江苏省南京师范大学附属中学2018届高三数学模拟考试试题.doc

2018届高三模拟考试试卷
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
2018．5
参考公式：
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2－x－2＜0}，则A∩B＝________.
2. 若复数z＝1－i，则z＋ 的虚部是________．
3. 某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1 400辆、5 600辆、2 000辆．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
4. 设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝－2x＋y的最大值是________．
5. 小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是________．
6. 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．
(第6题)
　　　(第7题)

7. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是________．
8. 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝2x，它的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，则双曲线的方程是________________．
9. 若直线y＝2x＋b是曲线y＝ex－2的切线，则实数b＝________.
10. “a＝1”是“函数f(x)＝＋sin x－a2为奇函数”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
11. 在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2 018＝________.
12. 已知直线x－y＋b＝0与圆x2＋y2＝9交于不同的两点A，B.若O是坐标原点，且|＋|≥||，则实数b的取值范围是________________．
13. 在△ABC中，已知·＋2·＝3·，则cos C的最小值是________．
14. 已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝ 若方程g(f(x))－a＝0(a＞0)有6个实数根(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量 m＝(－1，)，n＝(cos A，sin A)，且m·n＝1.
(1) 求A的值；
(2) 若＝－3，求tan C的值．

16. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.
(1) 求证：AB∥EF；
(2) 若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.

17. (本小题满分14分)
如图，A，B，C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向6千米处．
(1) 警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时∠CBP＝45°，求PB的距离；
(2) 警员甲从C出发沿CA前往A，警员乙从A出发沿AB前往B，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B后原地等待，直到甲到达A时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试求两人通过对讲机能保持联系的总时长．

18. (本小题满分16分)
如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C经过点(0，)，离心率为，直线l过点F2与椭圆C交于A，B两点．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若点N为△F1AF2的内心(三角形三条内角平分线的交点)，求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；
(3) 设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为点D，G, E．连结AE，BD，试问：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．

19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ln x－ax＋a，a∈R.
(1) 若a＝1，求函数f(x)的极值；
(2) 若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围；
(3) 对于曲线y＝f(x)上的两个不同的点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，若y＝f(x)的导函数为f ′(x)，证明：f ′＜k.

20. (本小题满分16分)
已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．
(1) 求{an}和{bn}的通项公式；
(2) 设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k(i＜j＜k)，使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；
(3) 令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，的前n项和为An.若数列{pn}满足p1＝c1，且对∀n≥2，n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4ln n.

2018届高三模拟考试试卷(十九)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修41：几何证明选讲)
在△ABC中，已知AC＝AB，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC边于点N，求证：BN＝2AM.

B. (选修42：矩阵与变换)
已知矩阵M＝的一个特征值为3，求M的另一个特征值．

C. (选修44：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，已知圆C：ρ＝2cos θ和直线l：θ＝(ρ∈R)相交于A，B两点，求线段AB的长．

D. (选修45：不等式选讲)
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋≥.

【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.
(1) 求S＝的概率；
(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．

23. 设集合A，B是非空集合M的两个不同子集．
(1) 若M＝{a1，a2}，且A是B的子集，求所有有序集合对(A，B)的个数；
(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，an}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集合对(A，B)的个数．

