线性规划的常见题型及其解法(教师版-题型全-归纳好).pdf

将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！1课题课题线性规划的常见题型及其解法答案线性规划的常见题型及其解法答案线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致归纳起来常见的命题探究角度有：1求线性目标函数的最值2求非线性目标函数的最值3求线性规划中的参数4线性规划的实际应用 本节主要讲解线性规划的常见基础类题型【母题一】已知变量 x，y 满足约束条件Error!则目标函数 z2x3y 的取值范围为()A7，23 B8，23C7，8 D7，25 求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：y x，通过求abzb直线的截距 的最值，间接求出 z 的最值zb【解析】画出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数 z2x3y 得 y x，平移直线 y x 知在点 B 处目标函数取到最小值，解方程23z323组Error!得Error!所以 B(2,1)，zmin22317，在点 A 处目标函数取到最大值，解方程组Error!得Error!所以 A(4,5)，zmax243523【答案】A【母题二】变量 x，y 满足Error!(1)设 z，求 z 的最小值；y2x1(2)设 zx2y2，求 z 的取值范围；将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！2(3)设 zx2y26x4y13，求 z 的取值范围 点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，表示点(x，y)和连线的斜y2x112y0(x12)(12，0)率；x2y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2y26x4y13(x3)2(y2)2表示点(x，y)和点(3,2)的距离的平方【解析】(1)由约束条件Error!作出(x，y)的可行域如图所示由Error!解得 A(1，225)由Error!解得 C(1,1)由Error!解得 B(5,2)zy2x1y0 x1212z 的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知 zmin (12，0)205121229(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|2292z29(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是：可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax835222216z641求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如 zaxby求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：y x，通过求直线的截距abzb将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！3的最值，间接求出 z 的最值zb(2)距离型：形一：如 z，z，此类目标函数常转化为点(x,y)(xa)2(yb)2x2y2DxEyF与定点的距离；形二：z(xa)2(yb)2，zx2y2DxEyF，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方(3)斜率型：形如 z，z，z，z，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直yxaybcxdycxdaybx线的斜率【提醒】注意转化的等价性及几何意义角度一：求线性目标函数的最值1(2014新课标全国卷)设 x，y 满足约束条件Error!Error!则 z2xy 的最大值为()A10B8C3 D2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由 z2xy 得 y2xz，作出直线 y2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点 A(5,2)时，对应的 z 值最大故 zmax2528【答案】B2(2015高考天津卷)设变量 x，y 满足约束条件Error!则目标函数 zx6y 的最大值为()A3 B4C18 D40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示，当目标函数经过点(0,3)时，z 取得最大值 18【答案】C3(2013高考陕西卷)若点(x，y)位于曲线 y|x|与 y2 所围成的封闭区域，则 2xy 的最小值为()A6B2将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！4C0D2【解析】如图，曲线 y|x|与 y2 所围成的封闭区域如图中阴影部分，令 z2xy，则 y2xz，作直线 y2x，在封闭区域内平行移动直线 y2x，当经过点(2,2)时，z取得最小值，此时 z2(2)26【答案】A角度二：求非线性目标的最值4(2013高考山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组Error!Error!所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为()A2 B1C D1312【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点 M 与点 A 重合时直线 OM 的斜率最小，由直线方程 x2y10 和 3xy80，解得A(3，1)，故 OM 斜率的最小值为 13【解析】C5已知实数 x，y 满足Error!则 z的取值范围 2xy1x1【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z2的取值范围可转化为点(x，y)与(1，1)所在直线的斜率加上 2 的取2xy1x1y1x1将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！