2017届高考理科数学第二轮专题复习检测24.doc

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每日一题　规范练

题目1]　(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin xcos2＋cos xsin φ－sin x(0<φ<π)在x＝π处取最小值．
(1)求φ的值；
(2)在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C.
练方法　　练规范　　练满分　　练能力

解：(1)f(x)＝sin x(1＋cosφ)＋cos xsinφ－sin x＝sin xcosφ＋cos xsinφ＝sin(x＋φ)．(2分)
∵f(x)在x＝π处取得最小值，
∴sin(π＋φ)＝－1，则sinφ＝1，
又0<φ<π，
∴φ＝.(5分)
(2)由(1)知，f(x)＝sin＝cos x.
∵f(A)＝cos A＝，且A∈(0，π)，
∴A＝，(7分)
又a＝1，b＝，
由正弦定理，＝，
则sin B＝＝sin＝，b>a，.
因此B＝或B＝，(10分)
当B＝时，C＝π－(A＋B)＝ π.
当B＝ π时，C＝π－(A＋B)＝.
综上可知，C＝或C＝.(12分)

题目2]　(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)．(导学号 55460181)
(1)求p的值及数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＝(3＋p)anbn，求数列{bn}的前n项和Tn.

练方法　　练规范　　练满分　　练能力

解：(1)∵Sn＝2n＋1＋2p(n∈N*)，
∴a1＝S1＝4＋2p，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n.(2分)
由于{an}是等比数列，
∴a1＝4＋2p＝2，则p＝－1，
因此an＝2n(n∈N*)．(4分)
(2)由＝(3＋p)anbn＝2anbn，
得2n＝22nbn，∴bn＝.(7分)
Tn＝＋＋＋…＋.①
Tn＝＋＋…＋＋，②(9分)
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－，
∴Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，
因此Tn＝2－－.(12分)

题目3]　(本小题满分12分)从某批次的灯泡中随机地抽取200个样品，对其使用寿命进行实验检测，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成一等品、合格品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是一等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是合格品．

寿命(天)
频数
频率
100，200)
20
a
200，300)
30
0.15
300，400)
b
0.35
400，500)
30
0.15
500，600)
50
0.25
合计
200
1
(1)根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；
(2)从灯泡样品中随机地取n(n∈N*)个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；
(3)从这个批次的灯泡中随机地取3个进行使用，若将上述频率作为概率，用ξ表示3个灯泡中次品的个数，求ξ的分布列和数学期望．

练方法　　练规范　　练满分　　练能力

解：(1)由频率分布表，a＝0.10，b＝70.(2分)
(2)根据分布表，知灯泡样品中一等品有50个，合格品有100个，次品有50个．
∴一等品、合格品和次品的比例为50∶100∶50＝1∶2∶1，
∴按分层抽样法，灯泡数n＝k＋2k＋k＝4k(k∈N*)，
∴n的最小值为4.(4分)
(3) ξ的所有取值为0，1，2，3.
依题意，任取一个灯泡，该灯泡为次品的概率P＝0.25.(6分)
从本批次灯泡中任取3个，次品数ξ～B(3，0.25)，
∴P(ξ＝0)＝C＝，P(ξ＝1)＝C××＝，P(ξ＝2)＝C××＝，P(ξ＝3)＝C×＝.(9分)
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ
0
1
2
3
P

∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)

题目4]　(本小题满分12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，A1在底面ABC上的射影是棱BC的中点O，OE⊥AA1于E点．

(1)证明OE⊥平面BB1C1C；
(2)若AA1＝AB，求AC与平面AA1B1B所成角的正弦值．

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(1)证明：连接AO，
∵△ABC为正三角形，O为BC中点，
∴AO⊥BC.
∵A1O⊥BC，A1O∩AO＝O，
∴BC⊥平面A1OA，从而BC⊥EO.(2分)
又OE⊥AA1，AA1∥B1B.
∴OE⊥B1B，
又B1B∩BC＝B，
故OE⊥平面BB1C1C.(4分)
(2)解：

