线性代数超强的总结(不看你会后悔的).pdf

1线性代数超强总结 ()0Ar AnAAxAA不可逆 有非零解 是的特征值 的列（行）向量线性相关12()0,TsinAr AnAxAAAA AAAp pppAx 可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵 总有唯一解R R 具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 关于：12,ne ee称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；n:n:线性无关；12,ne ee；12,1ne ee；tr()=En任意一个维向量都可以用线性表示.n12,ne ee2 行列式的计算：若都是方阵（不必同阶）,则AB与(1)mnAAAA BBBBAA BB 上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线：(1)211212112111(1)n nnnnnnnnnnaaaaa aaaa 逆矩阵的求法:1AAA1()()A EE A 初等行变换 11abdbcdcaadbcTTTTTABACCDBD 12111121naanaaaa21111211naanaaaa3 11111221nnAAAAAA11121211nnAAAAAA 方阵的幂的性质：mnm nA AA()()mnmnAA 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式.1110()mmmmf xa xaxa xanA1110()mmmmf Aa AaAa Aa EA 设的列向量为,的列向量为，的列向量为,m nn sABA12,n B12,s AB12,sr rr1212121122,1,2,(,)(,),(,),.iissTnnniiiirAisAAAAA Bb bbAbbbABirAABirB 则：即 用中简 若则 单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kkkkABABABAB411112222kkkkA BA BABA B 矩阵方程的解法：设法化成AXBXAB(I)或 (I I)当时,0A ,BA BE X 初等行变换（当为一列时(I)的解法：构造()()即为克莱姆法则）TTTTA XBXX(I I)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得 和同解（列向量个数相同）,则：AxBx,A B 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；它们对应的部分组有一样的线性相关性；它们有相同的内在线性关系.判断是的基础解系的条件：12,s 0Ax 线性无关；12,s 是的解；12,s 0Ax .()snr A 每个解向量中自由变量的个数5 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.向量组中任一向量 都是此向量组的线性组合.12,n i(1i)n 向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.12,n 1n向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.12,n i1n维列向量组线性相关；m12,n()r An 维列向量组线性无关.m12,n()r An.()0r AA 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一.12,n 12,n 12,n 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.6向量组等价 和可以相互线性表示.记作：12,n 12,n 1212,nn 矩阵等价 经过有限次初等变换化为.记作：ABAB 矩阵与等价作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.AB()(),r Ar BA B矩阵与作为向量组等价AB1212(,)(,)nnrr 1212(,)nnr 矩阵与等价.AB 向量组可由向量组线性表示.12,s 12,n 1212(,)nsr 12(,)nr 12(,)sr 12(,)nr 向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.12,s 12,n sn12,s 向量组线性无关,且可由线性表示,则.12,s 12,n sn 向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；12,s 12,n 12(,)sr 12(,)nr 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；Am n()min,r Am n()r AmA 若，的列向量线性无关,即：()r AnA线性无关.12,n 7线性方程组的矩阵式 向量式 Ax1122nnxxx 1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxb12,1,2,jjjmjjn81212120,0,()(),AnAnnAxAxAnAxAxAAxr Ar An 当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),()()()1()Anr Ar AAxr Ar Ar Ar A 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解 矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABB A()TTkAkATAA()TTTABAB矩阵可逆的性质：11()AA111()ABB A111()kAk A11AA11()()TTAA11()()kkkAAA伴随矩阵的性质：2()nAAA()ABB A1()nkAkA1nAA11()()()()AATTAAAA()()kkAAAAA AA E9 ()()1 ()10 ()1 nr Anr Ar Anr An若若若ABA BnkAkAkkAA10线性方程组解的性质：121212121 1221212(1),0,(2)0,(3),0,(4),0,(5),0(6)kkkkAxAxk kAxkAxAxAxAxAx 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解2112121 