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乘法公式的复习总结(题型扩展)1/16乘法公式的复习乘法公式的复习一、复习一、复习:(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2 (a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2 (a-b)(a-b)2 2=a=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2 (a+b)(a(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)=a)=a3 3+b+b3 3 (a-b)(a(a-b)(a2 2+ab+b+ab+b2 2)=a)=a3 3b b3 3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：位置变化，位置变化，x x y yy y x xx x2 2 y y2 2 符号变化，符号变化，x x y yx x y yx x 2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2 指数变化，指数变化，x x2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2x x4 4 y y4 4 系数变化，系数变化，2 2a a b b 2 2a a b b4 4a a2 2 b b2 2 换式变化，换式变化，xyxyz z m mxyxyz z m m xyxy 2 2z z m m 2 2 x x2 2y y2 2z z m m z z m m x x2 2y y2 2z z2 2 zmzm zmzm m m2 2 x x2 2y y2 2 z z2 2 2 2zmzm m m2 2 增项变化，增项变化，x x y y z z x x y y z z x x y y 2 2 z z2 2x x y y x x y yz z2 2 x x2 2 xyxy xyxy y y2 2 z z2 2 x x2 2 2 2xyxy y y2 2 z z2 2 连用公式变化，连用公式变化，x x y y x x y y x x2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2 x x2 2 y y2 2 x x4 4 y y4 4 逆用公式变化，逆用公式变化，x x y y z z 2 2x x y y z z 2 2 x x y y z zx x y y z zx x y y z zx x y y z z 2 2x x2 2y y 2 2z z 4 4xyxy 4 4xzxz例例 1 1已知已知，求，求的值。的值。2ba1ab22ba 解：解：=2)(ba222baba22ba abba2)(2乘法公式的复习总结(题型扩展)2/16，=2ba1ab22ba 21222例例 2 2已知已知，求，求的值。的值。8ba2ab2)(ba 解：解：2)(ba222baba2)(ba222baba =2)(ba2)(baab42)(baab42)(ba，8ba2ab2)(ba562482例例 3 3：计算：计算 199919992 2-20001998-20001998解析解析此题中此题中 2000=1999+12000=1999+1，1998=1999-11998=1999-1，正好符合平方差公式。，正好符合平方差公式。解：解：199919992 2-20001998-20001998 =1999=19992 2-（1999+11999+1）（1999-11999-1）=1999=19992 2-（199919992 2-1-12 2）=1999=19992 2-1999-19992 2+1+1 =1=1例例 4 4：已知：已知 a+b=2a+b=2，ab=1ab=1，求，求 a a2 2+b+b2 2和和(a-b)(a-b)2 2的值。的值。解析解析此题可用完全平方公式的变形得解。此题可用完全平方公式的变形得解。解：解：a a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=4-2=2-2ab=4-2=2 （a-b)a-b)2 2=(a+b)=(a+b)2 2-4ab=4-4=0-4ab=4-4=0例例 5 5：已知：已知 x-y=2x-y=2，y-z=2y-z=2，x+z=14x+z=14。求。求 x x2 2-z-z2 2的值。的值。解析解析此题若想根据现有条件求出此题若想根据现有条件求出 x x、y y、z z 的值，比较麻烦，考虑到的值，比较麻烦，考虑到 x x2 2-z-z2 2是由是由x+zx+z 和和 x-zx-z 的积得来的，所以只要求出的积得来的，所以只要求出 x-zx-z 的值即可。的值即可。解：因为解：因为 x-y=2x-y=2，y-z=2y-z=2，将两式相加得，将两式相加得 x-z=4x-z=4，所以，所以 x x2 2-z-z2 2=（x+zx+z）(x-z)(x-z)=144=56=144=56。例例 6 6：判断（：判断（2+12+1）（2 22 2+1+1）（2 24 4+1+1）（2 220482048+1+1）+1+1 的个位数字是几？的个位数字是几？解析解析此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到观察到 1=1=（2-12-1）和上式可构成循环平方差。）和上式可构成循环平方差。