中国石油大学高等数学(2-1)2006-2010期末试题.doc

Ａ卷
2006—2007学年第一学期
《本科高等数学(上)》试卷

专业班级
姓 名
学 号
开课系室
考试日期

页 号
一
二
三
四
五
六
总分
得 分

阅卷人

说明：1.本试卷正文共6页。
2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，
否则答案无效。

一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.)

1. 设, 则 .

2. 设函数连续，则 ， .

3．极限 .

4．设 ,且在连续,则= .

5．设方程确定函数, 则= .

6．设, 则= .

7．抛物线在其顶点处的曲率为 .

8．设可导，，则 .

9． .

10．微分方程的通解是 .

二、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

1. “数列极限存在”是“数列有界”的（ ）
(A) 充分必要条件； (B) 充分但非必要条件；
(C) 必要但非充分条件； (D)既非充分条件，也非必要条件.

2．极限（ ）

(A) 2; (B) 3; (C) ; (D) 5;
3．设常数，则函数 在内零点的个数为（ ）

(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.
4．设, 则是的( ).
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.
5．设函数二阶可导，且，令，当时，则( ).

(A) (B)
(C) (D)

6．若，在内，，则在内( ).
(A) (B)
(C) (D)

7．设在处二阶可导, 且,则( ).
(A) 是的极大值点; (B) 是的极小值点;
(C) 是曲线的拐点; (D) 以上都不是.

8．下列等式中正确的结果是 ( ).

(A) (B)
(C) (D)

9．下列广义积分收敛的是( ).

(A) (B)
(C) (D)

10．设在的某个领域内有定义，则在处可导的一个充分条件是 ( ).

(A) (B)
(C) (D)

三、计算题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
1. 求不定积分
2. 计算定积分

3．求微分方程的通解.

四．解答题：（本题共6小题，共37分。）
1．（本题5分）求摆线在处的切线的方程.
2.（本题6分）求曲线的渐进线.

3．（本题6分）求由曲线及直线,所围成图形面积。

4．（本题6分）证明：对任意实数，恒有

5.（本题6分）设有盛满水的圆柱形蓄水池,深15米,半径20米,现将池水全部抽出,问需作多少功?

6.（本题8分）设对任意实数

五．（本题8分）设函数在闭区间[0,2]上连续，在开区间（0,2）内可导，且满足条件,
证明：．

Ａ卷

2007—2008学年第一学期
《高等数学》（上）期末试卷

专业班级
姓 名
学 号
开课系室 数学学院基础数学系
考试日期 2008年1月7日

页 码
一
二
三
四
五
六
总分
得 分

阅卷人

说明：1本试卷正文共 页。
2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。

一、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分).
1. = .
2. 设函数，其中在内可导，则= .
3. 设，则=____________.
4. =__________.
5. = __________.
6. 微分方程 的通解是 .

二、选择题 (本题共4小题，每小题3分，共12分).
1．设为可导的奇函数，且，则（ ）.
(A) ； (B) ； (C) ； (D) .
2. 设函数在点的某邻域有定义，则在点处可导的充要条件是（ ）.
（A）； （B）；
（C）； （D）函数在点处连续.
3. 下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数，一条是汽车的速度函数，一条是汽车的加速度函数，则（ ）.
a

b

c

t

y

O

（A） 曲线是的图形，曲线是
的图形，曲线是的图形；
（B） 曲线是的图形，曲线是
的图形，曲线是的图形；
（C） 曲线是的图形，曲线是
的图形，曲线是的图形；
（D） 曲线是的图形，曲线是的图形，曲线是的图形.
4. 设是内的可导函数，、是内任意两点，则( ).
（A），其中为内任意一点　；　
（B）至少存在一点，使；
（C）恰有一点，使;
（D）至少存在一点，使.

三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.

2. 求极限 .
3. 求定积分 .
4. 求广义积分 .

