高三复习解三角形知识点题型方法归纳.pdf

绵阳市开元中学高绵阳市开元中学高 20142014 级高三一轮复习级高三一轮复习 解三角形解三角形知识点、题型与方法归纳知识点、题型与方法归纳 制卷：王小制卷：王小凤凤 学生姓名：学生姓名：一、知识点归纳（一、知识点归纳（注重细节，熟记考点注重细节，熟记考点）1正弦定理及其变形正弦定理及其变形 2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）变式：变式：12 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC（）(边化角公式）2 sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）3:sin:sin:sina b cABC（）sinsinsin(4),sinsinsinaA aA bBbB cC cC2正弦定理适用情况：正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.3余弦定理及其推论余弦定理及其推论 2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab4 4余弦定理适用情况：余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.注解三角形或判定三角形形状时注解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.5 5常用的三角形面积公式常用的三角形面积公式（1）；高底21ABCS（2）（两边夹一角）；111=sinsinsin2224abcSabCacBbcARABCR为外接圆半径6 6三角形中常用结论三角形中常用结论（1）,(abc bca acb即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在中，所以 ；ABCABCsinsinABCcoscosABC；tantanABC sincos,22ABCcossin22ABC7 7实际问题中的常用角实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为（如图）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图）如：北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；“东北方向”表示北偏东（或东偏北）.45（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角 为坡角）二、题型示例（二、题型示例（注重基础，熟记方法注重基础，熟记方法）考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用1在中，若A60，B45，BC3，则 AC()ABCV2A4 B2 C D333322在中，则等于()ABCV2223abcbcAA60 B45 C120 D150考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形形状状3设的内角所对的边分别为,若,则的形ABCV,A B C,a b ccoscossinbCcBaAABCV状为()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定4若ABC 的三个内角满足，则ABC()7:5:3sin:sin:sinCBAA一定是锐角三角形 B一定是直角三角形C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5在中，若，则ABC 是()ABCcos Acos BbaA等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形考点三：利用正余弦定理求三角形的面积考点三：利用正余弦定理求三角形的面积6在中，,，则面积为()ABC3AB 1AC 30AABCA BC或 D或 323432334327已知的三边长，则的面积为()ABC3,5,6abcABCA B CD142 14152 15考点四：利用正余弦定理求角考点四：利用正余弦定理求角8在锐角中ABC,角,A B所对的边长分别为,a b.若2 sin3,aBbA则角等于()A12 B6 C4 D3 9在ABC 中，若 a18，b24，A45，则此三角形有()A无解 B两解 C一解 D解的个数不确定10在ABC,内角,A B C 所对的边长分别为,.a b c1sincossincos,2aBCcBAb且ab,则B()A6 B3 C23 D56 考点五：正余弦定理实际应用问题考点五：正余弦定理实际应用问题11如图：A，B 是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东，B 点5 3345北偏西的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西且与 B 点相距海里的 C 点的救援606020 3船立即前往营救，其航行速度为每小时 30 海里，该救援船到达 D 点需要多长时间？解解由题意知 AB5(3)海里，3 DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理，得，DBsinDABABsinADBDBABsinDABsinADB5(3r(3)sin 45sin 10510(海里)5(3r(3)sin 45sin 45cos 60cos 45sin 605 3(r(3)1)3123又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，3在DBC 中，由余弦定理，得 CD2BD2BC22BDBCcos DBC3001 20021020 900，3312CD30(海里)，需要的时间 t1(小时)故救援船到达 D 点需要 1 小时3030三、高考真题赏析三、高考真题赏析1（2016 年山东）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（）证明：a+b=2c;（）求 cosC 的最小值.【解析解析】()由得cosAtanB+cosBtanA=tanB)+2(tanA ，cosAcosBsinBcosAcosBsinAcosAcosBsinC2所以，由正弦定理，得CBCsinsinsin2cba2=+（）由abcabbaabcbaC22222222)(cos211231223123222)(bacabc所以的最小值为Ccos212（2016 年四川）在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且.coscossinABCabc（I）证明：；sinsinsinABC（II）若，求.22265bcabctan B【解析】（I）证明：由正弦定理可知sinsinsinabcABC原式可以化解为coscossin1sinsinsinABCABC和为三角形内角,ABsinsin0AB 则，两边同时乘以，可得sinsinABsincossincossinsinBAABAB由和角公式可知，sincossincossinsinsinBAABABCC原式得证。（II）由题,根据余弦定理可知，22265bcabc2223cos25bcaAbc 为为三角形内角，A0,Asin0A 则，即234sin155Acos3sin4AA 由（I）可知，coscossin1sinsinsinABCABCcos11sintan4BBB tan4B 3（2016 年全国 I）的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ABC2cos(coscos).C aB+bAc（I）求 C；（II）若的面积为，求的周长7,cABC3 32ABC【解析】(1)由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC2cossinsinCABC，ABC0ABC、，sinsin0ABC2cos1C 1cos2C 0C，3C 由余弦定理得：即 2222coscababC221722abab237abab133 3sin242SabCab 6ab 2187ab5ab周长为ABC57abc4(2015 高考新课标 2)中，是上的点，平分，面积是面积的 2 倍ABCDBCADBACABDADC()求；()若，求和的长 sinsinBC1AD 22DC BDAC5（2015 高考四川，理 19）如图，A，B，C，D 为平面四边 形 ABCD 的四个内角.（1）证明：1costan;2sinAAA（2）若求的值.180,6,3,4,5,ACABBCCDADotantantantan2222ABCDABCD6（2013 级绵阳一诊，19）已知如图，在中，Rt ABC，点 D、E 是斜边 AB 上两点60A6AB (I)当点是线段靠近的一个三等分点时，求的值；DABACD CA (II)当点在线段上运动时，且，设，试DE、AB30DCEACD用表示的面积，并求的取值范围DCESS解：（1）在 RtABC 中，AC=ABcos60=，.3216231ABAD，CDCAAD 2()CD CACAADCACAAD CA 2|cosCAADCAADCA 、=9+23cos120=6.（2）在ACD 中，ADC=180-A-DCA=120-，由正弦定理可得，即.ADCACACDsinsin)120sin(233)120sin(233CD 在AEC 中，ACE=+30，AEC=180-60-(+30)=90-，由正弦定理可得：，即，AECACACEsinsincos233)90sin(233CE ，cos233)120sin(2334130sin21CECDSDCEcos)120sin(11627令 f()=sin(120-)cos，060，f()=(sin120cos-cos120sin)coscossin21cos2322sin212122cos123)2sin212cos23(2143，)602sin(2143由 060，知 602+60180，0sin(2+60)1，f()，432143，)32(4)(1f334 )32(427DCES12327