圆的专题讲义.doc

与圆有关的证明及计算
1．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

2．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．

4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．

5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．

6．如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．

7．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．
（1）求证：∠A=∠BCD；
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．

9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．

10．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．
（1）求证：∠EPD=∠EDO；
（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．

圆的动态探究题
11．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动．连接PB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t=　 　s时，四边形PBQE为菱形；
②当t=　 　s时，四边形PBQE为矩形．

12．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．
（1）若AC=5，则当t=　 　时，四边形AMQN为菱形；当t=　 　时，NQ与⊙O相切；
（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．

13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC=2，E是半圆上一动点，连接AE、AD、DE．
填空：
①当的长度是　 　时，四边形ABDE是菱形；
②当的长度是　 　时，△ADE是直角三角形．

14．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，且∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若AC=3，填空：
①当的长为　 　时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形；
②当的长为　 　时，△ABC的面积最大，最大面积为　 　．

15．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．
（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB=8．
①△ABD的面积为　 　．②的长　 　．

16．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：△PAC∽△PCB；
（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：
①当AQ=　 　时，四边形AQBC的面积最大；
②当AQ=　 　时，△ABC与△ABQ全等．

17．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC=DP；
（2）若直径AB=12cm，∠CAB=30°，
①当E是半径OA中点时，切线长DC=　 　cm：
②当AE=　 　cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．

18．如图，⊙O的直径AB=4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）填空：①当CE=　 　时，四边形AOCE为正方形；
②当CE=　 　时，△CDE为等边三角形．

19．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．
（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）填空：
①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是　 　；
②若AB=2，当∠CAB的度数为　 　时，四边形DEFG是正方形．

20．如图，在△ABC中，AB=AC，点O为边AB的中点，OD⊥BC于点D，AM⊥BC于点M，以点O为圆心，线段OD为半径的圆与AM相切于点N．
（1）求证：AN=BD；
（2）填空：点P是⊙O上的一个动点，
①若AB=4，连结OC，则PC的最大值是　 　；
②当∠BOP=　 　时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形．

1．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．
∴DO∥MN．
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°．
即OD⊥DE．
∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴．
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°．
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．
∴．
∴．
则AC=15（cm）．
∴⊙O的半径是7.5cm．

2．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=∠CAB．
∵∠CBF=∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．

（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，
∴sin∠2===，cos∠2===，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴
∴BF==

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．

【解答】（1）证明：连接OA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠EDA，
∴OA∥CE．
∵AE⊥CE，
∴AE⊥OA．
∴AE是⊙O的切线．

（2）解：∵BD是直径，
∴∠BCD=∠BAD=90°．
∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，
∴∠BDE=120°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA=60°．
∴∠ABD=∠EAD=30°．
∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴AD=2DE．
∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4DE．
∵DE的长是1cm，
∴BD的长是4cm．

4．如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OD交于AB于点G．
∵D是的中点，OD为半径，
∴AG=BG．
∵AO=OC，
∴OG是△ABC的中位线．
∴OG∥BC，
即OD∥CE．
又∵CE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△CEF中，CE=6，EF=8，
∴CF=10．
设半径OC=OD=r，则OF=10﹣r，
∵OD∥CE，
∴△FOD∽△FCE，
∴，
∴=，
∴r=，
即：⊙O的半径为．

5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．

【解答】（1）证明：∵∠C=∠P
又∵∠1=∠C
∴∠1=∠P
∴CB∥PD；

（2）解：连接AC
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
又∵CD⊥AB，
∴=，
∴∠P=∠CAB，
又∵sin∠P=，
∴sin∠CAB=，
即=，
又知，BC=3，
∴AB=5，
∴直径为5．

6．如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，OD⊥DE，
又∵DE⊥EF，
∴OD∥EF，
∴∠ODA=∠DAE，
∴∠DAE=∠OAD，
∴AD平分∠CAE；