122121 12212,0(7),100kkkkkkkAxAxAxAxAx 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则 也是的解 是的解 设为矩阵,若,则,从而一定有解.Am n()r Am()()r Ar AAx 当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.mn方程个数未知数的个数向量维数向量个数 是的上限.m()()r Ar A和 矩阵的秩的性质：()()()TTr Ar Ar A A ()r AB()()r Ar B ()r ABmin(),()r A r B ()0()00r Akr kAk 若 若 ()()Arr Ar BB0,()Ar A若则1,()0,()()m nn sABr ABr Ar B若且则n,()()()P Qr PAr AQr A若可逆,则,()()Ar ABr B若可逆则,()()Br ABr A若可逆则 且在矩阵乘法中有左消去律:(),()(),r Anr ABr B若则A11 0ABBABACBC 标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为 1.nn.与正交(,)0 是单位向量.(,)1 内积的性质：正定性：(,)0,(,)0 且 对称性：(,)(,)双线性：1212(,)(,)(,)1212(,)(,)(,)(,)(,)(,)ccc 施密特 线性无关,123,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()正交化 单位化：111222333正交矩阵 .TAAE 是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基.AAnn:正交矩阵的性质：；1TAA；TTAAA AE 是正交阵,则（或）也是正交阵；ATA1A 两个正交阵之积仍是正交阵；正交阵的行列式等于 1 或-1.的特征矩阵 .AEA12的特征多项式 .A()EAf的特征方程 .A0EAAxxAxx 与线性相关 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.n 若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.0A 0A0Ax 0 12nA 1niAt r 若,则一定可分解为=、,从而()1r A AA1212,nnaabbba21 122()nnAaba ba b A的特征值为：,.A11 122nnAaba ba bt r230n 若的全部特征值，是多项式,则:A12,n()f x 的全部特征值为；()f A12(),(),()nfff 当可逆时,的全部特征值为,A1A12111,n 的全部特征值为.A12,nAAA 1122,.mmAkkAabaAbEAAAAA是的特征值则:分别有特征值 1122,mmAkkAabaAbEAxAxAAA是关于的特征向量则也是关于的特征向量.与相似 （为可逆阵）记为：AB1BP APPAB:相似于对角阵的充要条件：恰有个线性无关的特征向量.这时,为的特征向量拼成AAnPA13的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.1P APA 可对角化的充要条件：为的重数.A()iinrEAkiki 若阶矩阵有个互异的特征值,则与对角阵相似.nAnA与正交相似 （为正交矩阵）AB1BP APP 相似矩阵的性质：若均可逆11AB:,A B TTAB:（为整数）kkAB:k,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:EAEB,A B是关于的特征向量,是关于的特征向量.xA01P xB0 从而同时可逆或不可逆AB,A B()()r Ar B()()ABt rt r 数量矩阵只与自己相似.对称矩阵的性质：特征值全是实数,特征向量是实向量；与对角矩阵合同；不同特征值的特征向量必定正交；重特征值必定有个线性无关的特征向量；kk 必可用正交矩阵相似对角化（一定有个线性无关的特征向量,可能有重nA的特征值,重数=）.()nrEA可以相似对角化 与对角阵相似.记为：（称是的相似标准型）AAA:A 若为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）.A()r A 设为对应于的线性无关的特征向量,则有：ii14.121212112212(,)(,)(,),nnnnnnPAAAA 若,则：.AB:CD:ABCD:若,则,.AB:()()f Af B:()()f Af B二次型 为对称矩阵 12(,)Tnf x xxX AXA12(,)TnXx xx与合同 .记作：（）ABTBC ACAB:,A BC为对称阵为可逆阵 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.两个矩阵合同的充分条件是：AB:两个矩阵合同的必要条件是：()()r Ar B 经过化为标准型.12(,)Tnf x xxX AX正交变换合同变换可逆线性变换XCY2121(,)nniif x xxd y 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由()r A正惯性指数负惯性指数惟一确定的.当标准型中的系数为 1，-1 或 0 时,则为规范形.id 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.任一实对称矩阵与惟一对角阵合同.A11110015 用正交变换法化二次型为标准形:求出的特征值、特征向量；A 对个特征向量单位化、正交化；n 构造（正交矩阵）,；C1C AC 作变换,新的二次型为,的主对角上的元素即为的XCY2121(,)nniif x xxd yidA特征值.正定二次型 不全为零，.12,nx xx12(,)0nf x xx正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.合同变换不改变二次型的正定性.成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：正惯性指数为；n的特征值全大于；A0的所有顺序主子式全大于；A0合同于，即存在可逆矩阵使；AEQTQ AQE 存在可逆矩阵，使 （从而）；PTAP P0A 存在正交矩阵，使 （大于）.121TnC ACC ACi0 成为正定矩阵的必要条件：；.0iia 0A