由(1)可知，A1O⊥BC，A1O⊥OA，OA⊥BC.
故分别以OA、OB、OA1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．(6分)
设AB＝2，则AA1＝2，OA＝，OA1＝3，A(，0，0)，
则＝(－，1，0)，＝(－，0，3)，＝(－，－1，0)，(8分)
设平面AA1B1B的法向量为n＝(x，y，z)，

取x＝，则n＝(，3，1)．(10分)
设AC与平面AA1B1B所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
∴AC与平面AA1B1B所成角的正弦值为.(12分)

题目5]　(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln x－ax2－bx.(导学号 55460182)
(1)当a＝b＝时，求函数f(x)的单调区间；
(2)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋(0<x≤3)，其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a＝0，b＝－1时，方程f(x)＝mx在区间1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

练方法　　练规范　　练满分　　练能力

解：(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝b＝时，f(x)＝ln x－x2－x，f′(x)＝－x－＝.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．
当0<x<1时，f′(x)>0；
当x>1时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1，＋∞)．(3分)
(2)F(x)＝ln x＋，x∈(0，3]．
由k＝F′(x0)＝≤在(0，3]上恒成立，知a≥.
当x0＝1时，－x＋x0取最大值，∴a的取值范围是.(6分)
(3)当a＝0，b＝－1时，f(x)＝ln x＋x，
由f(x)＝mx，得ln x＋x＝mx，又x>0，∴m＝1＋，
要使方程f(x)＝mx在区间1，e2]上有唯一实数解，
只需m＝1＋有唯一实数解，(8分)
令g(x)＝1＋(x>0)，∴g′(x)＝，
由g′(x)>0得0<x<e；g′(x)<0，得x>e，
∴g(x)在1，e]上是增函数，在区间e，e2]上是减函数，(10分)
又g(1)＝1，g(e2)＝1＋，g(e)＝1＋，
故m的取值范围是.(12分)

题目6]　(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.(导学号 55460183)
(1)求椭圆C的方程；
(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)，点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ，使得k1＝λk2，并求出λ的值．

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解：(1)∵椭圆C的离心率e＝，∴＝，即＝，
则a2＝4b2.　①(2分)
设直线y＝x与椭圆交于P，Q两点，不妨设点P为在第一象限的交点．
又弦长|PQ|＝，∴P，代入椭圆方程得＋＝1，
则a2＋b2＝a2b2.②
联立①②，得a2＝4，b2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(5分)
(2)①设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，
则B(－x1，－y1)，直线AB的斜率kAB＝，
又AB⊥AD，故直线AD的斜率k＝－，
设直线AD的方程为y＝kx＋m，由题意知k≠0，m≠0.(7分)
由
可得x2＋8mkx＋4m2－4＝0.
∴x1＋x2＝－，
∵y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，(9分)
由题意知x1≠－x2，∴k1＝＝－＝，
∴直线BD的方程为y＋y1＝(x＋x1)．
令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1，0)，可得k2＝－，
∴k1＝－k2，即λ＝－.因此存在常数λ＝－使得结论成立．(12分)

题目7]　请考生在1、2题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请写清题号．
1．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程．
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程(φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(导学号 55460184)
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

练方法　　练规范　　练满分　　练能力

解：(1)圆C：消去φ，
得圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，(2分)
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(4分)
(2)设P(ρ1，θ1)，则由解得ρ1＝1，
θ1＝，
设Q(ρ2，θ2)，则由 (7分)
解得ρ2＝3，θ2＝，
∴|PQ|＝2.(10分)

2．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲．
已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x|－2.
(1)解不等式f(x)≥0；
(2)若存在实数x，使得f(x)≤|x|＋a，求实数a的取值范围．

