圆锥曲线题型归类总结.pdf

1 高考圆锥曲线的常见题型高考圆锥曲线的常见题型题型一：定义的应用题型一：定义的应用1 1、圆锥曲线的定义：圆锥曲线的定义：（1）椭圆 （2）椭圆 （3）椭圆 2、定义的应用定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系（2）等价转换，数形结合3 3、定义的适用条件：、定义的适用条件：典型例题典型例题例例 1 1、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。例例 2 2、方程表示的曲线是 题型二：题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2、双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。典型例题典型例题例例 1 1、已知方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 12122mymx例例 2 2、k 为何值时,方程的曲线：15922kykx(1)是椭圆;2(2)是双曲线.题型三：圆锥曲线题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题形）问题1、椭圆焦点三角形面积；双曲线焦点三角形面积2tan2bS 2cot2bS 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、四者的关系在圆锥曲线中的应用；四者的关系在圆锥曲线中的应用；22,nmmnnmnm典型例题典型例题例例 1 1、椭圆上一点 P 与两个焦点的张角xaybab222210()FF12，求证：F1PF2的面积为。F PF12b22tan 例例 2 2、已知双曲线的离心率为 2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且，求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1 1、a,b,ca,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2 2、a,b,ca,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；或范围；3 3、注重数形结合思想不等式解法、注重数形结合思想不等式解法典型例题典型例题3例例 1 1、已知、是双曲线（）的两焦点，以线段1F2F12222byax0,0ba为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率21FF21FMF1MF是（）A.B.C.D.32413 213 13 例例 2 2、双曲线（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,22221xyab若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.C.(3,+)D.1,33,例例 3 3、椭圆：的两焦点为，椭圆上存在G22221(0)xyabab12(,0),(,0)FcF c点使.求椭圆离心率 的取值范围；M120FM F M e例例 4 4、已知双曲线的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为的22221(0,0)xyabab60直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）(1,2(1,2)2,)(2,)题型五：题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断点、直线与圆锥的位置关系判断1 1、点与椭圆的位置关系点与椭圆的位置关系4点在椭圆内12222byax点在椭圆上12222byax点在椭圆外12222byax2 2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：0相交=0相切 （需要注意二次项系数为需要注意二次项系数为 0 0 的情况）的情况）0；1212x xy y “等角、角平分、角互补问题”斜率关系（或）；120KK 12KK 7 “共线问题”（如：数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；AQQB（如：A、O、B 三点共线直线 OA 与 OB 斜率相等）；“点、线对称问题”坐标与斜率关系；“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六、化简与计算；六、化简与计算；七、细节问题不忽略；七、细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现 0.基本解题思想：基本解题思想：1 1、“常规求值常规求值”问题：问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2 2、“是否存在是否存在”问题：问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3 3、证明定值问题的方法：、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4 4、处理定点问题的方法：、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5 5、求最值问题时：、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6 6、转化思想：、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；7 7、思路问题：、思路问题：大多数问题只要忠实、准确忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。典型例题：典型例题：例例1 1、已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线 的垂0,1Fl1y PPl线，垂足为，且QQP QFFP FQ AA8（1）求动点的轨迹的方程；PC（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交M0,2DMCMx于、两点，设，求的最大值AB1DAl2DBl1221llll例例 2 2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=，求的取值范围.DNDM9例例 3 3、设、分别是椭圆：的左右焦点。