（2）解：连接CD，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADE中，DE=4cm，AE=2cm，
∴根据勾股定理得：AD=cm，
由（1）知：∠DAE=∠OAD，∠AED=∠ADC=90°，
∴△ADC∽△AED，
∴，即，
∴AC=10，
∴⊙O的半径是5．

7．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
则DE为圆O的切线；

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，
则AD=AC﹣DC=6．

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．
（1）求证：∠A=∠BCD；
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．

【解答】（1）证明：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠DCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠DCB=∠A；

（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；
解：连接DO，
∵DO=CO，
∴∠1=∠2，
∵DM=CM，
∴∠4=∠3，
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴直线DM与⊙O相切，
故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．

9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．

【解答】（1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴∠ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE；

（2）解：由（1）知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，
∴cos∠POD=cosB=，
在Rt△POD中，cos∠POD==，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴，
∴OA=3，
∴⊙O半径=3．

10．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．
（1）求证：∠EPD=∠EDO；
（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．

【解答】（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，
∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，
∴∠PAO=90°，
∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，
∴∠APO=∠EDO，
∴∠EPD=∠EDO；

（2）解：连接OC，
∴PA=PC=6，
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，
∴CD=4，
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，
∵∠EPD=∠ODE，
∴△DEP∽△OED，
∴===2，
∴DE=2OE
在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52，
∴OE=．

11．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动．连接PB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t=　2　s时，四边形PBQE为菱形；
②当t=　0或4　s时，四边形PBQE为矩形．

【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度，运动时间为t（s），
∴AP=DQ=t，则PF=QC=4﹣t，
在△ABP和△DEQ中

∴△ABP≌△DEQ（SAS）
∴BP=EQ，
同理可证，PE=QB，
∴四边形PEQB是平行四边形．
（2）解：①当四边形PBQE为菱形时，PB=PE=EQ=QB，
∴△ABP≌△DEQ≌△PFE≌△QCB，
∴AP=PF=DQ=QC，
即t=4﹣t，得t=2，
故答案为：2；
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°﹣30°=90°，
∴此时四边形PBQE为矩形；
当t=4时，∠ABP=∠APB=30°，
∴∠BPE=120°﹣30°=90°，
∴此时四边形PBQE为矩形．
故答案为：0或4．

12．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．
（1）若AC=5，则当t=　　时，四边形AMQN为菱形；当t=　　时，NQ与⊙O相切；
（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．

【解答】解：（1）AP=t，CQ=t，则PQ=5﹣2t，
∵NM⊥AB，
∴PM=PN，
∴当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=5﹣2t，解得t=；
当∠ONQ=90°时，NQ与⊙O相切，如图，

OP=t﹣1，OQ=AC﹣OA﹣QC=5﹣1﹣t=4﹣t，
∵∠NOP=∠QON，
∴Rt△ONP∽Rt△OQN，
∴=，即=，
整理得t2﹣5t+5=0，解得t1=，t2=（1≤t≤2.5，故舍去），
即当t=时，NQ与⊙O相切；
故答案为，；
（2）当AC的长为3时，存在t=1，使四边形AMQN为正方形．理由如下：
∵四边形AMQN为正方形．
∴∠MAN=90°，
∴MN为⊙O的直径，
而∠MQN=90°，
∴点Q在⊙O上，
∴AQ为直径，
∴点P在圆心，
∴MN=AQ=2，AP=1，
∴t=AP=1，CQ=t=1，
∴AC=AQ+CQ=2+1=3．

13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC=2，E是半圆上一动点，连接AE、AD、DE．
填空：
①当的长度是　π　时，四边形ABDE是菱形；
②当的长度是　π或π　时，△ADE是直角三角形．