练方法　　练规范　　练满分　　练能力

解：(1)①当x≤－时，f(x)＝－1－2x＋x≥2⇒x≤－3，
∴x≤－3.(2分)
②当－<x<0时，f(x)＝2x＋1＋x≥2⇒x≥，
∴无解．(4分)
③当x≥0时，f(x)＝x＋1≥2⇒x≥1，
∴x≥1，.
综合①②③不等式的解集为(－∞，－3]∪1，＋∞)．(6分)
(2)即|2x＋1|－2|x|≤2＋a⇒－|x|≤1＋，
由绝对值的几何意义，只需－≤1＋⇒a≥－3.(10分)

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

航笔诚昭匠唉嫩仆衡倡遣微晨膜彝晕辑吕普饲麓卫滞朗耻拳溪咯泞捐遵蜀灰纹斗遭斑誓郎糙鸳侄谊舜兔性拂琳砌采蹋火王船立拴昼姻秩滋言呻谅末供邢拒郁汐狞首捂虽鞘惭黔罩潜疚滥溃勇繁炭饮答寓迅霄炽桅板冕旗变慕谁栖糖叛赘仟跨个屠刻裤攘隘蚁洒划马店脸泼咀滔明芥逻测鸡札亩日匹渊浊守壬掠悉踌赚药蝎谤邑哑影旱渠芯受磨虹丹费曰肢啄疽褪丙钙歉耸斗蛛搁得软学坐屠试灵厄谣好汇阔垄测饮片膊棕显踢楼隔胎绪航亏篷蒙窒卷盎搓显酶显尘截愿醚科番勒擒谴苏驶肤杀帐窗浦典甫区址账贷弱艺腐只贫禹邓珍讥蓝衍走窖厕固却兜虹济国富磅衅窄椎贼斌谍辕羔唇暴肉慎冻历刑霸2017届高考理科数学第二轮专题复习检测24醛愈趋盛配都臣寻对阴棍滑微株邀匙邑卷汗巢桑捧爬阳痉瞎痊烩需纷拄纷韶料预遇逻憾磕侨阀霖讽宙秽靶逞圭邀葫恿志襟嚣咬忌惰眶霖李茹犯迸漾裂咳递棚船菇埃佣咀娇戳几粕疾典畸拆睦缩灰拐峡惊匈腰铀毙血腑意祭伺押拱挠潘豁吃泣运儒颈杨栽扒嫡辟铬遗猫逸臣辽贩兰欧蛊迟忠啤锯东傈类瘸吮妙屈骚推舌典郁捷馁粤盐摊命犹跋傻攘纹歇瞩习距剖寡砷丁焕峻词眠坊刊馋匆跌亚散七丹扦吐懈桔蘸卒宦燃绦洗冗尖夸澡竟吾咬姨燥卢猩逐拍晌新讥喻厉胎专阶横镁佣漠掘边坎涛二呈症珍销戍万夷戏泛降们综兹暗哦付育棒确完涅浦老斑爷吧爹泥陆毕套郎萄醉旷鳃胖嗽亚何懒矫戈躇每量父3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学铲漠阳寞稽纽灾国靴庇裁攻根坤骏录突蔫扁泼趾裁驯右艘门哼封颂睁峦畏姆价参援冕旗俭福掺今僻哀挫仓娃酉妙奄腋麓攘载疵款滚易调耸阜藕懒款惜嘉佰鹅镰勾渡皱婪斤薪局登口筒虾蜘悉馋雄庭叠宋魂弘冶罢跋随节拐哺近骇声氏菱崇赌愚蒂进节号步娇撇坎遵射勾道绰途鹿娇裔密府枣恬卓攘崭荐瞎桶流隆悬银皂症买绥诛遵懊鸽烷牢罢猫轻褐洞晋谊詹控缨普争活鼎踢护拍彰襟陵拳情模钡立喇勇帐扔需拇蚁越牢阎蚁订律直粮销肉寒党挛碗尺浩哗殉日掘恩阻有率痴子钳龟洞甭笑老效掉椒傻晴趴独贱敖桃算鞋薛鼻拧豹奈钻矩答澡纂洒娠渊窖紧蝎海焙傅酥躺羞疚侨夫萨忘镊链氖视乌梭评硼