1F2FC22221(0)xyabab（1）设椭圆上点到两点、距离和等于，写出椭圆的方程C3(3,)21F2F4C和焦点坐标；（2）设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；K1KFB（3）设点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于，两PCLMN点，当直线，的斜率都存在，并记为，试探究PMPNPMkPNk的值是否与点及直线有关，并证明你的结论。PMPNkKPL例例 4 4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离CxC的最大值为，最小值为 31（）求椭圆的标准方程；C（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），:l ykxmCABAB，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的ABCl坐标10例例 5 5、已知椭圆两焦点1F、2F在y轴上，短轴长为2 2，离心率为22，P是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点。（1）求 P 点坐标；（2）求证直线 AB 的斜率为定值；典型例题：典型例题：11例例1 1、由、解得，2xa不妨设，2,0A a2,0B a，2124la2224la 22212124211 221664llllalll la ，2224481622 16464aaaa 当时，由得，0a 12221216162 12 12 2642 8llllaa当且仅当时，等号成立2 2a 当时，由得，0a 12212llll故当时，的最大值为 2 2a 1221llll2 212例例 2 2、解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4.521222曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则 2a=2,a=,c=2,b=1.55曲线C的方程为+y2=1.52x(2)设直线l的方程为y=kx+2,代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.52x=(20k)2415(1+5k2)0,得k2.由图可知=5321xxDNDM由韦达定理得22122151155120kxxkkxx将x1=x2代入得2222222225115)51(400)1(kxkkx两式相除得)15(380)51(15400)1(2222kkk 316)51(3804,320515,3510,532222kkkk即331,0,316)1(42解得DNDMM在D、N中间，1,21DNDMxx又当k不存在时，显然=(此时直线l与y轴重合)31DNDM综合得：1/3 1.13例例 3、解：、解：（1）由于点在椭圆上，得 2=4,3(3,)222223()(3)21aba2 分 椭圆 C 的方程为 ，焦点坐标分别为 422143xy(1,0),(1,0)分（2）设的中点为 B（x,y）则点 1KF(21,2)Kxy5 分把 K 的坐标代入椭圆中得722143xy22(21)(2)143xy分线段的中点 B 的轨迹方程为 1KF221()1324yx8 分（3）过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M，N 关于坐标原点对称 设,0000(,)(,),(,)M xyNxyp x y在椭圆上，应满足椭圆方程，得 ,M N P222200222211xyxyabab，10 分=PMPNkK2200022000yyyyyyxxxxxx22ba13 分故：的值与点 P 的位置无关，同时与直线 L 无关，PMPNkK14 分例例 4 4、解：（）椭圆的标准方程为 （5 分）22143xy（）设，11()A xy，22()B xy，联立得，221.43ykxmxy，222(34)84(3)0kxmkxm22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m kkmkmmkxxkmx xk A，即，则，14又，22221212121223(4)()()()34mky ykxm kxmk x xmk xxmk因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，AB(2 0)D，即，1ADBDkk 1212122yyxx A，1212122()40y yx xxx2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk2291640mmkk解得：，且均满足，12mk 227km 22340km1、当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；12mk l(2)yk x(2 0)，2、当时，的方程为，直线过定点227km l27yk x207，所以，直线 过定点，定点坐标为 （14 分）l207，例例 5、解、解（1）22142yx。12(0,2),(0,2)FF，设0000(,)(0,0)P xyxy则100200(,2),(,2),PFxyPFxy 221200(2)1PF PFxy 点00(,)P xy在曲线上，则22001.24xy 220042yx从而22004(2)12yy，得02y，则点P的坐标为(1,2)（2）由（1）知1/PFx轴，直线 PA、PB 斜率互为相反数，设 PB 斜率为(0)k k，则 PB 的直线方程为：2(1)yk x 由222(1)124yk xxy得222(2)2(2)(2)40kxkk xk15设(,),BBB xy则2222(2)2 22122Bk kkkxkk 同理可得222 222Akkxk，则24 22ABkxxk 28(1)(1)2ABABkyyk xk xk 所以：AB 的斜率2ABABAByykxx为定值例例 6 6、解：（1）由，34sin|cos,sin34|,sin|2132tFPOFFPOFFPOFFPOF由得得3 分.34tant 夹角的取值范围是,03tan1344t（）6 分3,4（2）).0,(),(),(0000cOFycxFPyxP则设 8 分2000000(,)(,0)()(31)314 3|2 32OFPOF FPxc ycxc ctcxcSOFyyc 10 分2222004 34 3|(3)()2 32 6OPxycccc 当且仅当)32,32(,62|,2,343OPOPccc此时取最小值时即)3,2()1,0()32,32(33OM或 12 分)1,2()1,0()32,32(33OM椭圆长轴 12,48)03()22()03()22(222222baa或2171,2171171)01()22()01()22(222222baa故所求椭圆方程为.或 14 分1121622yx12171217922yx11