2018届高三模拟考试试卷
数学参考答案及评分标准

1. {0，1}　2. －　3. 10　4. 5　5. 　6. 4　7. 　8. －＝1　9. －2ln 2　10. 充分不必要　11. 9　12. (－3，－]∪[，3)　13. 　14.
15. 解：(1) 因为m·n＝1，所以(－1，)·(cos A，sin A)＝1，即sin A－cos A＝1，(2分)
则2＝1，即sin＝.(4分)
又0<A<π ，所以－<A－<，故A－＝，所以A＝.(6分)
(2) 由题知 ＝－3，整理得sin2B－sin Bcos B－2cos2B＝0.(8分)
又cos B≠0 ，所以tan 2B－tan B－2＝0，解得tan B＝2或tan B＝－1.(10分)
又当tan B＝－1时cos2B－sin2B＝0，不合题意舍去，所以tan B＝2.(12分)
故tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝－＝. (14分)
16. 证明：(1) 因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD. (2分)
又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC.(4分)
因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF. (7分)
(2) 因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD. (8分)
因为AF⊥EF，AB∥EF，所以AB⊥AF.(9分)
又AB⊥AD，点E在棱PC上(异于点C)，所以F点异于点D，所以AF∩AD＝A.
又AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.(12分)
又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD. (14分)
17. 解：(1) 在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°，∠APB＝75°，
由正弦定理，得＝，
即BP＝＝＝＝3(－)，
故PB的距离是9－3千米. (4分)
(2) 甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．
设甲、乙之间的距离为f(t)，要保持通话则需要f(t)≤9.
① 当0≤t≤1时，
f(t)＝＝3≤9，(6分)
即7t2－16t＋7≤0，解得≤t≤.
又t∈[0，1]，所以≤t≤1，(8分)
故两人通过对讲机保持联系的时长为小时.
② 当1<t≤4时，
f(t)＝＝3≤9，(10分)
即t2－6t＋3≤0，解得3－≤t≤3＋.
又t∈(1，4]，所以1<t≤4，(12分)
故两人通过对讲机保持联系的时长为3小时．
由①②可知，两人通过对讲机能保持联系的总时长为3＋＝(小时).
答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时. (14分)
(注：不答扣1分)
18. 解：(1) 由题意知b＝.因为＝，所以＝，解得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1. (4分)
(2) 因为点N为△F1AF2的内心，
所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，
则＝＝＝＝. (8分)
(3) 若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，
此时AE与BD交于F2G的中点.(9分)
下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T.
设直线l的方程为y＝k(x－1)，
联立化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
因为直线l经过椭圆C内的点(1，0)，所以Δ＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝. (11分)
由题意，得D(4，y1)，E(4，y2)，则直线AE的方程为y－y2＝(x－4)．
令x＝，此时y＝y2＋×＝
＝＝
＝＝

＝＝＝0，
所以点T在直线AE上．
同理可证，点T在直线BD上. (16分)
所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T.
19. (1) 解：f′(x)＝－a＝，x>0，
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值；(2分)
当a>0时，x∈，f′(x)>0，f(x)在上单调递增，
x∈，f′(x)<0，f(x)在上单调递减．
故函数有极大值f＝a－ln a－1，无极小值. (4分)
(2) 解：由(1)可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不可能有两个零点；
当a＞0时，函数有极大值f＝a－ln a－1.
令g(x)＝x－ln x－1(x＞0), 则g′(x)＝1－＝.
当x∈(0，1)，g′(x)<0，g(x)在(0，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
函数g(x)有最小值g(1)＝0.
若要使函数f(x)有两个零点，必须满足a>0且a≠1.(6分)
下面证明a>0且a≠1时，函数有两个零点．
因为f(1)＝0，所以下面证明f(x)还有另一个零点．
① 当0<a<1时，f＝a－ln a－1>0，
f＝－2ln a＋a－＝＝－.
令h(a)＝2aln a－a2＋1(0<a<1)，则h′(a)＝2(ln a＋1)－2a＝2(ln a－a＋1)<0，
h(a)在(0，1)上单调递减，h(a)>h(1)＝0，则f<0，所以f(x)在上有零点．
又f(x)在上单调递减，
所以f(x)在上有唯一零点，从而f(x)有两个零点．
② 当a>1时，f＝a－ln a－1>0，
f＝－a－a×＋a＝－a×<0.
易证ea>a，可得<，所以f(x)在上有零点．
又f(x)在上单调递减，
所以f(x)在上有唯一零点，从而f(x)有两个零点．
综上，a的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞). (10分)
(3) 证明：f(x1)－f(x2)＝ln x1－ln x2＋a(x2－x1)，
k＝＝＝－a.
又f′(x)＝－a＝，f′＝－a，(12分)
所以f′－k＝－＝
＝.
不妨设0＜x2＜x1, t＝，则t＞1，则－ln ＝－ln t.
令h(t)＝－ln t(t>1)，则h′(t)＝－<0，
因此h(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)＝0.
又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，
所以f ′－k＜0，即f ′＜k. (16分)
20. 解：(1) 设等差数列的公差为d(d≠0)，等比数列的公比为q(q≠1)，
由题意，得⇒解得d＝1，q＝2，(4分)
所以an＝n，bn＝2n－1.
(2) 由ambj，amanbi，anbk成等差数列，有2amanbi＝ambj＋anbk，即2mn·2i－1＝m·2j－1＋n·2k－1 .
由于i<j<k，且为正整数，所以j－i≥1，k－i≥2，
所以2mn＝m·2j－i＋n·2k－i≥2m＋4n，(6分)
可得 mn≥m＋2n, 即＋≤1.
① 当1≤m≤2时，不等式＋≤1不成立；
② 当 或 时，2mn·2i－1＝m·2j－1＋n·2k－1成立；(8分)
③ 当n≥4时，>0，<1，即m>2，则有m＋n>6；
所以m＋n的最小值为6，
当且仅当j－i＝1，k－i＝2，且 或 时取得. (10分)
(3) 由题意，得p2＝＋c2，p3＝＋c3，…
Sn＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝(c1＋c2＋c3＋…＋cn)(11分)
＝Tn.
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn　①，
Tn＝c1＋c2＋…＋cn　②.
①－②，得Tn＝1＋＋＋＋…＋－＝2－2－n ，(12分)
解得 Tn＝4－(n＋2)<4，
所以 Sn<4.
设f(x)＝ln x＋－1(x>1)，则f′(x)＝－＝>0，
所以 f(x)在(1，＋∞)上单调递增，有f(x)>f(1)＝0，可得 ln x>1－. (14分)
当k≥2，且k∈N*时，>1，有ln >1－＝，
所以<ln ，<ln ，…，<ln ，
可得1＋＋＋…＋<1＋ln ＋ln ＋…＋ln ＝1＋ln n，
所以Sn<4<4＋4ln n. (16分)