5值范围，由图形知，A 点坐标为(，1)，则点(1，1)与(，1)所在直线的斜率为 22，点(0,0)与222(1，1)所在直线的斜率为1，所以 z 的取值范围为(，124，)2【答案】(，124，)26(2015郑州质检)设实数 x，y 满足不等式组Error!Error!则 x2y2的取值范围是()A1，2 B1，4C，2 D2，42【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是ABC 的内部(含边界)，x2y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方从图中可知最短距离为原点到直线 BC 的距离，其值为 1；最远的距离为 AO，其值为 2，故x2y2的取值范围是1,4【答案】B7(2013高考北京卷)设 D 为不等式组Error!Error!所表示的平面区域，区域 D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点 B(1,0)到直线 2xy0 的距离最小，d，故最小距离为|2 10|2212 552 55【答案】2 558设不等式组Error!所表示的平面区域是 1，平面区域 2与 1关于直线 3x4y90 对称对于1中的任意点 A 与 2中的任意点 B，|AB|的最小值等于()A B4285C D2125【解析】不等式组Error!，所表示的平面区域如图所示，将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！6解方程组Error!，得Error!点 A(1,1)到直线 3x4y90 的距离 d2，则|AB|的最小值为|349|54【答案】B角度三：求线性规划中的参数9若不等式组Error!所表示的平面区域被直线 ykx 分为面积相等的两部分，则 k 的值是()43A B7337C D4334【解析】不等式组表示的平面区域如图所示由于直线 ykx 过定点因此只有直线过 AB 中点时，直线 ykx 能平分平面区域因为 A(1,1)，43(0，43)43B(0,4)，所以 AB 中点 D当 ykx 过点时，所以 k(12，52)43(12，52)52k24373【解析】A10(2014高考北京卷)若 x，y 满足Error!Error!且 zyx 的最小值为4，则 k 的值为()A2 B2C D1212【解析】D作出线性约束条件Error!Error!的可行域当 k0 时，如图所示，此时可行域为 y 轴上方、直线 xy20 的右上方、直线 kxy20 的右下方的区域，显然此时 zyx 无最小值当 k1 时，zyx 取得最小值 2；当 k1 时，zyx 取得最小值2，均不符合题意当1k0 时，如图所示，此时可行域为点 A(2,0)，B，C(0,2)所围成的三角形区域，当(2k，0)将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！7直线 zyx 经过点 B时，有最小值，即4k(2k，0)(2k)12【答案】D 11(2014高考安徽卷)x，y 满足约束条件Error!Error!若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为()A 或1 B2 或1212C2 或 1 D2 或1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知 A(0,2)，B(2,0)，C(2，2)，则zA2，zB2a，zC2a2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要 zAzBzC或 zAzCzB或 zBzCzA，解得 a1 或 a2法二：目标函数 zyax 可化为 yaxz，令 l0：yax，平移 l0，则当 l0AB 或 l0AC 时符合题意，故 a1 或 a2【答案】D 12在约束条件Error!Error!下，当 3s5 时，目标函数 z3x2y 的最大值的取值范围是()A6，15B7，15C6，8D7，8【解析】由Error!Error!得Error!Error!，则交点为 B(4s,2s4)，y2x4 与 x 轴的交点为 A(2,0)，与 y 轴的交点为 C(0,4)，xys 与 y 轴的交点为 C(0，s)作出当 s3 和 s5 时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示(1)(2)当 3s4 时，可行域是四边形 OABC 及其内部，此时，7zmax8；当 4s5 时，可行域是OAC及其内部，此时，zmax8综上所述，可得目标函数 z3x2y 的最大值的取值范围是7，8【答案】D将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！813(2015通化一模)设 x，y 满足约束条件Error!Error!若 z的最小值为，则 a 的值为x2y3x132_【解析】1，而表示过点(x，y)与(1，1)连线的斜率，易知 a0，x2y3x12y1x1y1x1可作出可行域，由题意知的最小值是，即min a1y1x114(y1x1)013a113a114【答案】1角度四：线性规划的实际应用14A，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知 A 产品需要在甲机器上加工 3 小时，在乙机器上加工 1 小时；B 产品需要在甲机器上加工 1 小时，在乙机器上加工3 小时在一个工作日内，甲机器至多只能使用 11 小时，乙机器至多只能使用 9 小时A 产品每件利润300 元，B 产品每件利润 400 元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_元【解析】设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，则 x，y 满足约束条件Error!Error!生产利润为z300 x400y画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然 z300 x400y 在点 A 处取得最大值，由方程组Error!Error!解得Error!Error!