四、解答题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.
1. 设函数是由方程 所确定的函数，求.
2．设函数，求的原函数.
3．求微分方程的通解．
4．判断曲线的凸性与拐点.

五、应用题（本题共3小题，每小题6分，共18分）.
1.曲线，及轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转而成的立体的体积.
2.求曲线位于第一象限部分的一条切线，使该切线与曲线以及两坐标轴所围图形的面积最小.

3．有一半径为的半圆形薄板，垂直地沉入水中，直径在上，且水平置于距水面的地方，求薄板一侧所受的水压力.

六、证明题（本题4分）.
证明方程在内必有唯一实根，
并求.

2008—2009学年第一学期
《高等数学》期末考试试卷
(理工科类)

专业班级
姓 名
学 号
开课系室 数学学院基础数学系
考试日期 2009年1月5日

页 码
一
二
三
四
五
六
总分
得 分

阅卷人

说明：1本试卷正文共6页。
2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。
3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1） =________________.
（2）曲线上与直线平行的切线方程为_________________.
（3）已知，且, 则_____________ .
（4）曲线的斜渐近线方程为 ______________.
（5）微分方程的通解为___________________.
二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1）下列积分结果正确的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
（2）函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则（ ）.
(A)都是极值点.
(B) 都是拐点.
(C) 是极值点.，是拐点.
(D) 是拐点，是极值点.
（3）函数满足的一个微分方程是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
（4）设在处可导，则为（ ）.
(A) . (B) . (C) 0. (D)不存在 .
（5）下列等式中正确的结果是 （ ）.
(A) (B)
(C) (D)
三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.
1．求极限.
2.方程确定为的函数，求与.
3.计算不定积分 .
4.计算定积分.

四、解答题（本题共4小题，共29分）.
1．（本题6分）解微分方程.
2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的密度为，计算桶的一端面上所受的压力．

3. （本题8分）设在上有连续的导数，，且，
试求.
4. （本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D.
求D的面积A;
求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V.

五、证明题（本题共1小题，共7分）.
1.证明对于任意的实数，.

答案
一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1） =_____________.
（2）曲线上与直线平行的切线方程为_________.
（3）已知，且, 则___________ .
（4）曲线的斜渐近线方程为 _________

（5）微分方程的通解为_________
二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1）下列积分结果正确的是（ D ）
(A) (B)
(C) (D)
（2）函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则（ D ）.
(A)都是极值点.
(B) 都是拐点.
(C) 是极值点.，是拐点.
(D) 是拐点，是极值点.
图1-1
（3）函数满足的一个微分方程是（ D ）.
（A） （B）
（C） （D）
（4）设在处可导，则为（ A ）.
(A) . (B) . (C) 0. (D)不存在 .

（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.
(A) (B)
(C) (D)

三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.

1．求极限.

解 =-------1分
=-------2分
= -------1分
= -------2分

2.方程确定为的函数，求与.
解 ----------------------------（3分）
---------------------（6分）
计算不定积分 .

4.计算定积分.
解 --------- --------------- （3分）
----------------------------------------- ---------------------（6分）
（或令）
四、解答题（本题共4小题，共29分）.
1．（本题6分）解微分方程.

2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力．

解：建立坐标系如图
x

y

3. （本题8分）设在上有连续的导数，，且，
试求.

4. （本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D.
求D的面积A;
求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V.
解：(1) 设切点的横坐标为，则曲线在点处的切线方程是
----1分
由该切线过原点知 ，从而所以该切线的方程为
----1分
平面图形D的面积
----2分
（2） 切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为 ----2分
曲线与x轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为
， ----1分
因此所求旋转体的体积为
----1分
五、证明题（本题共1小题，共7分）.
1.证明对于任意的实数，.
解法一：
解法二：设则------------------------1分
因为------------------------—————— 1分
当时，单调增加，------------------------2分
当时，单调增加，------------------------2分
所以对于任意的实数，即。------------------------1分
解法三：由微分中值定理得，
，其中位于0到x之间。------------------------2分
当时，，。------------------------2分
当时，，。------------------------2分
所以对于任意的实数，。------------------------1分

A卷

2009—2010学年第一学期
《高等数学（2-1）》期末试卷

专业班级
姓 名
学 号
开课系室 基础数学系
考试日期 2010年1月11日

页 号
一
二
三
四
五
六
总分
得 分

阅卷人

注 意 事 项
1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；
2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

1． .
2． .
3．设函数由方程确定，则 .
4. 设可导，且，，则 .
5．微分方程的通解为 .