2018届高三模拟考试试卷
数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 证明： 在△ABC中，因为CM是∠ACB的平分线，所以＝.
又AC＝AB，所以＝　①.(4分)
因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，
所以BM·BA＝BN·BC，即＝　②.(8分)
由①②可知＝，所以 BN＝2AM.(10分)
B. 解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4. (3分)
因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，
所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1. 　(6分)
由(λ－1)(λ－1)－4＝0，解得λ＝－1或3，所以λ2＝－1. (10分)
C. 解：圆C：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－)2＋y2＝2.
直线l：θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x，即x－y＝0.(6分)
圆心C(，0)到直线l的距离d＝＝1. (8分)
所以AB＝2＝2. 　(10分)
D. 证明：(证法1)　因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋＋
≥5＋2＝9. (8分)
而(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以＋≥. 　　(10分)
(证法2)因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得
[(2a＋1)＋(2b＋1)]≥
＝(1＋2)2＝9. 　(8分)
由a＋b＝1，得 (2a＋1)＋(2b＋1)＝4, 所以＋≥.(10分)
22. 解：(1) 从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法，
其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，
所以P＝＝.　　(3分)
(2) S的所有可能取值为，，.
S＝的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，所以P＝＝. (5分)
S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，所以P＝＝.　(7分)
又由(1)知P＝＝，故S的分布列为

S

P

所以E(S)＝×＋×＋×＝.　(10分)
23. 解：(1) 若集合B含有2个元素，即B＝{a1，a2}，
则A＝∅，{a1}，{a2}，则(A，B)的个数为3；
若集合B含有1个元素，则B有C种，不妨设B＝{a1}，则A＝∅，
此时(A，B)的个数为C×1＝2.
综上，(A，B)的个数为5. 　(3分)
(2) 集合M有2n个子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，
则不同的有序集合对(A，B)的个数为2n(2n－1). (5分)
若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A，B)的个数为
C(C－1)＋C(C－1)＋C(C－1)＋…＋C(C－1)
＝(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2－(C＋C＋C＋…＋C). (7分)
又(x＋1)n(x＋1)n的展开式中xn的系数为(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2，
且(x＋1)n(x＋1)n＝(x＋1)2n的展开式中xn的系数为C，
所以(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C.
因为C＋C＋C＋…＋C＝2n，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，
有序集合对(A，B)的个数为C－2n.(9分)
所以当A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对(A，B)的个数为
＝.(10分)