则 zmax300340021 700故最大利润是 1 700 元【答案】1 70015某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时若生产一个卫兵可获利润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生产一个伞兵可获利润 3 元(1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100 xy，所以利润 w5x6y3(100 xy)2x3y300将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！9(2)约束条件为Error!Error!整理得Error!Error!目标函数为 w2x3y300作出可行域如图所示：初始直线 l0：2x3y0，平移初始直线经过点 A 时，w 有最大值由Error!Error!得Error!Error!最优解为 A(50,50)，所以 wmax550 元所以每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，最大利润为 550 元一、选择题1已知点(3，1)和点(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则 a 的取值范围为()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)【解析】根据题意知(92a)(1212a)0即(a7)(a24)0，解得7a24【答案】B2(2015临沂检测)若 x，y 满足约束条件Error!Error!则 zxy 的最小值是()A3 B0C D332【解析】作出不等式组Error!Error!表示的可行域(如图所示的ABC 的边界及内部)平移直线 zxy，易知当直线 zxy 经过点 C(0,3)时，目标函数 zxy 取得最小值，即 zmin 3【答案】A3(2015泉州质检)已知 O 为坐标原点，A(1,2)，点 P 的坐标(x，y)满足约束条件Error!则z的最大值为()OA OP A2 B1C1 D2【解析】如图作可行域，zx2y，显然在 B(0,1)处 zmax2OA OP 将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！10【答案】D4已知实数 x，y 满足：Error!则 z2x2y1 的取值范围是()A B0，553，5C D53，5)53，5)【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线 l：2x2y10，平移 l 可知2 2 1z222(1)1，即 z 的取值范围是132353，5)【答案】D5如果点(1，b)在两条平行直线 6x8y10 和 3x4y50 之间，则 b 应取的整数值为()A2 B1C3D0【解析】由题意知(68b1)(34b5)0，即(b2)0，b2，b 应取的整数为 1(b78)78【答案】B6(2014郑州模拟)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点(x，y)在ABC 内部，则 zxy 的取值范围是()A(1，2)B(0，2)3C(1，2)D(0，1)33【解析】如图，根据题意得 C(1，2)3将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！11作直线xy0，并向左上或右下平移，过点 B(1,3)和 C(1，2)时，zxy 取范围的边界值，3即(1)2z0，b0)过点 A(1,1)时取最大值，ab4，ab24，a0，b0，ab(0，4(ab2)【答案】B10设动点 P(x，y)在区域：Error!Error!上，过点 P 任作直线 l，设直线 l 与区域 的公共部分为线段AB，则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为()A B2C3 D4【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以 AB 为直径的圆的面积的最大值 S24(42)【答案】D11(2015东北三校联考)变量 x，y 满足约束条件Error!Error!若使 zaxy 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数 a 的取值集合是()A3,0 B3,1C0,1 D3,0,1【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示易知直线 zaxy 与 xy2 或 3xy14 平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即a1 或a3，a1 或 a3将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！13【答案】B12(2014新课标全国卷)设 x，y 满足约束条件Error!Error!且 zxay 的最小值为 7，则 a()A5 B3C5 或 3 D5 或3【解析】法一：联立方程Error!Error!解得Error!Error!代入 xay7 中，解得 a3 或5，当 a5 时，zxay 的最大值是 7；当 a3 时，zxay 的最小值是 7法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解当 a5 时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)图(1)图(2)由Error!Error!得交点 A(3，2)，则目标函数 zx5y 过 A 点时取得最大值zmax35(2)7，不满足题意，排除 A，C 选项当 a3 时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)由Error!Error!得交点 B(1,2)，则目标函数 zx3y 过 B 点时取得最小值zmin1327，满足题意【答案】B13若 a0，b0，且当Error!Error!时，恒有 axby1，则由点 P(a，b)所确定的平面区域的面积是()A B124C1 D2【解析】因为 axby1 恒成立，则当 x0 时，by1 恒成立，可得 y(b0)恒成立，所以1b0b1；同理 0a1所以由点 P(a，b)所确定的平面区域是一个边长为 1 的正方形，面积为 1【答案】C14(2013高考北京卷)设关于 x，y 的不等式组Error!Error!