圆的专题讲义.doc

与圆有关的证明及计算1已知，如图，直线MN交O于A，B两点，AC是直径，AD平分CAM交O于D，过D作DEMN于E（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求O的半径2如图，在ABC，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且CBF=CAB（1）求证：直线BF是O的切线；（2）若AB=5，sinCBF=，求BC和BF的长3如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE（1）求证：AE是O的切线；（2）若DBC=30，DE=1cm，求BD的长4如图，已知ABC内接于O，AC是O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F（1）求证：EF是O的切线；（2）若EF=8，EC=6，求O的半径5如图，AB是O的直径，弦CDAB与点E，点P在O上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若BC=3，sinP=，求O的直径6如图，直线EF交O于A、B两点，AC是O直径，DE是O的切线，且DEEF，垂足为E（1）求证：AD平分CAE；（2）若DE=4cm，AE=2cm，求O的半径7如图，RtABC中，ABC=90，以AB为直径作半圆O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE（1）求证：DE是半圆O的切线（2）若BAC=30，DE=2，求AD的长8如图，在RtABC中，ACB=90，以AC为直径作O交AB于点D点，连接CD（1）求证：A=BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与O相切？并说明理由9如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求O半径的长10如图AB是O的直径，PA，PC与O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DEPO交PO的延长线于点E（1）求证：EPD=EDO；（2）若PC=6，tanPDA=，求OE的长圆的动态探究题11如图，O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动连接PB，QE，设运动时间为t（s）（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：当t= s时，四边形PBQE为菱形；当t= s时，四边形PBQE为矩形12如图，AB为O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交O于点M和点N，已知O的半径为l，设运动时间为t秒（1）若AC=5，则当t= 时，四边形AMQN为菱形；当t= 时，NQ与O相切；（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值13如图，在RtABC中，BAC=90，B=60，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作O，O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F（1）求证：BD是O的切线；（2）若BC=2，E是半圆上一动点，连接AE、AD、DE填空：当的长度是 时，四边形ABDE是菱形；当的长度是 时，ADE是直角三角形14如图，点A，B，C分别是O上的点，且B=60，CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC（1）求证：AP是O的切线；（2）若AC=3，填空：当的长为 时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形；当的长为 时，ABC的面积最大，最大面积为 15四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB=8ABD的面积为 的长 16在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，ABC=30，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC（1）求证：PACPCB；（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：当AQ= 时，四边形AQBC的面积最大；当AQ= 时，ABC与ABQ全等17如图，AB是O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PEAB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D（1）求证：DC=DP；（2）若直径AB=12cm，CAB=30，当E是半径OA中点时，切线长DC= cm：当AE= cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形18如图，O的直径AB=4，点C为O上的一个动点，连接OC，过点A作O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE（1）求证：CE是O的切线；（2）填空：当CE= 时，四边形AOCE为正方形；当CE= 时，CDE为等边三角形19如图，ABC是半径为2的O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）填空：若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是 ；若AB=2，当CAB的度数为 时，四边形DEFG是正方形20如图，在ABC中，AB=AC，点O为边AB的中点，ODBC于点D，AMBC于点M，以点O为圆心，线段OD为半径的圆与AM相切于点N（1）求证：AN=BD；（2）填空：点P是O上的一个动点，若AB=4，连结OC，则PC的最大值是 ；当BOP= 