解：（解：（2+12+1）（2 22 2+1+1）（2 24 4+1+1）（2 220482048+1+1）+1+1 =（2-12-1）（2 22 2+1+1）（2 24 4+1+1）（2 220482048+1+1）+1+1 =2=240964096 =16=1610241024因为当一个数的个位数字是因为当一个数的个位数字是 6 6 的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是 6 6，所以上式的个位数字必为所以上式的个位数字必为 6 6。例例 7 7运用公式简便计算运用公式简便计算（1 1）1031032 2 （2 2）1981982 2解：（解：（1 1）1031032 2100100 3 3 2 2 1001002 2 2 2 100100 3 3 3 32 2 1000010000 600600 9 9 1060910609 （2 2）1981982 2200200 2 2 2 2 2002002 2 2 2 200200 2 2 2 22 2 4000040000 800800 4 4 3920439204例例 8 8计算计算（1 1）a a 4 4b b 3 3c c a a 4 4b b 3 3c c （2 2）3 3x x y y 2 2 3 3x x y y 2 2 解：（解：（1 1）原式）原式a a 3 3c c4 4b ba a 3 3c c4 4b ba a 3 3c c 2 24 4b b 2 2 a a2 2 6 6acac 9 9c c2 2 1616b b2 2 （2 2）原式）原式3 3x xy y 2 23 3x xy y 2 29 9x x2 2 y y2 2 4 4y y 4 49 9x x2 2 y y2 2 4 4y y 4 4例例 9 9解下列各式解下列各式（1 1）已知）已知a a2 2 b b2 2 1313，abab 6 6，求，求 a a b b 2 2，a a b b 2 2的值。的值。乘法公式的复习总结(题型扩展)3/16（2 2）已知）已知 a a b b 2 2 7 7，a a b b 2 2 4 4，求，求a a2 2 b b2 2，abab的值。的值。（3 3）已知）已知a a a a 1 1a a2 2 b b2 2，求，求的值。的值。222abab（4 4）已知）已知，求，求的值。的值。13xx441xx分析：在公式分析：在公式 a a b b 2 2 a a2 2 b b2 2 2 2abab中，如果把中，如果把a a b b，a a2 2 b b2 2和和abab分别看作是一个整体，分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。解：（解：（1 1）a a2 2 b b2 2 1313，abab 6 6 a a b b 2 2 a a2 2 b b2 2 2 2abab 1313 2 2 6 6 2525 a a b b 2 2 a a2 2 b b2 2 2 2abab 1313 2 2 6 6 1 1 （2 2）a a b b 2 2 7 7，a a b b 2 2 4 4 a a2 2 2 2abab b b2 2 7 7 a a2 2 2 2abab b b2 2 4 4 得得 2 2 a a2 2 b b2 21111，即，即22112ab 得得 4 4abab 3 3，即，即34ab （3 3）由）由a a a a 1 1a a2 2 b b2 2 得得a a b b2 2 22221222abababab22112222ab （4 4）由）由，得，得 即即 13xx19xx22129xx22111xx 即即 221121xx4412121xx441119xx例例 1010四个连续自然数的乘积加上四个连续自然数的乘积加上 1 1，一定是平方数吗？为什么？，一定是平方数吗？为什么？分析：由于分析：由于 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2525 5 52 2 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 121121 11112 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1 1 361361 19192 2 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上 1 1，都是平方数。，都是平方数。解：设解：设n n，n n 1 1，n n 2 2，n n 3 3 是四个连续自然数是四个连续自然数则则n n n n 1 1 n n 2 2 n n 3 31 1 n n n n 3 3n n 1 1 n n 2 21 1 n n2 2 3 3n n 2 2 2 2 n n2 2 3 3n n1 1n n2 2 3 3n n n n2 2 3 3n n 2 21 1 n n2 2 3 3n n 1 1 2 2n n是整数，是整数，n n2 2，3 3n n都是整数都是整数 n n2 2 3 3n n 1 1 一定是整数一定是整数n n2 2 3 3n n 1 1 是一个平方数是一个平方数 四个连续整数的积与四个连续整数的积与 1 1 的和必是一个完全平方数。的和必是一个完全平方数。例例 1111计算计算 （1 1）x x2 2 x x 1 1 2 2 （2 2）3 3m m n n p p 2 2解：（解：（1 1）x x2 2 x x 1 1 2 2x x2 2 2 2x x 2 2 1 12 2 2 2 x x2 2x x2 2 x x2 2 1 1 2 2x x 1 1 x x4 4 x x2 2 1 1 2 2x x3 3 2 2x x2 2 2 2x x乘法公式的复习总结(题型扩展)4/16 x x4 4 2 2x x3 3 3 3x x2 2 2 2x x 1 1 （2 2）3 3m m n n p p 2 23 3m m 2 2 n n2 2p p 2 2 2 2 3 3m m n n 2 2 3 3m mp p2 2 n np p9 9m m2 2 n n2 2 p p2 2 6 6mnmn 6 6mpmp 2 2npnp分析：两数和的平方的推广分析：两数和的平方的推广 a a b b c c 2 2 a a b bc c 2 2 a a b b 2 2 2 2 a a b b c c c c2 2 a a2 2 2 2abab b b2 2 2 2acac 2 2bcbc c c2 2 a a2 2 b b2 2 c c2 2 2 2abab 2 2bcbc 2 2acac 即即 a a b b c c 2 2 a a2 2 b b2 2 c c2 2 2 2abab 2 2bcbc 2 2acac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的 2 2 倍。