二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）

1．设常数，则函数在内零点的个数为（ ）.
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.
2． 微分方程的特解形式为（ ）.
（A）; （B）;
（C）; （D）.
3．下列结论不一定成立的是（ ）.
（A）若,则必有;
（B）若在上可积,则;
（C）若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;（D）若可积函数为奇函数,则也为奇函数.
4. 设, 则是的（ ）.
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.

三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）
1．计算定积分.

2．计算不定积分.

3．求摆线在处的切线的方程.

4. 设，求.

5．设，求.

四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）
1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.
2．设平面图形由与所确定，试求绕直线
旋转一周所生成的旋转体的体积.
3. 设在内的驻点为问为何值时最小? 并求最小值.

五．证明题（7分）
设函数在上连续，在内可导且
试证明至少存在一点, 使得

答案
一．填空题（每小题4分，5题共20分）：
1． .
2．.
3．设函数由方程确定，则.
4. 设可导，且，，则.
5．微分方程的通解为.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1．设常数，则函数 在内零点的个数为（ B ）.
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.
2． 微分方程的特解形式为 （ C ）
（A）； （B）；
（C）； （D）
3．下列结论不一定成立的是 （ A ）
若,则必有;
若在上可积,则;
若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;
若可积函数为奇函数,则也为奇函数.
4. 设, 则是的（ C ）.
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.
三．计算题（每小题6分，5题共30分）：
1．计算定积分.
解： -------2
-------2
--------2
2．计算不定积分.
解： --------3
-----------3
3．求摆线在处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为 即. -------2

4. 设 ，则.
5．设，求.
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.
解：
设切点为，则过原点的切线方程为，
由于点在切线上，带入切线方程，解得切点为.-----3
过原点和点的切线方程为-----------------------------3
面积=-------------------3

或

2．设平面图形由与所确定，试求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.

解： 法一：
-------6
--------3
法二：V=
------------------ 5
------------- 4

3. 设在内的驻点为问为何值时最小? 并求最小值.
解: --------------- 3
------------3
-----2
故--------------1
五．证明题（7分）
设函数在上连续，在内可导且
试证明至少存在一点, 使得
证明：设，在上连续在可导，因,
有,--------------- 2
又由，知在上用零点定理，
根据，--------------- 2
可知在内至少存在一点，使得,
由ROLLE中值定理得 至少存在一点使得即，证毕. --------------3

A卷

2010—2011学年第一学期
《高等数学（2-1）》期末试卷

专业班级
姓 名
学 号
开课系室 基础数学系
考试日期 2011年1月4日

页 号
一
二
三
四
五
六
总分
本页满分
36
12
12
12
12
16
本页得分

阅卷人

注意事项：
1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；
2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；
4. 本试卷正文共6页。

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）
1．已知则 1 .
2．定积分 .
3．函数的图形的拐点是 .
4. 设则 .
5．曲线的渐近线方程为 .

二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）
1．设为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数( D ) .
A. 在处左极限不存在; B. 在处右极限不存在;
C. 有跳跃间断点; D. 有可去间断点.
2．设当时，是的( B ).
A. 等价无穷小; B. 同阶但非等价无穷小;
C. 高阶无穷小; D. 低阶无穷小.
3. 下列广义积分发散的是( A ).
A.; B. ;
C. ; D. .
4.方程的待定特解的形式可设为( B ).
A.; B. ;
C. ; D. .