时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形1已知，如图，直线MN交O于A，B两点，AC是直径，AD平分CAM交O于D，过D作DEMN于E（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求O的半径【解答】（1）证明：连接ODOA=OD，OAD=ODAOAD=DAE，ODA=DAEDOMNDEMN，ODE=DEM=90即ODDED在O上，OD为O的半径，DE是O的切线（2）解：AED=90，DE=6，AE=3，连接CDAC是O的直径，ADC=AED=90CAD=DAE，ACDADE则AC=15（cm）O的半径是7.5cm2如图，在ABC，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且CBF=CAB（1）求证：直线BF是O的切线；（2）若AB=5，sinCBF=，求BC和BF的长【解答】（1）证明：连接AE，AB是O的直径，AEB=90，1+2=90AB=AC，1=CABCBF=CAB，1=CBFCBF+2=90即ABF=90AB是O的直径，直线BF是O的切线（2）解：过点C作CGAB于GsinCBF=，1=CBF，sin1=，在RtAEB中，AEB=90，AB=5，BE=ABsin1=，AB=AC，AEB=90，BC=2BE=2，在RtABE中，由勾股定理得AE=2，sin2=，cos2=，在RtCBG中，可求得GC=4，GB=2，AG=3，GCBF，AGCABF，BF=3如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE（1）求证：AE是O的切线；（2）若DBC=30，DE=1cm，求BD的长【解答】（1）证明：连接OA，DA平分BDE，BDA=EDAOA=OD，ODA=OAD，OAD=EDA，OACEAECE，AEOAAE是O的切线（2）解：BD是直径，BCD=BAD=90DBC=30，BDC=60，BDE=120DA平分BDE，BDA=EDA=60ABD=EAD=30在RtAED中，AED=90，EAD=30，AD=2DE在RtABD中，BAD=90，ABD=30，BD=2AD=4DEDE的长是1cm，BD的长是4cm4如图，已知ABC内接于O，AC是O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F（1）求证：EF是O的切线；（2）若EF=8，EC=6，求O的半径【解答】（1）证明：连接OD交于AB于点GD是的中点，OD为半径，AG=BGAO=OC，OG是ABC的中位线OGBC，即ODCE又CEEF，ODEF，EF是O的切线（2）解：在RtCEF中，CE=6，EF=8，CF=10设半径OC=OD=r，则OF=10r，ODCE，FODFCE，=，r=，即：O的半径为5如图，AB是O的直径，弦CDAB与点E，点P在O上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若BC=3，sinP=，求O的直径【解答】（1）证明：C=P又1=C1=PCBPD；（2）解：连接ACAB为O的直径，ACB=90又CDAB，=，P=CAB，又sinP=，sinCAB=，即=，又知，BC=3，AB=5，直径为56如图，直线EF交O于A、B两点，AC是O直径，DE是O的切线，且DEEF，垂足为E（1）求证：AD平分CAE；（2）若DE=4cm，AE=2cm，求O的半径【解答】（1）证明：连接OD，OD=OA，ODA=OAD，DE是O的切线，ODE=90，ODDE，又DEEF，ODEF，ODA=DAE，DAE=OAD，AD平分CAE；（2）解：连接CD，AC是O直径，ADC=90，在RtADE中，DE=4cm，AE=2cm，根据勾股定理得：AD=cm，由（1）知：DAE=OAD，AED=ADC=90，ADCAED，即，AC=10，O的半径是57如图，RtABC中，ABC=90，以AB为直径作半圆O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE（1）求证：DE是半圆O的切线（2）若BAC=30，DE=2，求AD的长【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，AB为圆O的直径，ADB=BDC=90，在RtBDC中，E为斜边BC的中点，DE=BE，在OBE和ODE中，OBEODE（SSS），ODE=ABC=90，则DE为圆O的切线；（2）在RtABC中，BAC=30，BC=AC，BC=2DE=4，AC=8，又C=60，DE=CE，DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=ACDC=68如图，在RtABC中，ACB=90，以AC为直径作O交AB于点D点，连接CD（1）求证：A=BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与O相切？并说明理由【解答】（1）证明：AC为直径，ADC=90，A+DCA=90，ACB=90，DCB+ACD=90，DCB=A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与O相切；解：连接DO，DO=CO，1=2，DM=CM，4=3，2+4=90，1+3=90，直线DM与O相切，故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与O相切9如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求O半径的长【解答】（1）证明：连接OD，PD切O于点D，ODPD，BEPC，ODBE，ADO=E，OA=OD，OAD=ADO，OAD=E，AB=BE；（2）解：由（1）知，ODBE，POD=B，cosPOD=cosB=，在RtPOD中，cosPOD=，OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，OA=3，O半径=310如图AB是O的直径，PA，PC与O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DEPO交PO的延长线于点E（1）求证：EPD=EDO；（2）若PC=6，