倍。二、乘法公式的用法二、乘法公式的用法(一一)、套用、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。例例 1.1.计算：计算：解：原式解：原式53532222xyxy 53259222244xyxy(二二)、连用、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例例 2.2.计算：计算：111124a aaa解：原式解：原式111224aaa111448aaa例例 3.3.计算：计算：32513251xyzxyz解：原式解：原式 25312531yzxyzx25314925206122222yzxyxzyzx三、逆用三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例例 4.4.计算：计算：57857822abcabc解：原式解：原式 578578578578abcabcabcabc10 1416140160abcabac四、变用四、变用:题目变形后运用公式解题。题目变形后运用公式解题。例例 5.5.计算：计算：xyz xyz26解：原式解：原式xyzzxyzz2424乘法公式的复习总结(题型扩展)5/16 xyzzxyzxyxzyz241224422222五、活用五、活用:把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：12223244222222222222.abababababababababababab灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例例 6.6.已知已知，求，求的值。的值。abab45，ab22解：解：ababab2222242526例例 7.7.计算：计算：abcdbcda22解：原式解：原式 bcadbcad222222244222222bcadabcdbcad例例 8.8.已知实数已知实数 x x、y y、z z 满足满足，那么，那么（）xyzxyy592，xyz23解：由两个完全平方公式得：解：由两个完全平方公式得：ababab1422从而从而 zxyy2221459 25414529696932222yyyyyyy，zyzyxxyz22300322322308乘法公式的复习总结(题型扩展)6/16三、学习乘法公式应注意的问题三、学习乘法公式应注意的问题 （一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数两数”例例 1 1 计算计算(-2(-2x x2 2-5)(2-5)(2x x2 2-5)-5)分析：本题两个因式中分析：本题两个因式中“-5”“-5”相同，相同，“2“2x x2 2”符号相反，因而符号相反，因而“-5”“-5”是公式是公式(a a+b b)(a a-b b)=)=a a2 2-b b2 2中的中的a a，而，而“2“2x x2 2”则是公式中的则是公式中的b b解：原式解：原式=(-5-2=(-5-2x x2 2)(-5+2)(-5+2x x2 2)=(-5)=(-5)2 2-(2-(2x x2 2)2 2=25-4=25-4x x4 4例例 2 2 计算计算(-(-a a2 2+4+4b b)2 2分析：运用公式分析：运用公式(a a+b b)2 2=a a2 2+2+2abab+b b2 2时，时，“-“-a a2 2”就是公式中的就是公式中的a a，“4“4b b”就是公式中就是公式中的的b b；若将题目变形为；若将题目变形为(4(4b b-a a2 2)2 2时，则时，则“4“4b b”是公式中的是公式中的a a，而，而“a a2 2”就是公式中的就是公式中的b b（解略）（解略）（二）、注意为使用公式创造条件（二）、注意为使用公式创造条件例例 3 3 计算计算(2(2x x+y y-z z+5)(2+5)(2x x-y y+z z+5)+5)分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2“2x x”、“5”“5”两项同两项同号，号，“y y”、“z z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式式的形式解：原式解：原式=(2=(2x x+5)+(+5)+(y y-z z)(2)(2x x+5)-(+5)-(y y-z z)=(2=(2x x+5)+5)2 2-(-(y y-z z)2 2 =4=4x x2 2+20+20 x x+25-+25-y y+2+2yzyz-z z2 2例例 4 4 计算计算(a a-1)-1)2 2(a a2 2+a a+1)+1)2 2(a a6 6+a a3 3+1)+1)2 2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便可利用乘法公式，使运算简便解：原式解：原式=(=(a a-1)(-1)(a a2 2+a a+1)(+1)(a a6 6+a a3 3+1)+1)2 2 =(=(a a3 3-1)(-1)(a a6 6+a a3 3+1)+1)2 2 =(=(a a9 9-1)-1)2 