三．计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）
1． 求极限.
解：若将区间[0,1]等分，则每个小区间长，再将中的一个因子分配到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。于是,有

2．设在上连续，且求
解:

而

所以

3．求微分方程的通解.
解：所给方程为一阶线性微分方程，且
故原方程的通解为
4. 试确定a的值，使函数在处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.
解
，
又，，
为极大值.
5．求由方程所确定的隐函数的导数.
解：两边对求导得
整理得
所以
6．已知求常数的值.
解：左端=
右端=

所以

0

7．设半径为R米的圆形薄板垂直地沉入水中，圆心距水面为R米，水的比重为，
求薄板一侧所受的水压力(其中表示水的比重).
Y
解：建立坐标系如图，
X
1) 取x为积分变量，
2) 压力微元
或

3）水对薄板的压力

=

8．求由曲线及所围成的图形绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.
解：法一：选为积分变量，则

法二：选为积分变量，则

四．证明题（共2小题，每小题8分，共计16分）
1．叙述并证明牛顿莱布尼茨公式.
设在闭区间上连续，为的一个原函数，那么

证明：由已知为的一个原函数，也是的一个原函数，因此，在区间上，其中为某一个常数.
在上式中令得
得
两式相减得
由于
所以
2．设在区间上连续, 为偶函数, 且满足(为常数).
(1) 证明：
(2) 计算：
证明：（1）

（2）令则在上连续，为偶函数.由于

所以
令得
因此满足等式

于是，利用（1）的结论得

其中专业理论知识内容包括：保安理论知识、消防业务知识、职业道德、法律常识、保安礼仪、救护知识。作技能训练内容包括：岗位操作指引、勤务技能、消防技能、军事技能。
二．培训的及要求培训目的
安全生产目标责任书
为了进一步落实安全生产责任制，做到“责、权、利”相结合，根据我公司2015年度安全生产目标的内容，现与财务部签订如下安全生产目标：
一、目标值：
1、全年人身死亡事故为零，重伤事故为零，轻伤人数为零。
2、现金安全保管，不发生盗窃事故。
3、每月足额提取安全生产费用，保障安全生产投入资金的到位。
4、安全培训合格率为100%。
二、本单位安全工作上必须做到以下内容：
1、对本单位的安全生产负直接领导责任，必须模范遵守公司的各项安全管理制度，不发布与公司安全管理制度相抵触的指令，严格履行本人的安全职责，确保安全责任制在本单位全面落实，并全力支持安全工作。
2、保证公司各项安全管理制度和管理办法在本单位内全面实施，并自觉接受公司安全部门的监督和管理。
3、在确保安全的前提下组织生产，始终把安全工作放在首位，当“安全与交货期、质量”发生矛盾时，坚持安全第一的原则。
4、参加生产碰头会时，首先汇报本单位的安全生产情况和安全问题落实情况；在安排本单位生产任务时，必须安排安全工作内容，并写入记录。
5、在公司及政府的安全检查中杜绝各类违章现象。
6、组织本部门积极参加安全检查，做到有检查、有整改，记录全。
7、以身作则，不违章指挥、不违章操作。对发现的各类违章现象负有查禁的责任，同时要予以查处。
8、虚心接受员工提出的问题，杜绝不接受或盲目指挥；
9、发生事故，应立即报告主管领导，按照“四不放过”的原则召开事故分析会，提出整改措施和对责任者的处理意见，并填写事故登记表，严禁隐瞒不报或降低对责任者的处罚标准。
10、必须按规定对单位员工进行培训和新员工上岗教育；
11、严格执行公司安全生产十六项禁令，保证本单位所有人员不违章作业。
三、 安全奖惩：
1、对于全年实现安全目标的按照公司生产现场管理规定和工作说明书进行考核奖励；对于未实现安全目标的按照公司规定进行处罚。
2、每月接受主管领导指派人员对安全生产责任状的落