数列求通项与求和常用方法归纳+针对性练习题.pdf

第 1 页 共 9 页 数列通项与求和常见方法归纳数列通项与求和常见方法归纳1 1、知能要点知能要点1 1、求通项公式的方法：、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式 an；(2)利用前 n 项和与通项的关系 anError!Error!(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如 an1anf(n)，累积法，如f(n)；an1an(5)转化法：an1AanB(A0，且 A1)2、求和常用的方法：、求和常用的方法：(1)公式法：dnnnaaanSnn2)1(2)(11)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：111(1)1n nnn 11 11()()n nkk nnk 222111111111111();12111(1)(1)1kkkkkkkkkkkkk 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn 2122(1)2(1)11nnnnnnnnn (3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 项和公式的推导方法).(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前 n 项和公式的推导方法).(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.二、知能运用典型例题二、知能运用典型例题考点考点 1 1：求数列的通项：求数列的通项第 2 页 共 9 页题型 1 )(1nfaann 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。)(1nfaann【例 1】已知数列满足，求。na211annaann211na解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令，代入上式得个等式累加之，即)1(,3,2,1 nn)1(n)()()()(1342312 nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn 所以naan111，211annan1231121题型 2 nnanfa)(1 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。)(1nfaann【例 2】已知数列满足，求。na321annanna11na解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即11nnaann)1(,3,2,1 nn)1(n 又，1342312 nnaaaaaaaann 1433221 naan11321anan32题型 3(其中 p，q 均为常数，且)。qpaann10)1(ppq解法(待定系数法)：转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。)(1taptannpqt1【例 3】已知数列中，求。na11a321nnaana解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为321nnaa)(21tatann321ttaann,令，则,且.所以是以为首项，2 为公)3(231nnaa3nnab4311 ab23311nnnnaabb nb41b比的等比数列，则,所以.11224nnnb321nna题型 4(其中 p，q 均为常数，且)。nnnqpaa10)1)(1(qppq (或,其中 p，q,r 均为常数)。1nnnaparq解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列(其中)，1nqqqaqpqannnn111 nbnnnqab 第 3 页 共 9 页得：再待定系数法解决。qbqpbnn11【例 4】已知数列中，,，求。na651a11)21(31nnnaana解：在两边乘以得：11)21(31nnnaa12n1)2(32211nnnnaa令，则,解之得：nnnab 21321nnbbnnb)32(23所以nnnnnba)31(2)21(32题型 5 递推公式为与的关系式。(或)nSna()nnSf a解法：这种类型一般利用与消去 )2()1(11nSSnSannn)()(11nnnnnafafSSanS)2(n或与消去进行求解。)(1nnnSSfS)2(nna【例 5】已知数列前 n 项和.na2214nnnaS(1)求与的关系；(2)求通项公式.1nanana解：(1)由得：2214nnnaS111214nnnaS于是)2121()(1211nnnnnnaaSS所以.11121nnnnaaannnaa21211(2)应用题型 4(，其中 p，q 均为常数，且)的方法，上式两边同乘以得：nnnqpaa10)1)(1(qppq12n 22211nnnnaa由.于是数列是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，所以1214121111aaSanna2nnann2)1(22212nnna题型 6 rnnpaa1)0,0(nap 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。qpaann1【例 6】已知数列中，求数列的通项公式。na2111,1nnaaaa)0(ana解：由两边取对数得，211nnaaaaaann1lglg2lg1第 4 页 共 9 页令，则，再利用待定系数法解得：。nnablgabbnn1lg2112)1(nnaaa考点考点 2 2：数列求和：数列求和题型 1 公式法【例 7】已知是公差为 3 的等差数列，数列满足nanb.,31,11121nnnnnbbbabb(1)求的通项公式；na(2)求的前项和.nbn解：(1)依题 a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，解得 a1=2 2 分31通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 6 分(2)由()知 3nbn+1=nbn，bn+1=bn，所以bn是公比为的等比数列 9 分3131所以bn的前 n 项和 Sn=12 分111()313122 313nn题型 2 裂项求和【例 8】为数列的前项和.已知0，.nSnanna3422nnnSaa(1)求的通项公式；na(2)设,求数列的前项和.11nnnba anbn解析：(1)=；na21n(2)由(1)知，=，nb1111()(21)(23)2 2123nnnn 所以数列前 n 项和为=.nb12nbbb1111111()()()235572123nn11646n题型 3 错位相减求和【例 9】已知数列和满足，na nb*1112,1,2(nN),nnabaa.*12311111(nN)23nnbbbbbn(1)求与；nanb(2)记数列的前 n 项和为，求.nna bnTnT解析：(1)由，得.112,2nnaaa2nna 第 5 页 共 9 页当时，故.1n 121bb22b 当时，整理得，所以.2n 11nnnbbbn11nnbnbnnbn(2)由(1)知，2nnna bn所以2322 23 22nnTn 2341222 23 2(1)22nnnTnn 所以2311222222(1)22nnnnnnTTTnn 所以.1(1)22nnTn题型 4 分组求和【例 10】已知an是等差数列，满足 a13，a412，数列bn满足 b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前 n 项和解：(1)设等差数列an的公差为 d，由题意得d3.a4a131233所以 ana1(n1)d3n(n1，2，)设等比数列bnan的公比为 q，由题意得q38，解得 q2.b4a4b1a1201243所以 bnan(b1a1)qn12n1.