tanPDA=，求OE的长【解答】（1）证明：PA，PC与O分别相切于点A，C，APO=EPD且PAAO，PAO=90，AOP=EOD，PAO=E=90，APO=EDO，EPD=EDO；（2）解：连接OC，PA=PC=6，tanPDA=，在RtPAD中，AD=8，PD=10，CD=4，tanPDA=，在RtOCD中，OC=OA=3，OD=5，EPD=ODE，DEPOED，=2，DE=2OE在RtOED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52，OE=11如图，O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动连接PB，QE，设运动时间为t（s）（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：当t=2s时，四边形PBQE为菱形；当t=0或4s时，四边形PBQE为矩形【解答】（1）证明：正六边形ABCDEF内接于O，AB=BC=CD=DE=EF=FA，A=ABC=C=D=DEFF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度，运动时间为t（s），AP=DQ=t，则PF=QC=4t，在ABP和DEQ中ABPDEQ（SAS）BP=EQ，同理可证，PE=QB，四边形PEQB是平行四边形（2）解：当四边形PBQE为菱形时，PB=PE=EQ=QB，ABPDEQPFEQCB，AP=PF=DQ=QC，即t=4t，得t=2，故答案为：2；当t=0时，EPF=PEF=30，BPE=12030=90，此时四边形PBQE为矩形；当t=4时，ABP=APB=30，BPE=12030=90，此时四边形PBQE为矩形故答案为：0或412如图，AB为O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交O于点M和点N，已知O的半径为l，设运动时间为t秒（1）若AC=5，则当t=时，四边形AMQN为菱形；当t=时，NQ与O相切；（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值【解答】解：（1）AP=t，CQ=t，则PQ=52t，NMAB，PM=PN，当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=52t，解得t=；当ONQ=90时，NQ与O相切，如图，OP=t1，OQ=ACOAQC=51t=4t，NOP=QON，RtONPRtOQN，=，即=，整理得t25t+5=0，解得t1=，t2=（1t2.5，故舍去），即当t=时，NQ与O相切；故答案为，；（2）当AC的长为3时，存在t=1，使四边形AMQN为正方形理由如下：四边形AMQN为正方形MAN=90，MN为O的直径，而MQN=90，点Q在O上，AQ为直径，点P在圆心，MN=AQ=2，AP=1，t=AP=1，CQ=t=1，AC=AQ+CQ=2+1=313如图，在RtABC中，BAC=90，B=60，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作O，O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F（1）求证：BD是O的切线；（2）若BC=2，E是半圆上一动点，连接AE、AD、DE填空：当的长度是时，四边形ABDE是菱形；当的长度是或时，ADE是直角三角形【解答】（1）证明：连接OD，如图，BAC=90，点D为BC的中点，DB=DA=DC，B=60，ABD为等边三角形，DAB=ADB=60，DAC=C=30，而OA=OD，ODA=OAD=30，ODB=60+30=90，ODBC，BD是O的切线；（2）解：ABD为等边三角形，AB=BD=AD=CD=，在RtODC中，OD=CD=1，当DEAB时，DEAC，AD=AE，ADE=BAD=60，ADE为等边三角形，AD=AE=DE，ADE=60，AOE=2ADE=120，AB=BD=DE=AE，四边形ABDE为菱形，此时的长度=；当ADE=90时，AE为直径，点E与点F重合，此时的长度=；当DAE=90时，DE为直径，AOE=2ADE=60，此时的长度=，所以当的长度为或时，ADE是直角三角形故答案为；或14如图，点A，B，C分别是O上的点，且B=60，CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC（1）求证：AP是O的切线；（2）若AC=3，填空：当的长为时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形；当的长为时，ABC的面积最大，最大面积为【解答】（1）证明：连接OAB=60，AOC=2B=120，又OA=OC，ACP=CAO=30，AOP=60，AP=AC，P=ACP=30，OAP=90，OAAP，AP是O的切线，（2）连接AD，ADC=B=60，CD是直径，DAC=90，AC=3，AD=，CD=2，OC=，当AB是直径时，四边形ADBC是矩形，此时=B=60，当BA=BC时，ABC的面积最大，此时ABC是等边三角形，=，SABC=32=15四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB=8ABD的面积为16的长【解答】解：（1）AE=EC，BE=ED，四边形ABCD是平行四边形AB为直径，且过点E，AEB=90，即ACBD四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形（2）连结OFCD的延长线与半圆相切于点F，OFCFFCAB，OF即为ABD中AB边上的高SABD=ABOF=84=16，点O是AB中点，点E是BD的中点，SOBE=SABD=4过点D作DHAB于点HABCD，OFCF，FOAB，F=FOB=DHO=90四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4在RtDAH中，sinDAB=，DAH=30点O，E分别为AB，BD中点，OEAD，EOB=DAH=30，的长度=故答案为：16，16在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