2=a a1818-2-2a a9 9+1+1例例 5 5 计算计算(2+1)(2(2+1)(22 2+1)(2+1)(24 4+1)(2+1)(28 8+1)+1)分析：此题乍看无公式可用，分析：此题乍看无公式可用，“硬乘硬乘”太繁，但若添上一项（太繁，但若添上一项（2-12-1），则可运用公），则可运用公式，使问题化繁为简式，使问题化繁为简解：原式解：原式=(2-1)(2+1)(2=(2-1)(2+1)(22 2+1)(2+1)(24 4+1)(2+1)(28 8+1)+1)=(2=(22 2-1)(2-1)(22 2+1)(2+1)(24 4+1)(2+1)(28 8+1)+1)=(2=(24 4-1)(2-1)(24 4+1)(2+1)(28 8+1)+1)=（2 28 8-1-1）（）（2 28 8+1+1）=2=21616-1-1（三）、注意公式的推广（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由计算多项式的平方，由(a a+b b)2 2=a a2 2+2+2abab+b b2 2，可推广得到：，可推广得到：(a a+b b+c c)2 2=a a2 2+b b2 2+c c2 2+2+2abab+2+2acac+2+2bcbc可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的 2 2 倍倍例例 6 6 计算计算(2(2x x+y y-3)-3)2 2解：原式解：原式=(2=(2x x)2 2+y y2 2+(-3)+(-3)2 2+22+22x xy y+22+22x x(-3)+2(-3)+2y y(-3)(-3)=4=4x x2 2+y y2 2+9+4+9+4xyxy-12-12x x-6-6y y乘法公式的复习总结(题型扩展)7/16（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式 例例 7 7 (1)(1)已知已知x x+y y=10=10，x x3 3+y y3 3=100=100，求，求x x2 2+y y2 2的值；的值；(2)(2)已知：已知：x x+2+2y y=7=7，xyxy=6=6，求，求(x x-2-2y y)2 2的值的值分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x x2 2+y y2 2=(=(x x+y y)2 2-2 2xyxy，x x3 3+y y3 3=(=(x x+y y)3 3-3-3xyxy(x x+y y)，(x x+y y)2 2-(-(x x-y y)2 2=4=4xyxy，问题则十分简单，问题则十分简单解：解：(1)(1)x x3 3+y y3 3=(=(x x+y y)3 3-3-3xyxy(x x+y y)，将已知条件代入得，将已知条件代入得 100=10100=103 3-3-3xyxy1010，xyxy=30=30 故故x x2 2+y y2 2=(=(x x+y y)2 2-2-2xyxy=10=102 2-230=40-230=40 (2)(2)(x x-2-2y y)2 2=(=(x x+2+2y y)2 2-8-8xyxy=7=72 2-86=1-86=1例例 8 8 计算计算(a a+b b+c c)2 2+(+(a a+b b-c c)2 2+(+(a a-b b+c c)+()+(b b-a a+c c)2 2分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a a+b b)2 2+(+(a a-b b)2 2=2(=2(a a2 2+b b2 2)，因而问题容易解决，因而问题容易解决解：原式解：原式=(=(a a+b b)+)+c c 2 2+(+(a a+b b)-)-c c 2 2+c c+(+(a a-b b)2 2+c c-(-(a a-b b)2 2 =2(=2(a a+b b)2 2+c c2 2+2+2c c2 2+(+(a a-b b)2 2 =2(=2(a a+b b)2 2+(+(a a-b b)2 2+4+4c c2 2 =4=4a a2 2+4+4b b2 2+4+4c c2 2（五）、注意乘法公式的逆运用（五）、注意乘法公式的逆运用例例 9 9 计算计算(a a-2-2b b+3+3c c)2 2-(-(a a+2+2b b-3-3c c)2 2分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多运算简便得多解：原式解：原式=(=(a a-2-2b b+3+3c c)+()+(a a+2+2b b-3-3c c)()(a a-2-2b b+3+3c c)-()-(a a+2+2b b-3-3c c)=2=2a a(-4(-4b b+6+6c c)=-8)=-8abab+12+12acac例例 1010 计算计算(2(2a a+3+3b b)2 2-2(2-2(2a a+3+3b b)(5)(5b b-4-4a a)+(4)+(4a a-5-5b b)2 2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便则运算更为简便解：原式解：原式=(2=(2a a+3+3b b)2 2+2(2+2(2a a+3+3b b)(4)(4a a-5-5b b)+(4)+(4a a-5-5b b)2 2=(2=(2a a+3+3b b)+(4)+(4a a-5-5b b)2 2=(6=(6a a-2-2b b)2 2=36=36a a2 2-24-24abab+4+4b b2 