2018全国卷2文科数学试卷及答案.pdf

绝密绝密启用前启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。学科网1i 23iABCD32i32i32i 32i 2已知集合，则1,3,5,7A 2,3,4,5B AB ABCD353,51,2,3,4,5,73函数的图像大致为 2eexxf xx4已知向量，满足，则ab|1a1 a b(2)aabA4B3C2D05从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为ABCD0.60.50.40.36双曲线的离心率为，则其渐近线方程为22221(0,0)xyabab3ABCD2yx 3yx 22yx 32yx 7在中，则ABC5cos25C1BC 5AC AB ABCD4 230292 58为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入11111123499100S 开始0,0NTSNTS输出1i 100i 1NNi11TTi结束是否 AB1ii 2ii CD3ii 4ii 9在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为1111ABCDABC DE1CCAECDABCD2232527210若在是减函数，则的最大值是()cossinf xxx0,aaABCD423411已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心1F2FCPC12PFPF2160PF FC率为ABCD312233123112已知是定义域为的奇函数，满足若，则()f x(,)(1)(1)fxfx(1)2f(1)(2)(3)fff(50)fAB0C2D5050二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线在点处的切线方程为_2lnyx(1,0)14若满足约束条件则的最大值为_,x y250,230,50,xyxyxzxy15已知，则_51tan()45 tan 16已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，SSASBSA30SAB8则该圆锥的体积为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记为等差数列的前项和，已知，nSnan17a 315S （1）求的通项公式；na（2）求，并求的最小值nSnS18（12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图y为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量 的两个线性回归模型根据yt2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为）建立模型：；根据t1,2,1730.413.5yt 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为）建立模型：t1,2,79917.5yt（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19（12 分）如图，在三棱锥中，为的中点PABC2 2ABBC4PAPBPCACOAC（1）证明：平面；PO ABC（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离MBC2MCMBCPOM20（12 分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线 与交于，两点，24Cyx：FF(0)k k lCAB|8AB（1）求 的方程；l（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程ABC21（12 分）已知函数 32113f xxa xx（1）若，求的单调区间；3a()f x（2）证明：只有一个零点()f x（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线 的参数方程为xOyC2cos,4sinxyl（为参数）1cos,2sinxtyt t（1）求和 的直角坐标方程；Cl（2）若曲线截直线 所得线段的中点坐标为，求 的斜率Cl(1,2)l23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数()5|2|f xxax（1）当时，求不等式的解集；1a()0f x（2）若，求的取值范围()1f x a绝密绝密启用前启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1D2C3B4B5D6A7A8B9C10C11D12C二、填空题13y=2x21491516832三、解答题17解：（1）设an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以an的通项公式为 an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（n4）216所以当 n=4 时，Sn取得最小值，最小值为1618解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为=30.4+13.519=226.1（亿元）y$利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.59=256.5（亿元）y$（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010年至 2016 年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的y$变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分学科网19解：（1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP=2 3连结 OB因为 AB=BC=，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB=222AC12AC由知，OPOB222OPOBPB由 OPOB，OPAC 知 PO平面 ABC（2）作 CHOM，垂足为 H又由（1）可得 OPCH，所以 CH平面 POM故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知 OC=2，CM=，ACB=4512AC23BC4 23所以 OM=，CH=2 53sinOC MCACBOM4 55所以点 C 到平面 POM 的距离为4 5520解：（1）由题意得 F（1，0），l 的方程为 y=k（x1）（k0）设 A（x1，y1），B（x2，y2）由得2(1)4yk xyx2222(24)0k xkxk，故216160k 212224kxxk所以212244(1)(1)kABAFBFxxk由题设知，解得 k=1（舍去），k=122448kk因此 l 的方程为 y=x1（2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2），所以 AB 的垂直平分线方程为，即2(3)yx 5yx 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或00220005(1)(1)16.2yxyxx，0032xy，00116.xy，因此所求圆的方程为或22(3)(2)16xy22(11)(6)144xy21解：（1）当 a=3 时，f（x）=，f（x）=3213333xxx263xx令 f（x）=0 解得 x=或 x=32 332 3当 x（，）（，+）时，f（x）0；32 332 3当 x（，）时，f（x）032 332 3故 f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减32 332 332 332 3（2）由于，所以等价于210 xx()0f x 32301xaxx设=，则 g（x）=0，仅当 x=0 时 g（x）=0，所以 g（x）在（()g x3231xaxx2222(23)(1)xxxxx，+）单调递增故 g（x）至多有一个零点，从而 f（x）至多有一个零点学科网又 f（3a1）=，f（3a+1）=，故 f（x）有一个零点22111626()0366aaa 103综上，f（x）只有一个零点22解：（1）曲线的直角坐标方程为C221416xy当时，的直角坐标方程为，cos0ltan2tanyx当时，的直角坐标方程为cos0l1x（2）将 的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于 的方程lCt22(13cos)4(2cossin)80tt因为曲线截直线 所得线段的中点在内，所以有两个解，设为，则Cl(1,2)C1t2t120tt又由得，故，于是直线 的斜率1224(2cossin)13costt 2cossin0ltan2k 23解：（1）当时，1a 24,1,()2,12,26,2.xxf xxxx 可得的解集为()0f x|23xx（2）等价于()1f x|2|4xax而，且当时等号成立故等价于|2|2|xaxa2x()1f x|2|4a 由可得或，所以的取值范围是|2|4a 6a 2a a(,62,)