，ABC=30，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC（1）求证：PACPCB；（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：当AQ=3时，四边形AQBC的面积最大；当AQ=3或3时，ABC与ABQ全等【解答】（1）证明：如图1所示，连接OCPC是圆O的切线，OC是半径，OCPC，PCO=90PCA+ACO=90，AB是直径，ACB=90，B+CAB=90，OC=OA，OAC=OCA，B+OCA=90，PCA=B，又P=P，PACPCB；（2）解：当点Q运动到OQAB时，四边形AQBC的面积最大；如图2所示：连接AQ、BQ，OA=OB，OQAB，OQ=BQ，AB是直径，AQB=90，ABQ是等腰直角三角形，AQ=AB=3，故答案为：3；如图3所示：ACB=90，ABC=30，AC=AB=3，BC=AC=3，分两种情况：a当AQ=AC=3时，在RtABC和RtABQ中，ABCABQ（HL）；b当AQ=BC=3时，同理ABCBAQ；综上所述：当AQ=3或3时，ABC与ABQ全等17如图，AB是O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PEAB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D（1）求证：DC=DP；（2）若直径AB=12cm，CAB=30，当E是半径OA中点时，切线长DC=4cm：当AE=3cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形【解答】解：（1）连接OCCD是O的切线，OCD=90，OA=OC，OAC=OCA，PEAB，PEA=90，OAC+APE=90，OCA+PCD=90，APE=PCD，APE=CPD，PCD=CPD，DC=DP（2）连接BC，AB是直径，ACB=90A=30，AB=12，AC=ABcos30=6，在RtAPE中，AE=OA=3，AP=AEcos30=2，PC=ACAP=4，APE=DPC=60，DP=DC，DPC是等边三角形，DC=4，故答案为4当AE=EO时，四边形AOCF是菱形理由：连接AF、OFAE=EO，FEOA，FA=FO=OA，AFO是等边三角形，FAO=60，CAB=30，FAC=30，FOC=2FAC=60，FOC是等边三角形，CF=CO=OA=AF，四边形AOCF是菱形，AE=3cm时，四边形AECF是菱形故答案为318如图，O的直径AB=4，点C为O上的一个动点，连接OC，过点A作O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE（1）求证：CE是O的切线；（2）填空：当CE=2时，四边形AOCE为正方形；当CE=时，CDE为等边三角形【解答】（1）证明：连接AC、OE，如图（1），AB为直径，ACB=90，ACD为直角三角形，又E为AD的中点，EA=EC，在OCE和OAE中，OCEOAE（SSS），OCE=OAE=90，CEOC，CE是O的切线；（2）解：C在线段BD的中点时，四边形AOCE为正方形理由如下：当C为边BD的中点，而E为AD的中点，CE为BAD的中位线，CEAB，CE=AB=OA，四边形OAEC为平行四边形，OAE=90，平行四边形OCEA是矩形，又OA=OC，矩形OCEA是正方形，CE=OA=2，故答案为：2；连接AC，如图（2），CDE为等边三角形，D=60，ABD=30，CE=CD，在RtABC中，AC=AB=2，在RtACD中，tanD=，CD=，CE=，故答案为：19如图，ABC是半径为2的O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）填空：若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；若AB=2，当CAB的度数为75或15时，四边形DEFG是正方形【解答】解：（1）四边形DEFG是平行四边形点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，DGAB，DG=AB，EFAB，EF=AB，DGEF，DG=EF，四边形DEFG是平行四边形；（2）连接OCCA=CB，=，DGOC，AD=DC，AE=EO，DEOC，DE=OC=1，同理EF=AB=，DEDG，四边形DEFG是矩形，四边形DEFG的面积=故答案为；当C是优弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时CAB=75，当C是劣弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时CAB=15，故答案为75或1520如图，在ABC中，AB=AC，点O为边AB的中点，ODBC于点D，AMBC于点M，以点O为圆心，线段OD为半径的圆与AM相切于点N（1）求证：AN=BD；（2）填空：点P是O上的一个动点，若AB=4，连结OC，则PC的最大值是2+；当BOP=45或135时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形【解答】（1）证明：如图1中，连接ONAM是O的切线，ONAM，ODBC，AMBC，ODM=ONM=DMN=90，四边形ODMN是矩形，OD=ON，四边形ODMN是正方形，OD=ON=DM=MN，OA=OB，ODAM，ONBM，BD=DM，AN=MN，BD=AN；（2）如图2中，连接OC、PCPCOC+OP，当点P在CO的延长线时，P、O、C共线时，PC的值最大，最大值为OC+OP由（1）可知，BM=AM，AMB=90，B=45，AB=AC=4，ABC是等腰直角三角形，BM=AM=MC=2，OP=OD=BD=DM=，OA=2，OC=2，PC的最大值为2+；如图3中，由题意以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形当OB为对角线时，OPBD，可得BOP=ABC=45，当OB为边时，OPBC，可得BOP=180ABC=135综上所述，当POB=45或135时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形；