1、二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、二次函数概念:一、二次函数概念:1二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫2yaxbxcabc,0a 做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而0a 可以为零二次函数的定义域是全体实数bc,2.二次函数的结构特征:2yaxbxc 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是 2xx 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项abc,abc二、二次函数的基本形式二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式:的性质:2yaxa 的绝对值越大,抛物线的开口越小。2.的性质:2yaxc上加下减。的符号a开口方向顶点坐标对称轴
2、性质0a 向上00,轴y时,随的增大而增大;时,0 x yx0 x 随的增大而减小;时,有最小yx0 x y值00a 向下00,轴y时,随的增大而减小;时,0 x yx0 x 随的增大而增大;时,有最大yx0 x y值0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c,轴y时,随的增大而增大;时,0 x yx0 x 随的增大而减小;时,有最小yx0 x y值c0a 向下0c,轴y时,随的增大而减小;时,0 x yx0 x 随的增大而增大;时,有最大yx0 x y值c3.的性质:2ya xh左加右减。4.的性质:2ya xhk三、二次函数图象的平移三、二次函数图象的平移 1.平移步骤:将抛物线解
3、析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;2ya xhkhk,保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:2yaxhk,【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h,X=h时,随的增大而增大;时,xhyxxh随的增大而减小;时,有最小yxxhy值00a 向下0h,X=h时,随的增大而减小;时,xhyxxh随的增大而增大;时,有最大yxxhy值0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上hk,X=h时,随的增大而增大;时,xhy
4、xxh随的增大而减小;时,有最小yxxhy值k0a 向下hk,X=h时,随的增大而减小;时,xhyxxh随的增大而增大;时,有最大yxxhy值k 在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”hk概括成八个字“左加右减,上加下减”四、二次函数四、二次函数与与的比较的比较2ya xhk2yaxbxc从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过2ya xhk2yaxbxc配方可以得到前者,即,其中22424bacbya xaa2424bacbhkaa,六、二次函数六、二次函数的性质的性质2yaxbxc 1.当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为0a 2bxa 2424bacbaa,
5、当时,随的增大而减小;2bxa yx当时,随的增大而增大;2bxa yx当时,有最小值2bxa y244acba 2.当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为当0a 2bxa 2424bacbaa,时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,2bxa yx2bxa yx2bxa 有最大值y244acba七、二次函数解析式的表示方法七、二次函数解析式的表示方法1.一般式:(,为常数,);2yaxbxcabc0a 2.顶点式:(,为常数,);2()ya xhkahk0a 3.两根式(交点式):(,是抛物线与轴两交点的横12()()ya xxxx0a 1x2xx坐标).注意:任何二次函数的解析
6、式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以x240bac用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;0a aa 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越0a aa大2.一次项系数b 在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴(同左异右 b 为 0 对称轴为aby 轴)3.常数项c 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐
7、标为正;0c yxy 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;0c yy0 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为0c yxy负 总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置cy十、二次函数与一元二次方程:十、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):x一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.20axbxc2yaxbxc0y 图象与轴的交点个数:x 当时,图象与轴交于两点,其中的240bac x1200A xB x,12()xx是一元二次方程的两根.12xx,200axbxca 当时,图象与轴只有一个交点;0 x 当时,图象与轴没有交点.0 x 当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;10a xx0y 当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有 20a xx0y 2.抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,;2yaxbxcy(0)c