2四、怎样熟练运用公式：四、怎样熟练运用公式：（一）（一）、明确公式的结构特征、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方明确了公式的结构特征就能在各种的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式情况下正确运用公式（二）（二）、理解字母的广泛含义、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母乘法公式中的字母a a、b b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式理解了字母可以是具体的数，也可以是单项式或多项式理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式如计算（含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式如计算（x x+2+2y y3 3z z）2 2，若视，若视x x+2+2y y为公式中的为公式中的a a，3 3z z为为b b，则就可用（，则就可用（a ab b）2 2=a a2 22 2abab+b b2 2来解了。来解了。（三）（三）、熟悉常见的几种变化、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点式特征，合理调整变化，使其满足公式特点乘法公式的复习总结(题型扩展)8/16常见的几种变化是：常见的几种变化是：1 1、位置变化、位置变化 如（如（3 3x x+5+5y y）（5 5y y3 3x x）交换）交换 3 3x x和和 5 5y y的位置后即可用平方差公式计的位置后即可用平方差公式计算了算了2 2、符号变化、符号变化 如（如（2 2m m7 7n n）（2 2m m7 7n n）变为（）变为（2 2m m+7+7n n）（2 2m m7 7n n）后就可用平）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）3 3、数字变化、数字变化 如如 9 98 81 10 02 2，9 99 92 2，9 91 12 2等等分分别别变变为为（1 10 00 02 2）（1 10 00 0+2 2），（1 10 00 01 1）2 2，（9 90 0+1 1）2 2后就能够用乘法公式加以解答了后就能够用乘法公式加以解答了4 4、系数变化、系数变化 如（如（4 4m m+）（2 2m m）变为）变为 2 2（2 2m m+）（2 2m m）后即可用平方差）后即可用平方差2n4n4n4n公式进行计算了公式进行计算了5 5、项数变化、项数变化 如（如（x x+3+3y y+2+2z z）（x x3 3y y+6+6z z）变为（）变为（x x+3+3y y+4+4z z2 2z z）（x x3 3y y+4+4z z+2+2z z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了后再适当分组就可以用乘法公式来解了（四）（四）、注意公式的灵活运用、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便如计算（便如计算（a a2 2+1+1）2 2（a a2 21 1）2 2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便即原式乘方法则后再进一步计算，则非常简便即原式=（a a2 2+1+1）（a a2 21 1）2 2=（a a4 41 1）2 2=a a8 82 2a a4 4+1+1对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用如计算（运用如计算（1 1）（1 1）（1 1）（1 1）（1 1），若分别算出各因式，若分别算出各因式2212312412912101的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错若注意到各因式均为平方差的形式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题而逆用平方差公式，则可巧解本题即原式即原式=（1 1）（1+1+）（1 1）（1+1+）（1 1）（1+1+）=21213131101101212332 =3410910112110112011有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：变式主要有：a a2 2+b b2 2=（a a+b b）2 22 2abab，a a2 2+b b2 2=（a ab b）2 2+2+2abab等等用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效如已知如已知m m+n n=7=7，mnmn=1818，求，求m m2 2+n n2 2，m m2 2mnmn+n n2 2的值的值面对这样的问题就可用上述变式来解，面对这样的问题就可用上述变式来解，即即m m2 2+n n2 2=（m m+n n）2 22 2mnmn=7=72 222（1818）=49+36=85=49+36=85，m m2 2mnmn+n n2 2=（m m+n n）2 23 3mnmn=7=72 233（1818）=103=103下列各题，难不倒你吧？！下列各题，难不倒你吧？！1 1、若、若a a+=5=5，求（，求（1 1）a a2 2+，（2 2）（a a）2 2的值的值a121aa12 2、求（、求（2+12+1）（2 22 2+1+1）（2 24 4+1+1）（2 28 8+1+1）（2 21616+1+1）（2 23232+1+1）（2 26464+1+1）+1+1 的末位数字的末位数字（答案：（答案：1.1.