【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵∠BAC=90°，点D为BC的中点，
∴DB=DA=DC，
∵∠B=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，
而OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=30°，
∴∠ODB=60°+30°=90°，
∴OD⊥BC，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：①∵△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=AD=CD=，
在Rt△ODC中，OD=CD=1，
当DE∥AB时，DE⊥AC，
∴AD=AE，
∵∠ADE=∠BAD=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD=AE=DE，∠ADE=60°，
∴∠AOE=2∠ADE=120°，
∴AB=BD=DE=AE，
∴四边形ABDE为菱形，
此时的长度==π；
②当∠ADE=90°时，AE为直径，点E与点F重合，此时的长度==π；
当∠DAE=90°时，DE为直径，∠AOE=2∠ADE=60°，此时的长度==π，
所以当的长度为π或π时，△ADE是直角三角形．
故答案为π；π或π．

14．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，且∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若AC=3，填空：
①当的长为　π　时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形；
②当的长为　π　时，△ABC的面积最大，最大面积为　　．

【解答】（1）证明：连接OA．
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠ACP=∠CAO=30°，
∴∠AOP=60°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=90°，
∴OA⊥AP，
∴AP是⊙O的切线，

（2）①连接AD，∵∠ADC=∠B=60°，CD是直径，
∴∠DAC=90°，∵AC=3，
∴AD=，CD=2，OC=，
当AB是直径时，四边形ADBC是矩形，此时==π．
②∵∠B=60°，
∴当BA=BC时，△ABC的面积最大，此时△ABC是等边三角形，
∴==π，S△ABC=×32=．

15．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．
（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB=8．
①△ABD的面积为　16　．
②的长　π　．

【解答】解：（1）∵AE=EC，BE=ED，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB为直径，且过点E，
∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．

（2）①连结OF．

∵CD的延长线与半圆相切于点F，
∴OF⊥CF．
∵FC∥AB，
∴OF即为△ABD中AB边上的高．
∴S△ABD=AB×OF=×8×4=16，
∵点O是AB中点，点E是BD的中点，
∴S△OBE=S△ABD=4．
②过点D作DH⊥AB于点H．
∵AB∥CD，OF⊥CF，
∴FO⊥AB，
∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．
∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4．
∵在Rt△DAH中，sin∠DAB==，
∴∠DAH=30°．
∵点O，E分别为AB，BD中点，
∴OE∥AD，
∴∠EOB=∠DAH=30°，
∴的长度==π．
故答案为：16，π．

16．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：△PAC∽△PCB；
（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：
①当AQ=　3　时，四边形AQBC的面积最大；
②当AQ=　3或3　时，△ABC与△ABQ全等．

【解答】（1）证明：如图1所示，连接OC．
∵PC是圆O的切线，OC是半径，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°
∴∠PCA+∠ACO=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠B+∠OCA=90°，
∴∠PCA=∠B，
又∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB；
（2）解：①当点Q运动到OQ⊥AB时，四边形AQBC的面积最大；
如图2所示：连接AQ、BQ，
∵OA=OB，OQ⊥AB，
∴OQ=BQ，
∵AB是直径，
∴∠AQB=90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∴AQ=AB=3，
故答案为：3；
②如图3所示：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=AB=3，BC=AC=3，
分两种情况：
a．当AQ=AC=3时，
在Rt△ABC和Rt△ABQ中，，
∴△ABC≌△ABQ（HL）；
b．当AQ=BC=3时，同理△ABC≌△BAQ；
综上所述：当AQ=3或3时，△ABC与△ABQ全等．

17．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC=DP；
（2）若直径AB=12cm，∠CAB=30°，
①当E是半径OA中点时，切线长DC=　4　cm：
②当AE=　3　cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．

【解答】解：（1）连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵PE⊥AB，
∴∠PEA=90°，
∴∠OAC+∠APE=90°，∠OCA+∠PCD=90°，
∴∠APE=∠PCD，
∵∠APE=∠CPD，
∴∠PCD=∠CPD，
∴DC=DP．

（2）①连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵∠A=30°，AB=12，
∵AC=AB•cos30°=6，
在Rt△APE中，∵AE=OA=3，
∴AP=AE÷cos30°=2，
∴PC=AC﹣AP=4，
∵∠APE=∠DPC=60°，DP=DC，
∴△DPC是等边三角形，
∴DC=4，
故答案为4．

