数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)(2).pdf

1数列通项与求和数列通项与求和一求数列通项公式一求数列通项公式1定义法（定义法（等差数列通项公式；等差数列通项公式；等比数列通项公式。等比数列通项公式。）例例等差数列是递增数列，前 n 项和为，且成等比数列，求数列的通 nanS931,aaa255aS na项公式答案：35nan2公式法：已知公式法：已知（即（即）求）求，用作差法：，用作差法：nS12()naaaf nna11,(1),(2)nnnanaSSn例设正整数数列前 n 项和为，满足，求nanS21(1)4nnSana答案：21nan3作商法：已知作商法：已知求求，用作商法：，用作商法：。12()na aaf nna(1),(1)(),(2)(1)nfnf nanf n如如数列中，对所有的都有，则 ；na,11a2n2321naaaan53aa答案：61164累加法：若累加法：若求求：1a(2)n。1()nnaaf nna11221()()()nnnnnaaaaaaa例例已知数列，且 a1=2，an+1=an+n，求 an答案：242nnna25累乘法：已知累乘法：已知求求，用累乘法：，用累乘法：1()nnaf nana121121nnnnnaaaaaaaa(2)n 例例已知数列满足，求。na321annanna11na答案：答案：23nan6已知递推关系求已知递推关系求，用构造法（构造等差等比数列），用构造法（构造等差等比数列）。na（1）形如）形如只需构造数列只需构造数列，消去，消去带来的差异其中带来的差异其中有多种不同形式有多种不同形式 nfpaann1 nb nf nf为常数，即递推公式为为常数，即递推公式为（其中（其中 p，q 均为常数，均为常数，）。nfqpaann1)0)1(ppq解法：转化为：解法：转化为：，其中，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。，再利用换元法转化为等比数列求解。)(1taptannpqt1例例 已知数列中，求 na11a321nnaana答案：123nna为一次多项式，即递推公式为 nfsrnpaann1例例设数列：，求 na)2(,123,411nnaaannna答案：16 31nnan 为的二次式，则可设；)(nfnCBnAnabnn2（2）递推公式为（其中 p，q 均为常数，）。（或，nnnqpaa1)0)1)(1(qppq1nnnaparq其中 p，q，r 均为常数）3解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：1nqqqaqpqannnn111引入辅助数列（其中），得：再应用类型（1）的方法解决。nbnnnqab qbqpbnn11例例已知数列中，求。na651a11)21(31nnnaana答案：113()2()23nnna （3）递推公式为）递推公式为（其中（其中 p，q 均为常数）均为常数）。nnnqapaa12解法：先把原递推公式转化为解法：先把原递推公式转化为其中其中 s，t 满足满足，再应用前面类型，再应用前面类型)(112nnnnsaatsaaqstpts（2）的方法求解。）的方法求解。例例 已知数列中，求。na11a22annnaaa313212na答案：1731()443nna7 形如形如或或的递推数列都可以用倒数法求通项。的递推数列都可以用倒数法求通项。11nnnaakab11nnnnabaka a-=例例1,13111aaaannn答案：答案：132nan8.利用平方法、开平方法构造等差数列利用平方法、开平方法构造等差数列例 1数列的各项均为正数，且满足，求。na121nnnaaa12a na4答案：2(21)nan例 2已知，求：21()(2)2f xxx（1）；（2）设，求。1()fx11111,()()nnafanNa na答案：（1）（2）121()2(0)fxxx 121nan9型型rnnapa1该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。两边取对数得)lg(lg1rnnapannarpalglglg1设原等式变为即变为基本型。nnablgprbbnnlg1例例已知，求其通项公式。3,2211nnaaa答案：1223()3nna 练习：练习：1.已知且，求11a 1122nnnaana答案：1()22nnan52.已知且，求13a 132nnnaana答案：15 32nnna 3.已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式。na311annSnannannS)12(na解：当 n=1 时,有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；当 n=2 时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当 n=3 时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知 a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：1112(1)2(1)nnnnnnnaSSaa 化简得：1122(1)nnnaa上式可化为：1122(1)2(1)33nnnnaa故数列2(1)3nna 是以112(1)3a 为首项,公比为 2 的等比数列.故121(1)233nnna 121222(1)2(1)333nnnnna A数列na的通项公式为：222(1)3nnna.4.设数列满足，求数列的通项；na211233333nnnaaaan*N na解：由1n2aan1n得1n2aan1n则112232n1n1nnna)aa()aa()aa()aa(a61)1n(2n)1n(21)1n(12)2n()1n(21)112()122(1)2n(2 1)1n(2所以数列an的通项公式为2nna5.已知二次函数()yf x的图像经过坐标原点，其导函数为()62fxx，数列na的前 n 项和为nS，点(,)()nn SnN均在函数()yf x的图像上求数列na的通项公式；解：因为)2n(a)1n(a3a2aa1n321n所以n1n3211nnaa)1n(a3a2aa所以式式得nn1nnaaa则)2n(a)1n(an1n则)2n(1naan1n所以2232n1n1nnnaaaaaaaa22a2!na 34)1n(n由)2n(a)1n(a3a2aa1n321n，取 n=2 得212a2aa，则12aa，又知1a1，则1a2，代入得2!nn5431an6.已知数列an满足nn1n23a2a，2a1，求数列an的通项公式。已知，求通项 annnnaaa3,311答案：1(31)2nnan77.已知数列an满足3a132aa1nn1n，求数列an的通项公式。答案：31nnan8.已知且，求113a 113nnnSSana答案：1(33)nann9.已知数列an满足3a132a3a1nn1n，求数列an的通项公式。答案：131(2)322nnan10.