（1 1）2323；（；（2 2）21212.2.6 6 ）五、乘法公式应用的五个层次五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：乘法公式：(a(ab)(ab)(ab)=ab)=a2 2b b2 2，(ab)=a(ab)=a2 22ab2abb b2 2，(ab)(a(ab)(a2 2ababb b2 2)=a)=a3 3bb3 3乘法公式的复习总结(题型扩展)9/16第一层次第一层次正用正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用例例 1 1 计算计算 (2)(2)(2x2xy)(2xy)(2xy)y)(2)(2)原式原式=(=(y)y)2x(2x(y)y)2x=y2x=y2 24x4x2 2第二层次第二层次逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用例例 2 2 计算计算(1)1998(1)19982 21998399419983994199719972 2；解解(1)(1)原式原式=1998=19982 2219981997219981997199719972 2 =(1998=(19981997)1997)2 2=1=1第三层次第三层次活用活用 ：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式有时根据需要创造条件，灵活应用公式例例 3 3 化简：化简：(2(21)(21)(22 21)(21)(24 41)(21)(28 81)1)1 1分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2“21”1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解解原式解原式=(2=(21)(21)(21)(21)(22 21)(21)(24 41)(21)(28 81)1)1 1=(2=(22 21)(21)(22 21)(21)(24 41)(21)(28 81)1)1=21=21616例例 4 4 计算：计算：(2x(2x3y3y1)(1)(2x2x3y3y5)5)分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符于是分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符于是可创造条件可创造条件“拆拆”数：数：1=21=23 3，5=25=23 3，使用公式巧解，使用公式巧解解原式解原式=(2x=(2x3y3y3 32)(2)(2x2x3y3y3 32)2)=(2=(23y)3y)(2x(2x3)(23)(23y)3y)(2x(2x3)3)乘法公式的复习总结(题型扩展)10/16=(2=(23y)3y)2 2(2x(2x3)3)2 2=9y=9y2 24x4x2 212x12x12y12y5 5第四层次第四层次变用变用 ：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如如 a a2 2b b2 2=(a=(ab)b)2 22ab2ab，a a3 3b b3 3=(a=(ab)b)3 33ab(a3ab(ab)b)等，则求解十分简单、明快等，则求解十分简单、明快例例 5 5 已知已知 a ab=9b=9，ab=14ab=14，求，求 2a2a2 22b2b2 2和和 a a3 3b b3 3的值的值解：解：aab=9b=9，ab=14ab=14，2a2a2 22b2b2 2=2(a=2(ab)b)2 22ab=2(92ab=2(92 2214)=106214)=106，a a3 3b b3 3=(a=(ab)b)3 33ab(a3ab(ab)=9b)=93 33149=3513149=351第五层次第五层次综合后用综合后用 ：将：将(a(ab)b)2 2=a=a2 22ab2abb b2 2和和(a(ab)b)2 2=a=a2 22ab2abb b2 2综合，综合，可得可得 (a(ab)b)2 2(a(ab)b)2 2=2(a=2(a2 2b b2 2)；(a(ab)b)2 2(a(ab)b)2 2=4ab=4ab；等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷 例例 6 6 计算：计算：(2x(2xy yz z5)(2x5)(2xy yz z5)5)解：原式解：原式=(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2 2-(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)2 21414=(2x=(2x5)5)2 2(y(yz)z)2 2=4x=4x2 220 x20 x2525y y2 22yz2yzz z2 2六、正确认识和使用乘法公式六、正确认识和使用乘法公式1 1、数形结合的数学思想认识乘法公式：、数形结合的数学思想认识乘法公式：对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2、完全平方、完全平方公式：公式：(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2；(a-b)(a-b)2 2=a=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2，可以运用数形结合的数学思想方法来区，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设分它们。假设 a a、b b 都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。如图如图 1 1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)，通过左右两图，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式的