从而 bn3n2n1(n1，2，)(2)由(1)知 bn3n2n1(n1，2，)数列3n的前 n 项和为 n(n1)，数列2n1的前 n 项和为 12n1，3212n12所以，数列bn的前 n 项和为 n(n1)2n1.32三、知能运用训练三、知能运用训练题题1、(1)已知数列中，)2(12,211nnaaann，求数列的通项公式；na na (2)已知nS为数列的前n项和，11a，nnanS2，求数列的通项公式.na na【解】(1)2(12,211nnaaann，121naann 11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn 135)52()32()12(nnn22)112(nnn(2)11a，nnanS2，当2n时，121)1(nnanS第 6 页 共 9 页 11)1(11221nnaaananSSannnnnnn.1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn.)1(21314213211nnnnnnnn2、已知数列中，32,111nnaaa，求数列的通项公式.na na【解】321nnaa，)3(231nnaa 3na是以2为公比的等比数列，其首项为431a .3224311nnnnaa3、已知数列中，nnnaaa32,111，求数列的通项公式.na na【解】nnnaa321，nnnnnaa)23(2211，令nnnba12则 nnnbb)23(1，112211)()()(bbbbbbbbnnnnn 123)23()23()23()23(2321nnn2)23(2n nnna23 4、已知nS为数列的前n项和，)2,(23nNnaSnn，求数列的通项公式.na na【解析】当1n时，1231111aaSa，当2n时，)23()23(11nnnnnaaSSa.233211nnnnaaaa 是以23为公比的等比数列，其首项为11a，na .)23(11nna5、已知数列中，nnnaaa33,111，求数列的通项公式.na na【解析】nnnaa331，13311nnnnaa，令nnnba13 数列 nb是等差数列，nnbn)1(11，13nnna.6、已知数列中，)3(3231,2,12121naaaaannn，求数列的通项公式.na na【解】由213231nnnaaa 得)3)(32211naaaannnn 又0112 aa，所以数列nnaa1是以 1 为首项，公比为23的等比数列，第 7 页 共 9 页 11)32(nnnaa 11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn 11)32()32()32()32(232nn 1)32(5358n7、已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.na11nnaan21nn(1)求数列的通项公式；na(2)设，求数列的前项和.1 2nannba nbnnT【解析】（1）设数列的公差为，nad令得，所以.1,n 12113a a123a a 令得，所以.解得，所以2,n 12231125a aa a2315a a 11,2ad21.nan（2）由（I）知所以24224,nnnbnn121 42 4.4,nnTn 所以23141 42 4.(1)44,nnnTnn 两式相减，得121344.44nnnTn 所以114(1 4)1 3444,1 433nnnnn 113144(31)44.999nnnnnT8、已知数列an的前 n 项和 Sn，nN*.n2n2(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn(1)nan，求数列bn的前 2n 项和2na解：(1)当 n1 时，a1S11；当 n2 时，anSnSn1n.n2n2（n1）2（n1）2故数列an的通项公式为 ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.记数列bn的前 2n 项和为 T2n，则 T2n(212222n)(12342n)记 A212222n，B12342n，则 A22n12，2（122n）12B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前 2n 项和 T2nAB22n1n2.第 8 页 共 9 页9、已知数列的前 n 项和 Sn=3n2+8n，是等差数列，且 na nb1.nnnabb(1)求数列的通项公式；nb(2)令求数列的前 n 项和 Tn.1(1).(2)nnnnnacb nc解析：（1）由题意知当时，2n561nSSannn当时，所以.1n1111 Sa56 nan 设数列的公差为，由，即，可解得，nbd322211bbabbadbdb3217211113,41db 所以.13 nbn（2）由（）知，11(66)3(1)2(33)nnnnncnn又，nnccccT 321得，23413 2 23 24 2(1)2nnTn ，345223 2 23 24 2(1)2nnTn 两式作差，得234123 22222(1)2nnnTn 所以224(21)3 4(1)22 132nnnnn 223nnnT10、等比数列 na的各项均为正数，且212326231,9.aaaa a(1)求数列 na的通项公式；(2)设 31323loglog.log,nnbaaa求数列1nb的前 n 项和.解析：解析：（1）设数列an的公比为 q，由23269aa a得32349aa所以219q。由条件可知 a0,故13q。由12231aa得12231aa q，所以113a。故数列an的通项式为 an=13n。（2）31323nloglog.lognbaaa(12.)(1)2nn n (12.)(1)2nn n 故12112()(1)1nbn nnn 12111111112.2(1)().()22311nnbbbnnn 所以数列1nb的前 n 项和为21nn第 9 页 共 9 页11、在公差为 d 的等差数列an中，已知 a110，且 a1,2a22,5a3成等比数列(1)求 d，an；(2)若 d0，求|a1|a2|a3|an|.解解：(1)由题意得，a15a3(2a22)2，由 a110，an为公差为 d 的等差数列得，d23d40，解得 d1 或 d4.所以 ann11(nN*)或 an4n6(nN*)(2)设数列an的前 n 项和为 Sn.因为 d0，由(1)得 d1，ann11，所以当 n11 时，|a1|a2|a3|an|Sn n2n；12212 当 n12 时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11 n2n110.12212 综上所述，|a1|a2|a3|an|Error!12、已知 na是首项为 1，公差为 2 的等差数列，nS表示 na的前n项和。(1)求na及nS；(2)设数列1nS的前n项和为nT，求证：当 Nn都有1nnTn成立。解：（1）na是首项11a，公差2d 的等差数列，1(1)21naandn故21()(121)1 3.(21)22nnn aannSnn （2）由（1）得，22222111111234nTn111111 22 33 44 5(1)nn111111111122334451nn 1111nnn