已知数列an满足，7a1，求数列an的通项公式。413nnaa答案：114313(7 3)3nna11.已知数列an的首项 a1=，an+1=，n=1，2，求an的通项公式；35nn32+1aa答案：332nnna 12.设数列满足且，求na10a 11111nnnaana答案：2212nann 13.已知等比数列，等差数列（）中，为中连续的三项，求 nb11b na0d 2514,a a a nbnb8答案：13nnb14.已知各项为正数的数列满足，求na2223121(4)3naaannna答案：21nan15.已知，且，求11a 113nnnaSSna答案：21,12,2nnnan16.已知且，求12a 122nnnaaana答案：2nan17已知，求通项 annnnaaa3,311答案：2223nnna 18.已知是首项为 1，公差为的等差数列，且。nb4312212nnaanabn（1）求证：也是等差数列；na（2）若，112233456478910.,ca caa caaa caaaa如此构成数列，求数列的通项公式。nc nc答案：3()ncn nN9二数列求和二数列求和1 公式法：公式法：等差数列求和公式；等差数列求和公式；等比数列求和公式，等比数列求和公式，特别声明特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与公比与 1 的关系，必要时需分类讨论；常用公式：，1123(1)2nn n 222112(1)(21)6nn nn33332(1)1232n nn例例已知，求的前 n 项和.3log1log23x nxxxx32答案：112nnS 2分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式和式”中中“同类项同类项”先合并在一起，再先合并在一起，再运用公式法求和运用公式法求和 例例 2 求数列的前 n 项和：，231,71,41,1112 naaan答案：12312nnaannSa3倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方和公式的推导方n法）法）例例 3求的值89sin88sin3sin2sin1sin22222 答案：44.5nS 4错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，10那么常选用错位相减法（这也是等比数列前那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）和公式的推导方法）n例例 4 求和：132)12(7531 nnxnxxxS例例 5求数列前 n 项的和 ,22,26,24,2232nn答案：1242nnnS5裂项相消法：如果数列的通项可裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有：选用裂项相消法求和常用裂项形式有：；111(1)1n nnn11 11()()n nkk nnk，；2211111()1211kkkk211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn11(1)!(1)!nnnn2122(1)2(1)11nnnnnnnnn 例例 6求数列的前 n 项和 ,11,321,211nn答案：1 1nSn 例例 7在数列an中，又，求数列bn的前 n 项的和11211 nnnnan12nnnaab答案：81nnSn116通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例例 8 求之和11111111111个n 答案：11010981nnnS三能力综合三能力综合1数列an的通项公式为 an=，已知前 m 项和 Sm=9，则 m 为()1n+1+nA 99 B98 C10 D9 2数列 1，1+2，l+2+22，1+2+22+2n-1前 n 项和等于()A2n+1-n B2n C2n-n D2n+1-n-23数列的首项为 3，为等差数列且，若，则（na nb1()nnnbaa nN3102,12bb 8a）A0 B3 C8 D114设数列满足且。na10a 111111nnaa（1）求的通项公式；（2）设，记，证明：na11nnabn1nnkkSb1nS 125如果 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f(1)=-2，则等于 (1)(3)(5)(2007)(2)(4)(6)(2008)ffffffff答案：-5026设数列an的前 n 项和为 Sn=2n2，bn为等比数列，且 a1=b1，b2（a2-a1）=b1(l)求数列an和bn的通项公式；(2)设 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tnnnab答案：（1）（2）1242,4nnnanb1(65)459nnTn7求满足下列条件的数列的通项公式。na（1）已知满足，求；na11211,412nnaaanna（2）已知满足，且，求。na13nnnaa13a na答案：（1）（2）4342nnan2223nnna 138求下面各数列的前 n 项和。（1）；（2）1111,1 3 3 5 5 7 7 91111,1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 9设函数的定义域为 N+，且满足，求。()f n()()()f mnf mf nmn(1)1f()f n10设正值数列的前 n 项和为，满足nans2)21(nnas（1）求，1a2a3a（2）求出数列的通项公式(写出推导过程)na（3）设求数列的前 n 项和n 11nnba anbnT14答案：（1）；（2）；（3）1231,3,5aaa21nan21nnTn11已知数列an：a1，a2，a3，an，构造一个新数列：a1，(a2 a1)，（a3-a2），（an-an-1），此数列是首项为 1，公比为的等比数列13 (l)求数列an的通项；(2)求数到an的前 n 项和 Sn12已知数列an的首项 a1=，n=1，2，23121nnnaaa(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前 n 项和 Sn11nanna1513已知各项均为正数的数列满足1111,0nnnnaaaaa。na（1）求证：数列1na是等差数列，并求数列na的通项公式；（2）求数列2nna前 n 项和nS。答案：（1）（2）1nan1(1)22nnSn14 数列na前 n 项和nS，且3(1)2nnSa，数列 nb满足113(2)44nnbbn，且13b。（1）求数列na与 nb的通项公式；（2）设数列 nc满足2log(1)nnncab，其前 n 项和为nT，求nT。答案：（1）；（2）23,41nnnnab1(52)3152nnnT15 数列满足，且na*122(,2)nnnaannNn12a 16（1）求数列的通项公式；（2）令，当数列为递增数列时，求正实数的取值范na1nnnabanbn围。答案：（1）（2）21()2nnann2