平面向量的基本概念.doc

平面向量的实际背景及基本概念
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。
数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
3. 有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。
4. 有向线段的三要素：起点，大小，方向
A(起点)
B
（终点）
a

5.有向线段与向量的区别；
（1）相同点：都有大小和方向
（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段

比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。
②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线
段表示相同（等）的向量。
③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成
6.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
7.向量的模：向量的大小（长度）称为向量的模，记作||.
8.零向量、单位向量概念：
长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。
9.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
10.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有
向线段的起点无关.
11.共线向量与平行向量关系：
B
A
O
C
D
E
F
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）
说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。
（2）共线向量是可以相互平行的。
例1.判断下列说法是否正确，为什么？
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。
（2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。
（3）零向量 （4）零向量
（5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同
（7）不一定，可以平行。
例2.下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.

例3.如右图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心，
分别写出图中与向量 相等的向量。
解：按照向量相等的定义可知：

向量的加法运算及其几何意义
１．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２．三角形法则（记忆口诀：“首尾相接，从头指尾”）
3.三角形法则的来由
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，规定：a + 0-= 0 + a
A
B
C
a+b
a+b
a
a
b
b
a
ｂ
b
a+b
a

4.向量加法的字母公式：
5.平行四边形法则

图1
如图1,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
6.平行四边形法则与三角形法则的区别：
（1） 平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点
和两个分向量的起点是同一起点。
（2） 三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起，然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。
7. 一般结论
当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);
当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;
当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.
一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.

二．例题讲解
例1、已知正方形ABCD的边长为1, = a, = b, = c,则| a+b+c|等于（ ）
A．0 B．3 C．2 D．2 .
解： D C

A
作出正方形ABCD的图形如上图所示，那么：
a+b=c,所以a+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c|=2|c|=2,所以选D.

例2.化简:(1)+;(2)++;(3)++++.

例3.如图所示,已知矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,试求向量a+b+c的模.

解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,
∴DE∥AC,AD∥BE.
∴四边形ADEC为平行四边形.
∴=,=.
于是a+b+c=++=+==+=2,
∴|a+b+c|=2||=8.

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。
①向量 AB与 CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
2.（1）．判断下列式子是否正确，若不正确请指出错误原因.
① =0　　　　　②　.-=0
（2） 若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是___________.
（3） 将所有共线向量移至同一起点，终点构成的图形是什么图形？___________
3．下列说法正确的是（ ）
A. 平行向量是方向相同的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量
C. 零向量的长度为0 D. 共线向量是在同一条直线上的向量
4．若非零向量与共线，则以下说法下确的是（ ）
A. 与必须在同一直线上 B. 与平行，且方向必须相同`
C. 与平行，且方向必须相反 D. 与平行
1、在四边形中，若，则四边形的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形
2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的一个是（ ）
A、与为平行向量 B、与为模相等的向量
C、与为共线向量 D、与为相等的向量
3、下列命题中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b
D.对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|
平面向量的加法运算
1、 用三角形法则和平行四边形法则分别画出

2、下列命题中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b
D.对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|
3、已知正方形的边长为1， =a，=b，=c,则|a+b+c|等于( )
A.0 B.3 C. D.2
4、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的一个是
A、与为平行向量 B、与为模相等的向量
C、与为共线向量 D、与为相等的向量
5、在四边形中，若，则四边形的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形
6、已知正方形的边长为1，，，， 则等于 ( )
(A) 0 (B) 3 (C) (D)
7、如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)