxb4.;5.222299369xxxxxxx23111xxxx 6.7.若关于 x 的方程 有增根,求增根和 k 的值.211333xxkxxxx8.已知bababababa2232,311求 的值 xxxxxxx36)3(4462229.若 0 x1,且xxxx1,61求 的值 10.化简代数式 nmnmmnnmnmnmnm222222，将 m,n 值代入求值三、解答题三、解答题1 1已知关于 x 的一元二次方程)0(012abxax有两个相等的实数根，求4)2(222baab的值。2 2已知关于x的一元二次方程22(21)0 xmxm有两个实数根1x和2x（1）求实数m的取值范围；（2）当22120 xx时，求m的值3 3题甲：若关于x的一元二次方程012)2(222kxkx有实数根、（1）求实数 k 的取值范围；（2）设kt，求 t 的最小值 4 4已知关于 x 的一元二次方程 x2=2（1m）xm2 的两实数根为 x1，x2（1）求 m 的取值范围；（2）设 y=x1+x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值5 5关于 x 的一元二次方程1201xpxx有两实数根、.2x （1）求 p 的取值范围；（4 分）（2）若pxxxx求,9)1(2)1(22211的值.（6 分）6 6已知关于 x 的方程014)3(222kkxkx（1）若这个方程有实数根，求 k 的取值范围；（2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值；（3）若以方程014)3(222kkxkx的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数xmy 的图象上，求满足条件的 m 的最小值7 7在等腰ABC中，三边分别为a、b、c，其中5a，若关于x的方程2260 xbxb有两个相等的实数根，求ABC的周长三、二元二次方程组1.1.解方程组2220 (1)30 (2)xyxy 2.2.解方程组11 (1)28 (2)xyxy3.已知方程组有两个不相等的实数解，求的取值范围。201242kxyyxyk4.方程组的两组解是，不解方程组，求的值。52932yxyx1111yx2222yx12215.5.解方程组22225()(1)43 (2)xyxyxxyy6.6.解方程组2212 (1)4 (2)xxyxyy7.7.解方程组2226 (1)5 (2)xyxy 8.8.解方程组3 (1)38 (2)xyxxyy