表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)，满足x02y02求得 m 的取值范围是()AB(，43)(，13)CD(，23)(，53)【解析】当 m0 时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足 x02y02，因此 m0如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！14要使可行域内包含 y x1 上的点，只需可行域边界点(m，m)在直线 y x1 的下方即可，即1212m m1，解得 m 1223【答案】C15设不等式组Error!Error!表示的平面区域为 D若指数函数 yax的图象上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是()A(1，3 B2，3C(1，2 D3，)【解析】平面区域 D 如图所示要使指数函数 yax的图象上存在区域 D 上的点，所以 1a3【解析】A16(2014高考福建卷)已知圆 C：(xa)2(yb)21，平面区域：Error!Error!若圆心 C，且圆 C与 x 轴相切，则 a2b2的最大值为()A5B29C37D49【解析】由已知得平面区域 为MNP 内部及边界圆 C 与 x 轴相切，b1显然当圆心 C 位于直线 y1 与 xy70 的交点(6,1)处时，amax6a2b2的最大值为 621237【解析】C17在平面直角坐标系中，若不等式组Error!Error!表示一个三角形区域，则实数 k 的取值范围是()A(，1)B(1，)C(1，1)D(，1)(1，)将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！15【解析】已知直线 yk(x1)1 过定点(1，1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示当直线 yk(x1)1 位于 yx 和 x1 两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域所以直线yk(x1)1 的斜率的范围为(，1)，即实数 k 的取值范围是(，1)当直线 yk(x1)1 与yx 平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得 k1 时，也可形成三角形，综上可知 k1 或k1【答案】D18(2016武邑中学期中)已知实数 x，y 满足Error!Error!则 z2xy 的最大值为()A4 B6C8 D10【解析】区域如图所示，目标函数 z2xy 在点 A(3,2)处取得最大值，最大值为 8【答案】C19(2016衡水中学期末)当变量 x，y 满足约束条件Error!Error!时，zx3y 的最大值为 8，则实数 m 的值是()A4 B3C2 D1【解析】画出可行域如图所示，目标函数 zx3y 变形为 y ，当直线过点 C 时，z 取到最大值，x3z3又 C(m，m)，所以 8m3m，解得 m4【答案】A20(2016湖州质检)已知 O 为坐标原点，A，B 两点的坐标均满足不等式组Error!则 tanAOB 的最大值等于()A B9447将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！16C D3412【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当 A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tanAOB 取得最大值，此时由于 tan kBO，tan 12kAO2，故 tanAOBtan()tan tan 1tan tan 21212 1234【解析】C二、填空题21(2014高考安徽卷)不等式组 Error!Error!表示的平面区域的面积为_【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知 SABC 2(22)412【答案】422(2014高考浙江卷)若实数 x，y 满足Error!Error!则 xy 的取值范围是_【解析】作出可行域，如图，作直线 xy0，向右上平移，过点 B 时，xy 取得最小值，过点 A时取得最大值由 B(1,0)，A(2,1)得(xy)min1，(xy)max3所以 1xy3【答案】1,323(2015重庆一诊)设变量 x，y 满足约束条件Error!Error!则目标函数 z3xy 的最大值为_【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！17z3xy，y3xz，当该直线经过点 A(2,2)时，z 取得最大值，即 zmax 3224【答案】424已知实数 x，y 满足Error!则 wx2y24x4y8 的最小值为_【解析】目标函数 wx2y24x4y8(x2)2(y2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方由实数 x，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线 xy10 的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又，|221|23 22所以 wmin 92【答案】9225在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组Error!Error!所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点 O 到直线 xy20 的垂线段长是|OM|的最小值，|OM|min|2|12122【答案】226(2016汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水 3 吨、煤 2 吨；生产每吨乙产品要用水 1 吨、煤 3 吨销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，销售每吨乙产品可获得利润 3 万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过 13 吨，煤不超过 18 吨，则该企业可获得的最大利润是_万元【解析】设生产甲产品 x 吨，生产乙产品 y 吨，由题意知Error!