含有有限项的Hardy-Littlewood-Pólya不等式.pdf

第 卷第 期 年 月南京师大学报(自然科学版)()收稿日期:.基金项目:国家自然科学基金项目()、无锡学院人才启动项目().通讯作者:袁俊丽博士副教授研究方向:偏微分方程及应用.:.:./.含有有限项的 不等式黄 红袁俊丽(.南京师范大学中北学院江苏 镇江)(.无锡学院理学院江苏 无锡)摘要 本文证明了含有有限项的 不等式并借助其极值函数满足的 方程组估计这个不等式最佳常数的上下界.关键词 不等式上下界估计最佳常数中图分类号 文献标志码 文章编号()(.)(.):.:引言及主要结论设()不等式如下:(参看中 页的定理)()/()/()其中/(/).此外如下的积分不等式成立(也就是 不等式参看):()()()()()()()()()其中且/.当 时 在中得到了极值函数的表达式.当 时极值函数满足以下积分方程组:()()()()()其中()()且 均为大于 的常数.虽然极值函数的表达式并不知道但()正解的存在性结果是成立的(参看)并且这些解在 内关于某些点是径向对称和递减的(参看).另外和中分别得到了其可积性与快速衰减率.年 证明了下黄 红等:含有有限项的 不等式述含有限项的 不等式(参看):()/()/()其中常数估计如下:().文献中得到了更高维的结果.最佳常数的上下界估计将有助于更好地理解描述电子气和多体系统的 模型中的库仑能量(参看).年 等在文献中运用 不等式将()推广到了更高维的情况:()()()()其中()()且/.另外他们证明了最佳常数可被含有有限项的泛函逼近.当 时用 替换 定义最佳常数如下:.()和上述 的估计不同()的最佳常数的估计是不依赖于 的(参看).本文总是假设 且().类似于文献我们来证明含有限项的 不等式并估计这个不等式最佳常数的上下界.定理 假设 且 那么存在一个只依赖于 的常数 满足 ()/()/.()定义()中的常数如下:.()定理 假设 且.令:.那么当(时有()()()且.()当 时有/()/()()且.()此外当 且/时可以得到更好的上界:.()另一方面()()其中():/()()/()/().注 根据文献中的引理.当()即.不失一般性假设()()()()().注意到()从()的 式中可知存在一个仅依赖于 式的正的常数 使得()()()即()()()()且.()由于 ()().()将这一结论应用到()可得 且.显然()()()()().将此结论应用到()得()()()其中 且.当 时类似文献中()的推导过程仍然可得()().()结合()()及()可得如下结论:()当()时可得()()()且.()当()/时可得/()()/()且.当()成立时只要用 代替 上述结论依然成立.因此()和()成立.接下来证明().用()乘()的第 式并从 到 进行求和可得 ()()().()令()()()()()()()()由于()()()则()():().又从()和()可知 ()()()故()成立.第二步:估计下界.首先令()().则()().于是.()接下来令/其中.则()().于是/().()当 时有 ()进一步可得 ()().又因当 且 时有 ()()().()南京师大学报(自然科学版)第 卷第 期(年)因此当 且 时可得 ()()()()()()()()()()()().且当 时由()可得 ()()()().将这些估计应用到()可求出当 时的下界:/()()/()/().()结合以上结果和()可得()成立.故定理 证毕.参考文献 .:.:.:.:.:.:.():.:./.:.:.责任编辑:陆炳新