②当AE=EO时，四边形AOCF是菱形．
理由：连接AF、OF．
∵AE=EO，FE⊥OA，
∴FA=FO=OA，
∴△AFO是等边三角形，
∴∠FAO=60°，∵∠CAB=30°，
∴∠FAC=30°，∠FOC=2∠FAC=60°，
∴△FOC是等边三角形，
∴CF=CO=OA=AF，
∴四边形AOCF是菱形，
∴AE=3cm时，四边形AECF是菱形．
故答案为3．

18．如图，⊙O的直径AB=4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）填空：①当CE=　2　时，四边形AOCE为正方形；
②当CE=　　时，△CDE为等边三角形．

【解答】（1）证明：连接AC、OE，如图（1），
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ACD为直角三角形，
又∵E为AD的中点，
∴EA=EC，
在△OCE和△OAE中，
，
∴△OCE≌△OAE（SSS），
∴∠OCE=∠OAE=90°，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线；

（2）解：①C在线段BD的中点时，四边形AOCE为正方形．理由如下：
当C为边BD的中点，而E为AD的中点，
∴CE为△BAD的中位线，
∴CE∥AB，CE=AB=OA，
∴四边形OAEC为平行四边形，
∵∠OAE=90°，
∴平行四边形OCEA是矩形，
又∵OA=OC，
∴矩形OCEA是正方形，
∴CE=OA=2，
故答案为：2；

②连接AC，如图（2），
∵△CDE为等边三角形，
∴∠D=60°，∠ABD=30°，CE=CD，
在Rt△ABC中，AC=AB=2，
在Rt△ACD中，∵tan∠D=，
∴CD===，
∴CE=，
故答案为：．

19．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．
（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）填空：
①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是　　；
②若AB=2，当∠CAB的度数为　75°或15°　时，四边形DEFG是正方形．

【解答】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．
∵点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，
∴DG∥AB，DG=AB，EF∥AB，EF=AB，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）①连接OC．
∵CA=CB，
∴=，
∴DG⊥OC，
∵AD=DC，AE=EO，
∴DE∥OC，DE=OC=1，同理EF=AB=，
∴DE⊥DG，
∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的面积=．
故答案为；
②当C是优弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=75°，
当C是劣弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=15°，
故答案为75°或15°．

20．如图，在△ABC中，AB=AC，点O为边AB的中点，OD⊥BC于点D，AM⊥BC于点M，以点O为圆心，线段OD为半径的圆与AM相切于点N．
（1）求证：AN=BD；
（2）填空：点P是⊙O上的一个动点，
①若AB=4，连结OC，则PC的最大值是　2+　；
②当∠BOP=　45°或135°　时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形．

【解答】（1）证明：如图1中，连接ON．

∵AM是⊙O的切线，
∴ON⊥AM，
∵OD⊥BC，AM⊥BC，
∴∠ODM=∠ONM=∠DMN=90°，
∴四边形ODMN是矩形，
∵OD=ON，
∴四边形ODMN是正方形，
∴OD=ON=DM=MN，
∵OA=OB，OD∥AM，ON∥BM，
∴BD=DM，AN=MN，
∴BD=AN；

（2）①如图2中，连接OC、PC．

∵PC≤OC+OP，
∴当点P在CO的延长线时，P、O、C共线时，PC的值最大，最大值为OC+OP．
由（1）可知，BM=AM，∠AMB=90°，
∴∠B=45°，
∵AB=AC=4，
∴△ABC是等腰直角三角形，BM=AM=MC=2，OP=OD=BD=DM=，
∴OA=2，OC==2，
∴PC的最大值为2+；

②如图3中，

由题意以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形
当OB为对角线时，OP∥BD，可得∠BOP=∠ABC=45°，
当OB为边时，OP′∥BC，可得∠BOP′=180°﹣∠ABC=135°．
综上所述，当∠POB=45°或135°时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形；