利润 z5x3y，作出可行域如图中阴影部分所示，将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！18求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当 x3，y4，即生产甲产品 3 吨，乙产品 4 吨时可获得最大利润 27 万元【答案】2727某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4 吨1.2 万元0.55 万元韭菜6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，则黄瓜的种植面积应为_亩【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x 亩，y 亩，总利润为 z 万元，则目标函数为z(0.554x1.2x)(0.36y0.9y)x0.9y线性约束条件为Error!Error!即Error!Error!画出可行域，如图所示作出直线 l0：x09y0，向上平移至过点 A 时，z 取得最大值，由Error!Error!解得 A(30,20)【答案】3028(2015日照调研)若 A 为不等式组Error!Error!表示的平面区域，则当 a 从2 连续变化到 1 时，动直线xya 扫过 A 中的那部分区域的面积为_【解析】平面区域 A 如图所示，所求面积为 S 22 2 121222221474【答案】7429(2014高考浙江卷)当实数 x，y 满足Error!Error!时，1axy4 恒成立，则实数 a 的取值范围是_【解析】画可行域如图所示，设目标函数 zaxy，即 yaxz，要使 1z4 恒成立，则 a0，将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！19数形结合知，满足Error!Error!即可，解得 1a 所以 a 的取值范围是 1a 3232【答案】1，3230(2015石家庄二检)已知动点 P(x，y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为 2，若使目标函数 zkxy(k0)取得最大值的最优解有无穷多个，则 k 的值为_【解析】由目标函数 zkxy(k0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线 kxy0 的倾斜角为 120，于是有ktan 120，3所以 k3【答案】331设 m1，在约束条件Error!Error!下，目标函数 zxmy 的最大值小于 2，则 m 的取值范围 【解析】变换目标函数为 y x，由于 m1，所以1 0，不等式组表示的平面区域如图1mzm1m中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线 y x 在 y 轴上的截距最大时，目标函数1mzm取得最大值显然在点 A 处取得最大值，由 ymx，xy1，得 A，所以目标函数的最大(11m，m1m)值 zmax2，所以 m22m10，解得 1m1，故 m 的取值范围是(1,1)11mm21m222【答案】(1,1)232已知实数 x，y 满足Error!Error!若目标函数 zxy 的最小值的取值范围是2，1，则目标函数的最大值的取值范围是_将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！20【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为 yxz，当 z最小时，直线 yxz 在 y 轴上的截距最大当 z 的最小值为1，即直线为 yx1 时，联立方程Error!Error!可得此时点 A 的坐标为(2,3)，此时m235；当 z 的最小值为2，即直线为 yx2 时，联立方程Error!Error!可得此时点 A 的坐标是(3,5)，此时 m358故 m 的取值范围是5,8目标函数 zxy 的最大值在点 B(m1,1)处取得，即 zmaxm11m2，故目标函数的最大值的取值范围是3,6【答案】3,633(2013高考广东卷)给定区域 D：Error!Error!令点集 T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是 zxy 在D 上取得最大值或最小值的点，则 T 中的点共确定_条不同的直线【解析】线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有 5 条，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线 xy4 上，故 T 中的点共确定 6 条不同的直线【答案】634(2011湖北改编)已知向量 a(xz,3)，b(2，yz)，且 ab若 x，y 满足不等式|x|y|1，则 z 的取值范围为_【解析】a(xz,3)，b(2，yz)，且 ab，ab2(xz)3(yz)0，即 2x3yz0又|x|y|1 表示的区域为图中阴影部分，当 2x3yz0 过点 B(0，1)时，zmin3，当 2x3yz0 过点 A(0,1)时，zmin3 将简单的方法练到极致就是绝招！将简单的方法练到极致就是绝招！21z3,3【答案】3,335(2016衡水中学模拟)已知变量 x，y 满足约束条件Error!Error!且有无穷多个点(x，y)使目标函数zxmy 取得最小值，则 m_【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示若 m0，则 zx，目标函数 zxmy 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意若 m0，则目标函数 zxmy 可看作斜率为 的动直线 y x，1m1mzm若 m0，则 0，由数形结合知，使目标函数 zxmy 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；1m若 m0，则 0，数形结合可知，当动直线与直线 AB 重合时，有无穷多个点(x，y)在线段 AB 上，1m使目标函数 zxmy 取得最小值，即 1，则 m11m综上可知，m1【答案】1