相似三角形常见模型(总结材料).pdf

实用文档标准文案第一部分第一部分 相似三角形模型分析相似三角形模型分析1 1、相似三角形判定的基本模型认识相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）ABCDE（平行）CBADE（不平行）（二）8 字型、反 8 字型JOADBCABCD（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型ABCD CAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景实用文档标准文案（五）一线三直角型：（6）双垂型：CAD2 2、相似三角形判定的变化模型相似三角形判定的变化模型旋转型：由 A 字型旋转得到。8 字型拓展CBEDA共享性GABCEF实用文档标准文案 一线三等角的变形 一线三直角的变形实用文档标准文案第二部分第二部分 相似三角形典型例题讲解相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形母子型相似三角形例 1：如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，BECD交CA延长线于E 求证：OEOAOC2 例 2：已知：如图，ABC中，点E在中线AD上,ABCDEB求证：（1）；（2）DADEDB2DACDCE例 3：已知：如图，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分别交AD、AC于E、F求证：EGEFBE2 相关练习：相关练习：1、如图，已知AD为ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线求证：FCFBFD2ACDEB实用文档标准文案2、已知：AD 是 RtABC 中A 的平分线，C=90，EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M，EF、BC 的延长线交于一点 N。求证：(1)AMENMD;(2)ND=NCNB23、已知：如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于D，E 是 AC 上一点，CFBE 于 F。求证：EBDF=AEDB4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证：GBM905（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）、（3）小题满分各 5 分）已知：如图，在 RtABC中，C=90，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PDAB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且EPD=A设A、P两点的距离为x，BEP的面积为y（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与ABC相似时，求BEP的面积双垂型双垂型ACBPDE（第 25 题图）GMFEHDCBA实用文档标准文案EDCAB1、如图，在ABC 中，A=60，BD、CE 分别是 AC、AB 上的高求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角ABC，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别是 27 和 3，DE=6，求：点 B 到直线 AC 的距离。2EDABC共享型相似三角形共享型相似三角形1、ABC 是等边三角形,D、B、C、E 在一条直线上,DAE=，已知 BD=1，CE=3，,求等边三角形的边120长.ABCDE 2、已知：如图，在 RtABC中，AB=AC，DAE=45求证：（1）ABEACD；（2）CDBEBC 22一线三等角型相似三角形一线三等角型相似三角形例 1：如图，等边ABC中，边长为 6，D是BC上动点，EDF=60（1）求证：BDECFDCADBEFDEABC实用文档标准文案（2）当BD=1，FC=3 时，求BE 例 2：（1 1）在中，点、分别在射线、上（点不与点ABC5 ACAB8BCPQCBACP、点重合），且保持.CBABCAPQ若点在线段上（如图），且，求线段的长；PCB6BPCQ若，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；xBP yCQ yx（2）正方形的边长为（如下图），点、分别在直线、上（点不与点、点ABCD5PQCBDCPC重合），且保持.当时，求出线段的长.B90APQ1CQBP 例 3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图 8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长ABC备用图ABCDABCDABCPQABC备用图ABCDCDABP实用文档标准文案（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1 时，写出AP的长CBADCBAD例 4：如图，在梯形中，点为边的中点，ABCDADBC6ABCDBC3AD MBC以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结MEMFB MEABEMFCDFEF（1）求证：；MEFBEM（2）若是以为腰的等腰三角形，求的长；BEMBMEF（3）若，求的长EFCDBE相关练习：相关练习：1、如图，在ABC中，是边上的一个动点，点在边上，且8 ACAB10BCDBCEACCADE(1)求证：ABDDCE；(2)如果，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；xBD yAE yxx(3)当点是的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由DBCABCDE实用文档标准文案2、如图，已知在ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于FDEFB（1）求证：DBEECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果DEF与DBE相似，求FC的长3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点 （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定xyyx义域；当时，求BP的长BEPDMFSS494、如图，已知边长为的等边，点在边上，点是射线上一动点，以线段3ABCFBC1CF EBA为边向右侧作等边，直线交直线于点，EFEFG,EG FGAC,M N（1）写出图中与相似的三角形；BEF（2）证明其中一对三角形相似；（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；,BEx MNyyxx（4）若，试求的面积1AE GMNFBACDEEDCBAP（第 25 题图）EDCBA（备用图）备用图实用文档标准文案一线三直角型相似三角形一线三直角型相似三角形例例 1 1、已知矩形 ABCD 中，CD=2，AD=3，点 P 是 AD 上的一个动点，且和点 A,D 不重合，过点 P 作，交边 AB 于点 E,设，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围。CPPE yAExPD,例例 2 2、在中，是 AB 上的一点，且，点 P 是 AC 上的一个动ABCOBCACC,3,4,90o52ABAO点，交线段 BC 于点 Q，（不与点 B,C 重合），设，试求关于 x 的函数关系，OPPQ yCQxAP,y并写出定义域。【练习练习 1 1】在直角中，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点，ABC43tan,5,90BABCo交射线 AC 于点 FDEDF（1）、求 AC 和 BC 的长（2）、当时，求 BE 的长。BCEF/（3）、连结 EF,当和相似时，求 BE 的长。DEFABCQCBAOPFDCBAEEBCADPFDCBAE实用文档标准文案QPDCBAQPDCBAFABCDEFABCDE【练习练习 2 2】在直角三角形 ABC 中，是 AB 边上的一点，E 是在 AC 边上的一个动点，（与 A,CDBCABC,90o不重合），与射线 BC 相交于点 F.DFDEDF,(1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证：DFDE(2)、当，求的值mDBADDFDE（3）、当，设,求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域21,6DBADBCACyBFxAE,【练习练习 4】4】如图，在中，是边的中点，为边ABC90C6AC 3tan4B DBCEAB上的一个动点，作，交射线于点设，的面积为90DEFEFBCFBExBEDy（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；yxx（2）如果以、为顶点的三角形与相似，求的面积.BEFBEDBED【练习练习5 5】、（2015 年黄浦一模 25）如图,在梯形中，,，是腰ABCDCDAB34tan,4,2CADABPDABADC,900上一个动点(不含点、),作交于点.(图 1)BCBCAPPQ CDQ (1)求的长与梯形的面积；BCABCD (2)当时,求的长；(图 2)DQPQ BP (3)设,试求关于的函数解析式,并写出定义域.yCQxBP,yx实用文档标准文案（图 1）（图 2）